Нелинейные элементы

Если элементы электрической цепи зависят от воздействия, то цепь описывается нелинейным дифференциальным уравнением и является нелинейной. Например, для нелинейного резистивного элемента характерна нелинейная связь между током i и напряжением u, т. е. нелинейная характеристика i = F(u). Положим, на нелинейный элемент действует напряжение u = U₀ + U_mcoswt, причем амплитуда U_m, переменной составляющей достаточно мала, так что тот небольшой участок ВАХ в пределах которого действует переменное напряжение, можно считать линейным. Тогда ток, протекающий через нелинейный элемент, повторит по форме напряжение: i = I₀ + I_mcoswt.

Одной из важнейших особенностей нелинейных цепей является то, что в них не выполняется принцип наложения. Поэтому невозможно предсказать результат воздействия суммы сигналов, если известны реакции цепи на каждое слагаемое воздействия. Из сказанного вытекает непригодность для анализа нелинейных цепей временного и спектрального методов, которые применялись в теории линейных цепей.

Действительно, пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного элемента описывается выражением i = au². Если на такой элемент действует сложный сигнал u = u₁ + u₂, то отклик i = a (u₁ + u₂)² = au₁² + au₂² + 2au₁u₂ отличается от суммы откликов на действие каждой составляющей в отдельности (au₁² + au₂²) наличием компоненты 2au₁u₂, которая появляется только в случае одновременного воздействия обеих составляющих.

Задание 31. На нелинейный элемент, ВАХ которого описывается уравнением i =0,4u², воздействуют одновременно два сигнала: u₁ = U_m1cosw₀t и u₂ = U_m2cosWt, причём U_m1 = 1 В, U_m2 = 0,4 В, f₀ = 1,1 МГц, F = 1 МГц. Найдите все составляющие спектра тока диода. Также постройте график полученного частотного спектра.

При выполнении задания используйте литературу [3–5] и приведённый выше материал. Если необходимо, примените логарифмический масштаб по оси частот. Оцените, какие спектральные компоненты тока оказались новыми, не содержащимися в воздействующем на диод напряжении. Отсюда уясните, каким образом в нелинейных цепях возникают новые спектральные компоненты.

Индуктивно связанные элементы

При протекании тока i₁ в катушке индуктивности с параметром L₁ в окружающем пространстве создается магнитный поток Ф₁₁. Если какая-либо часть этого потока Ф₁₂ пронизывает витки другой катушки с L₂, то в той наводится эдс взаимной индукции, зависящая от М₁₂ – коэффициента взаимной индуктивности катушек L₁ и L₂. Единица измерения взаимной индуктивности – генри (Гн). Направление индукционного тока имеет такую ориента­цию, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал тому изменению магнитного потока Ф₁₂, которое этот ток вызывает.

Если напряжение u приложено к катушке индуктивности L₁, то под действием тока i₂ в катушке L₁ также будет наведена эдс взаимной индукции. Напряжение взаимоиндукции на зажимах катушки индуктивности L₂ зависит от коэффициента М₂₁ взаимной индуктивности катушек L₂ и L₁. В соответствии с принципом взаимности для линейных цепей М₁₂ = М₂₁ = М.

Таким образом, установится двухсторонняя индуктивная связь катушек L₁ и L₂. При этом каждая из катушек L₁, и L₂ будет пронизываться двумя магнитными потоками: самоиндукции, вызванным собственным током, и взаимоиндукции, вызванным током другой катушки. В катушке L₁ индуцируется эдс:

, (2.49)

а в катушке L₂ эдс:

. (2.50)

Взаимное направление потоков само- и взаимоиндукции зависит как от направления токов в катушках, так и от их взаимного расположения. Для определения вида включения L₁ и L₂ на схеме нужно определить, как ориентированы токи i₁ и i₂ относительно одноименных зажимов (на рисунке 22 обозначены точкой): при одинаковой ориентации будет согласное, a при разной – встречное включение. То есть если катушки включаются таким образом, что потоки само- и взаимоиндукции складываются, то такое включение называется согласным. Если потоки само- и взаимоиндукции вычитаются, то такое включение называют встречным.

Рисунок 22 – Согласное и встречное включение катушек индуктивности

Для согласного включения катушек (рисунок 22а) в соответствии с ЗНК можно записать:

(2.51)

В комплексной форме уравнение (2.51) запишется в виде:

_. (2.52)

При встречном включении катушек (рисунок 22б):

; (2.53)

_. (2.54)

Задание 32. Определите токи в обеих схемах на рисунке 22, если к ним приложено внешнее гармоническое напряжение частотой 50 Гц, амплитудой 311 В и с начальной фазой /3. R₁ = 10 Ом, R₂ = 20 Ом, L₁ = 40 мГн, L₂ = 60 мГн и М = 10 мГн. Приведите причину отличия значений токов в этих схемах.

Для решения задачи воспользуйтесь литературой [3, 4] и приведёнными выше формулами, показывающими распределение приложенного напряжения (в комплексной форме) по элементам цепи. Значение тока в комплексной форме найдите по закону Ома. Проведите сравнение величин полученных токов и обоснуйте их отличие учитывая наличие магнитной связи между катушками индуктивности.