35. Оценка абсолютной устойчивости нелинейных систем по Попову.

Критерий Попова основан, как и критерий Найквиста, на использовании амплитудно-фазовой характеристики и имеет простую геометрическую интерпретацию.

Пусть в контуре нелинейной системы содержится нелинейный элемент с характеристикой , имеющей любую конфигурацию, но не выходящей за пределы определенного сектора [0, k_H]

Рис. 4.55.

Линейная часть имеет амплитудно-фазовую характеристику:

(4.60)

На основе данной характеристики строится модифицированная амплитудно-фазовая характеристика:

, (4.61)

где - коэффициент масштабирования (обычно берется равным единице).

Тогда критерий Попова формулируется следующим образом:

Для абсолютной устойчивости нелинейных систем одного класса, характеризующихся прямой с наклоном К_Н, достаточно чтобы модифицированная АФХ не охватывала точку (-1/К_н;j0) и через эту точку можно было бы провести прямую так, чтобы модифицированная амплитудно-фазовая характеристика не пересекала эту кривую и осталась справа.

Рис. 4.56.

Рис. 4.57.

Рис. 4.58.

Нетрудно заметить, что в соответствии с критерием Попова система (Рис. 4. 56) абсолютно устойчива, а системы (Рис. 4.57, 4.58) не являются абсолютно устойчивыми.

Критерий Попова может быть использован и при обратной задаче - выборе нелинейных элементов в нелинейной системе. В данном случае выбор нелинейного элемента не должен влиять на устойчивость системы.

Данная задача решается следующим образом: строится модифицированная амплитудно-фазовая характеристика и проводится прямая наиболее близкая к этой характеристике. Точка пересечения этой прямой с осью абсцисс определяет коэффициент наклона К_н, а значит и класс нелинейных характеристик.

36. Понятие случайного процесса. Среднее значение сигнала, дисперсия .

Случайной называется функция некоторой независимой переменной, значение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайной величиной. Если независимая переменная - время, то случайная функция называется случайным (стохастическим или вероятностным) процессом.

Случайный процесс, в отличие от детерминированного, нельзя описать какой-либо определенной функцией времени . Случайный процесс представляет собой множество функций , обладающие некоторыми общими вероятностными свойствами.

Реализацией случайного процесса называется конкретная функция , которая получена в результате экспериментального наблюдения. Случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные.

Стационарный случайный процесс - это процесс, статистические характеристики которого не изменяются во времени.

Нестационарный случайный процесс имеет статистические характеристики, которые с течением времени меняются.

Реальные системы, как правило, характеризуются стационарным случайным процессом.

На рис. 5.2 представлена реализация стационарного случайного процесса.

Рис. 5.2.

Определим основные статистические характеристики стационарного случайного процесса

Среднее значение сигнала на конечном интервале времени определяется как :

(5.1)

Если интервал достаточно бодьшой, то среднее значение определяет математическое ожидание

(5.2)

Если на практике конечная реализация представлена в виде дискретных значений, отделенных друг от друга равными промежутками времени , то среднее значение можно вычислить по формуле:

(5.3)

Стационарный случайный процесс можно рассматривать как сумму постоянной составляющей и переменной составляющей , соответствующей отклонениям случайного сигнала от среднего:

(5.4)

Сигнал называется центрированным случайным сигналом. Очевидно, сто среднее значение центрированного случайного сигнала равно нулю. Так как спектр реального сигнала совпадает со спектром центрированного случайного сигнала , то во многих ( но не во всех) задачах расчета автоматических систем можно вместо рассматривать сигнал .

Дисперсией называется среднее значение квадрата отклонений от математического ожидания :

(5.5)

- это мера разброса мгновенных значений сигнала около математического ожидания. Чем больше пульсация, тем больше