Теоремы z-преобразований.
1). Линейность Z-преобразований
(3.11)
2). Теорема о начальном значении аргумента оригинала
(3.12)
3). Теорема о конечном значении оригинала
(3.13)
4). Теорема о смещении
(3.14)
Z-k означает значение функции в момент времени (t-kT0)
Особенности дискретного преобразования Лапласа.
. Чтобы получить прямое дискретное преобразование Лапласа сигнала x(t), необходимо заменить этот сигнал дискретными значениями x(kT0). Каждое значение x(kT0) помножить на z-k, а затем полученный степенной ряд свернуть в конечную сумму, которая представляет собой дискретное преобразование Лапласа x(z). Прямое z-преобразование является однозначным преобразованием непрерывного сигнала в дискретный. .
Чтобы по известному изображению x(z) получить сигнал x(t), необходимо представить изображение x(z) в виде степенного ряда, числовые значения коэффициентов при степенях z-k, которого и есть изображение x(kT0). Этот этап также является однозначным.
Переход x(kT0) x(t) является неоднозначным, так как неизвестно поведение функции в промежутках между замыканием ключей.
16. Дискретная передаточная функция.
Дискретной
передаточной функцией
последовательного
соединения простейшего импульсного
элемента и непрерывной части называется
отношение
-
изображений выходного и входного
сигналов при начальных нулевых условиях
(3.21)
Рис. 3.12.
Следует
отметить, что дискретная передаточная
функция устанавливает связь только
между дискретными значениями непрерывных
сигналов
и
,
т. е. между
Рис. 3.13.
Дискретную преобразовательную функцию можно получить несколькими способами:
1). Прямой способ
Находится z-преобразование входного и выходного сигналов:
Определяется дискретная передаточная функция :
2). Через передаточную функцию непрерывной части:
(3.22)
3).
Через импульсную переходную характеристику
(3.23)
Все эти методы так или иначе связаны с z-преобразованиями или таблицами z-преобразований. Однако на практике такие методы или громоздки в применении (1) или невозможно найти z-преобразование в таблицах z-преобразований. Тогда применяются приближенные методы определения дискретной передаточной функции.
Приближенные
способы получения дискретной передаточной
функции.Рассмотрим
определение дискретной передаточной
функции импульсной системы с непрерывной
частью в виде идеального интегрирующего
звена
.
При определении используется аппарат
разностных уравнений:
Дискретная
передаточная функция последовательного
соединения импульсного элемента и
идеального интегрирующего звена
определяется
как:
.
(3.24)
Однако такая замена обеспечивает точность численного интегрирования по методу трапеций. Более точная замена - это подстановка Тастина:
(3.25)
Такая подстановка обеспечивает точность численного интегрирования по методу трапеций.
17. Передаточные функции различных видов соединений звеньев.
При последовательном соединении двух непрерывных звеньев с импульсными элементами на выходе эквивалентная дискретная передаточная функция определяется следующим образом:
(3.26)
Рис. 3.14.
Если непрерывные звенья не разделены импульсным элементом, то эквивалентная передаточная функция равна z-преобразованию произведения их обычных передаточных функций:
(3.27)
Рис. 3.15.
Для некоторых последовательных соединений непрерывных и импульсных элементов эквивалентная передаточная функция в явном виде вообще не может быть записана. Для них можно лишь записать z-изображение выходного сигнала.
Если импульсный элемент включен после непрерывного звена, то z-изображение выходного сигнала определяется как :
(3.28)
Рис. 3.16.
Если импульсный элемент включен между непрерывными звеньями, то z-изображение выходного сигнала определяется как :
(3.29)
Рис. 3.17.
Реальные импульсные системы чаще всего представлены в следующем виде
Рис. 3.18.
