Преобразование сигнала во временной области
Выходной сигнал связан с входным сигналом :
, (5.44)
где
- импульсная переходная характеристика
звена,
- переменная интегрирования.
Определим взаимнокорреляционную функцию сигналов и :
(5.45)
Таким образом, взаимнокорреляционная функция сигналов и определяется по формуле:
(5.46)
Так
как интеграл (5.46) имеет такой же вид, как
и (5.44), то функцию
можно рассматривать как реакцию линейной
системы на воздействие, имеющее форму
корреляционной функции
.
Определи
корреляционную функцию
:
(5.47)
Таким образом, корреляционная функция выходного сигнала определяется по формуле:
(5.48)
Выражение (5.48) показывает, что корреляционная функция выходного сигнала может быть получена двукратным взятием интеграла свертки от корреляционной функции входного сигнала.
Таким образом, преобразование линейной системы случайного входного сигнала в случайный выходной сигнал связано с корреляционными взаимнокорреляционной функциями и представлено .Рис. 5.19.
Рис. 5.19
Если
на входе системы действует белый шум с
корреляционной функцией
(т. е. сигнал имеет неограниченную
частотой пропускания
спектральную плотность) , то
взаимнокорреляционная функция и
корреляционная функция выходного
сигнала имеют выражения :
(5.49)
(5.50)
41. Преобразование случайного сигнала линейным звеном. В частотной области.
При воздействии стационарного случайного процесса на линейное устойчивое звено на выходе звена возникает также стационарный случайный процесс, который можно рассматривать как преобразованный входной сигнал.
Преобразование входного сигнала проявляется в изменении его статистических характеристик: математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности.
Если входной сигнал – центрированный, то и выходной сигнал также будет центрированным. Далее рассматриваются центрированные сигналы (без обозначения их индексом в виде кружочка)
Для рассмотрения законов преобразования случайного сигнала вводятся характеристики, оценивающие связь между случайными сигналами: взаимнокорреляционная функция и взаимная спектральная плотность.
Взаимнокорреляционная функция определяется по формуле:
(5.33)
Взаимная спектральная плотность стационарных случайных сигналов и определяется следующим образом:
(5.39)
Преобразование случайного сигнала линейным звеном.
При воздействии стационарного случайного процесса на линейное устойчивое звено на выходе звена возникает также стационарный случайный процесс, который можно рассматривать как преобразованный входной сигнал.
Преобразование входного сигнала проявляется в изменении его статистических характеристик: математического ожидания, дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности.
Если входной сигнал – центрированный, то и выходной сигнал также будет центрированным. Далее рассматриваются центрированные сигналы (без обозначения их индексом в виде кружочка)
Для рассмотрения законов преобразования случайного сигнала вводятся характеристики, оценивающие связь между случайными сигналами: взаимнокорреляционная функция и взаимная спектральная плотность.
Взаимнокорреляционная функция стационарных случайных сигналов характеризует степень связи (корреляции) между мгновенными значениями сигналов и , отстоящих друг от друга на величину . Взаимнокорреляционная функция определяется по формуле:
(5.33)
Взаимнокорреляционная функция обладает следующими свойствами:
Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то при взаимнокорреляционная функция будет равна нулю при любых :
(5.34)
Взаимнокорреляционная функция обладает свойством:
(5.35)
Если случайный процесс представляет собой сумму двух случайных процессов:
, (5.36)
то взаимнокорреляционная функция имеет вид:
(5.37)
В этом случае взаимнокорреляционная функция называется автокорреляционной функцией.
Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то взаимнокорреляционная функция (автокорреляционная функция) определяется как:
(5.38)
Взаимная спектральная плотность стационарных случайных сигналов и определяется следующим образом:
(5.39)
Взаимная спектральная плотность имеет следующие свойства:
Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией и для нее справедливо следующее:
, (5.40)
где * обозначены сопряженные функции.
Если случайный процесс представляет собой сумму двух случайных процессов (5.36)
то взаимная спектральная плотность имеет вид:
(5.41)
Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то взаимная спектральная плотность определяется как:
(5.42)
Рассмотрим связь между статистическими характеристиками двух стационарных случайных процессов и , являющимися входным и выходным сигналами линейной динамической системы с передаточной функцией .
Рис. 5.18.
Наиболее просто определяется связь между математическими ожиданиями этих сигналов. Так как у стационарных сигналов математические ожидания являются постоянными величинами, то связь между ними определяется уравнением статики звена:
(5.43)
Преобразование входного сигнала в выходной сигнал можно рассматривать во временной и частотной областях.