38. Понятие случайного процесса. Взаимная корреляционная функция, спектральная плотность .

Случайной называется функция некоторой независимой переменной, значение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайной величиной. Если независимая переменная - время, то случайная функция называется случайным (стохастическим или вероятностным) процессом.

Случайный процесс, в отличие от детерминированного, нельзя описать какой-либо определенной функцией времени . Случайный процесс представляет собой множество функций , обладающие некоторыми общими вероятностными свойствами.

Реализацией случайного процесса называется конкретная функция , которая получена в результате экспериментального наблюдения. Случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные.

Стационарный случайный процесс - это процесс, статистические характеристики которого не изменяются во времени.

Нестационарный случайный процесс имеет статистические характеристики, которые с течением времени меняются.

Реальные системы, как правило, характеризуются стационарным случайным процессом.

Для рассмотрения законов преобразования случайного сигнала вводятся характеристики, оценивающие связь между случайными сигналами: взаимнокорреляционная функция и взаимная спектральная плотность.

Взаимнокорреляционная функция стационарных случайных сигналов характеризует степень связи (корреляции) между мгновенными значениями сигналов и , отстоящих друг от друга на величину . Взаимнокорреляционная функция определяется по формуле:

(5.33)

Взаимнокорреляционная функция обладает следующими свойствами:

• Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то при взаимнокорреляционная функция будет равна нулю при любых :

(5.34)

• Взаимнокорреляционная функция обладает свойством:

(5.35)

• Если случайный процесс представляет собой сумму двух случайных процессов:

, (5.36)

то взаимнокорреляционная функция имеет вид:

(5.37)

В этом случае взаимнокорреляционная функция называется автокорреляционной функцией.

Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то взаимнокорреляционная функция (автокорреляционная функция) определяется как:

(5.38)

Взаимная спектральная плотность стационарных случайных сигналов и определяется следующим образом:

(5.39)

Взаимная спектральная плотность имеет следующие свойства:

• Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией и для нее справедливо следующее:

, (5.40)

где * обозначены сопряженные функции.

• Если случайный процесс представляет собой сумму двух случайных процессов (5.36)

то взаимная спектральная плотность имеет вид:

(5.41)

Если сигналы и не связаны (не коррелированны) между собой, то взаимная спектральная плотность определяется как:

(5.42)

Рассмотрим связь между статистическими характеристиками двух стационарных случайных процессов и , являющимися входным и выходным сигналами линейной динамической системы с передаточной функцией .

Рис. 5.18.

Наиболее просто определяется связь между математическими ожиданиями этих сигналов. Так как у стационарных сигналов математические ожидания являются постоянными величинами, то связь между ними определяется уравнением статики звена:

(5.43)

Преобразование входного сигнала в выходной сигнал можно рассматривать во временной и частотной областях.