4. Ускорение вычислений.

Ускорение достигается за счёт одновременного вычисления правых частей, за счёт одновременного вычисления прогнозируемых значений параметров, за счёт одновременного вычисления прогнозируемых правых частей и одновременного вычисления новых параметров. Потери времени происходят на 3 и 4 этапах за счёт пересылок. Потери точности при таком алгоритме и правильном выборе шага не происходит.

Size = n+1

Действие Rank

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0

R^1 □□□□

R^2 □□□□

R^3 □□□□

X^k+1 □□□□

t^k+1=t^k+t

t^k+1≤tmax

Печать X^k+1

1

t^k+1=t^k+t

t^k+1≤tmax

2

t^k+1=t^k+t

t^k+1≤tmax

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

Size -1

t^k+1=t^k+t

t^k+1≤tmax

4. Ускорение и точность вычислений.

Ускорение достигается за счёт одновременного вычисления коэффициентов R¹ R² R³ R⁴ и X^k+1 . Потери времени за счёт пересылок. Потери точности при правильном выборе шага τ не происходит.

Пример: решить задачу Коши методом Рунге-Кутта2.

τ =0.01; t⁰=0.0; t_max=1.0

Size = 4

#include<stdio.h>

# include<math.h>

# include<mpi.h>

void main (inf argc, char **argv) {

MPI_Init (&argc,&argv);

int size, rank;

MPI_Comm_size (MPI_COMM_WORLD,& size);

MPI_Comm_rank (MPI_COMM_WORLD,& rank);

const int n=3;

double x[n]={1.0, 2.0, 4.0}

xx[n], f, time=0.0, tau=0.01;

tmax = 1.0;

MPI_Status status;

const int msgtag = 7;

int j = rank-1;

do {

if (!rank) {

for (int i=0; i<n; i++)

MPI_Recv (&xx[i],1, MPI_DOUBLE,i+1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

for (i=0; i<n; i++)

MPI_Ssend (xx, n, MPI_DOUBLE, i+1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

for (i=0; i<n; i++)

MPI_Recv (& x[i],1, MPI_DOUBLE,i+1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

for (i=0; i<n; i++)

MPI_Ssend (x, n, MPI_DOUBLE, i+1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

}

……….

else {

switch (rank) {

case 1: xx[j]=x[0]+tau*(3.0*x[0]-2.0*x[1]+x[2])/2.0;

break;

case 2: xx[j]=x[1]+tau*(pow(x[0],3.0)-pow (x[2],3.0))/2.0;

break;

case 3: xx[j]=x[2]+tau*(x[0]+x[1]-pow(x[2],2.0))/2.0;

break;

}

MPI_Ssend (& xx[j], 1, MPI_DOUBLE, 0, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

MPI_Recv (xx, n, MPI_DOUBLE,0,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

Switch (rank) {

case 1: f=3.0*xx[0] – 2.0*xx[1]+xx[2];

break;

case 2: f=pow (xx[0],3.0)-pow(x[2],3.0);

break;

case 3: f=xx[0]*xx[1]-pow()xx[2],2.0);

break;

}

x[j]+=tau*f;

MPI_Ssend (& x[j],1, MPI_DOUBLE, 0, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

MPI_Recv (x, n, MPI_DOUBLE,0,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

} //else

time + = tau;

} while (time <=tmax);

if (! rank) {

for (int i=0; i<n; i++)

print (“x[%d] = %7.2f’’,i,x[i]);

print (“\n”);

}

MPI_Finalize();

}