Решение уравнений в частных производных

Решение уравнения теплопроводности в одномерном случае.

Постановка задачи: пусть дан тонкий однородный стержень длины L, уравнение распространения тепла в стержне описывается так:

где u (x, t) – температура;

x – Координата;

t – Время;

a²>0 – коэффициент температуропроводности;

u (x, 0) = u (x, t⁰) = φ(x), где φ(x) – известная функция;

u |_Г1 = u (0,t) = ψ₁(t) =

u |_Г2 = u (L,t) = ψ₂(t) =

и - известные значения.

Найти значение температуры для любого момента времени t>t₀ u(x,t) для любых t>t₀

Расчётные формулы:

Метод расчётных сеток

x_i±1x_i±h;

t^k+1_τ=t^k+ τ;

u(x,t)~

= u (x_i,t^k);

по оси x n-точек

неустойчивая схема

Условие устойчивости:

Алгоритм распараллеливания. Воспользуемся геометрическим видом параллелизма. Весь стержень разобьём на примерно равные части, число которых равно числу используемых процессов. Пусть L – длина стержня, size – число процессов.

int N = (int) (L/h)+ 1;

int l1 = (int) (N/size);

int l2 = N%size; // остаток от деления

size = 3; N=14;

rank	l1	l2
0	4	2
1	4	2
2	4	2

if (l2) {

if (rank == size -1) l1 ++;

l2 --;

}

if (l2) if (rank <l2) l1 ++;

n = l1

0 1 2 3 4 5

if ((rank ==0)//(rank ==size-1))

n++;else n+=2;

В начальный момент времени начальное значение температур известны на всех процессах, причём учитываются дополнительные точки.

Определим значения в граничных точках. Организуем цикл по времени от t₀ до t_max с шагом τ. На каждой итерации будет выполняться:

1. все процессы одновременно вычисляют значения температур в своих внутренних точках. Значения записываются в некоторый вспомогательный массив;

2. все процессы одновременно переписывают значения из вспомогательного массива в основной массив для внутренних точек.

3. Все процессы получают значение в своих граничных точках от соседних процессов, для которых эти точки являются внутренними.

if (rank % 2) { // нечётные процессы

MPI_Send (& u[1],1, MPI_DOUBLE, rank-1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

MPI_Recv (& u[0], 1, MPI_DOUBLE,rank-1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

if (rank ! = size -1) {

MPI_Send (& u[n-2],1, MPI_DOUBLE, rank+1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

MPI_Recv (& u[n-1], 1, MPI_DOUBLE,rank+1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

}

}

else { // чётные процессы

if (rank ! = size -1) {

MPI_Recv (& u[n-1], 1, MPI_DOUBLE,rank+1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

MPI_Send (& u[n-2],1, MPI_DOUBLE, rank+1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

if (rank) {

MPI_Recv (& u[0], 1, MPI_DOUBLE,rank-1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

MPI_Send (& u[1],1, MPI_DOUBLE, rank-1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

}

}

Нулевой процесс и последний процесс определяют значение на левой и правой границе соответственно.

4. все процессы делают шаг по времени;

5. все процессы проверят условия окончания итерационного процесса. Если процесс не закончен то пункт 1, иначе пункт – 6;

6. все процессы последовательно печатают вычисленные значения. Нумерация элементов массива сквозная и дополнительные точки не учитываются.

Пример последовательной распечатки:

if (! rank) {

for (i=0; i<n-1; i++)

print f (“u[%d] = %2.8f\n”,i,u[i]);

l=n-1;

MPI_Ssend (& l,1, MPI_Int,1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

}

else {

MPI_Recv (&l, 1, MPI_Int,rank-1,msgtag, MPI_COMM_WORLD,& Status);

for (i=1; i<n-1;i++, l++)

printf (“u[%d] = %2.8f\n”,l,u[i]);

if (rank ! = size -1)

MPI_Ssend (& l,1, MPI_Int,rank+1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

else

printf (“u[%d] = %2.8f\n”,l,u[n-1]);

}

Ускорение вычислений достигается за счёт одновременного вычисления всеми процессами новых температур во внутренних точках, но потеря времени при передаче. Передача осуществляется за 4 такта.

При данном алгоритме распараллеливания потери точности не происходит.