Колебания мембраны

1. Постановка задачи: пусть дана мембрана, натянутая на плоский контур L. Поперечное смещение точек мембраны (они перпендикулярны плоскости мембраны) описываются уравнением вида: , где u(x,y,t) x,y – координаты, t – время

a²>0, a²=T/ρ, где T – сила натяжения, ρ – поверхностная площадь мембраны

u|_Г1 = 0, u|_Г2 = 0, u|_Г3 = 0, u|_Г4 = 0.

u|_t⁰₌₀ = φ (x,y) – известная функция определяющая смещение точек мембраны в начальный момент времени;

функция, определяющая поперечные скорости точек мембраны в начальный момент времени.

Найти смещение точек мембраны для любых t>t⁰, u (x,y,t)

2. Расчетные формулы

h_x=h_y=h - шаг;

x_i±1=x_i±h

y_j±1=y_j±h

τ

t^k+1=t^k+ τ

u(x,y,t)~

=u(x_i,y_j,t^k)

k=0

3. Алгоритм распараллеливания. Воспользуемся геометрическим видом параллелизма. Мембрану «разрежем» на прямоугольные полосы приблизительно равных частей по оси X. (аналогично стержню).

Введём дополнительные столбцы точек в начале и в конце участков для всех процессов кроме нулевого и последнего. В начальный момент времени во всех точках определим значения смещений и поперечных скоростей с учётом ведения столбцов дополнительных точек.

Организуем цикл по времени от t начальное до t максимальное. На каждой итерации будет выполняться:

1. все процессы одновременно вычисляют свои значения смещений в своих внутренних точках. Вычисленные значения записываются во вспомогательный массив ;

2. все процессы одновременно переприсваивают значение →

→

3. значение смещения в своих граничных точках процессы получают от соседних процессов, для которых эти точки являются внутренними. Передача осуществляется за четыре такта. В данном случае передаём столбцы значений.

double u [n][m]

MPI_Send (u[1], m, MPI_DOUBLE, rank-1, msgtag, MPI_COMM_WORLD);

4. определим значения смещений на границах области

5. все процессы делают шаг по времени и проверяют условие окончания итерационного процесса. Если процесс не закончился, то переходим к пункту 1, иначе – к пункту 6;

6. все процессы последовательно печатают смещения. Нумерация сквозная. Значения в дополнительных точках не печатаются;

4. Ускорение вычислений. Ускорение достигается за счёт одновременного вычисления всеми процессами новых значений смещений во внутренних точках своих подобластей. Потеря времени за счёт передач. Потери точности при данном алгоритме не происходит.

Решение стационарных уравнений на мвс

искомая функция u(x,y) в этой области удовлетворят уравнению

где u(x,y) – искомая функция

x,y – координаты

- заданная функция координат

- известные заданные функции

Найти функцию u(x,y)

2. Расчётные формулы

h_x=h_y=h - шаг;

x_i±1=x_i±h

y_j±1=y_j±h

- значение искомой функции в (i,j) точке на к-ой итерации

ω_ij=ω(x_i,y_j)

i = 1,2,3,…n j = 1,2,…m

Расчётная формула по методу Либмена:

Метод верхней релаксации:

1<Ө<2

Ө=1.82

Останов итерационного процесса осуществляется:

1. по числу шагов;

2. при выполнении условия где ε – заданная точность.