Лабораторная работа 4. Экспериментальное изучение уравнения бернулли

4.1 Цель работы

Уяснить физический и геометрический смысл уравнения Бернулли. По опытным данным построить линии пьезометрического и динамического напоров для трубопровода переменного сечения. Проследить по приборам переход энергии в потоке из потенциальной в кинетическую и обратно, в соответствии с уравнением Бернулли.

4.2 Задачи работы

• вычислить удельную энергию давления;

• рассчитать удельную кинетическую энергию потока;

• найти потерю энергии (напора);

• определить расход воды;

• вычислить среднюю скорость воды в трубопроводе;

• установить скорость по оси трубопровода;

• определить число Рейнольдса;

• найти кинетическую энергию потока;

• рассчитать коэффициент неравномерности скорости по сечению трубы.

4.3 Краткие теоретические сведения

При установившемся движении идеальной (невязкой) жидкости полная удельная (т. е. отнесенная к единице количества жидкости) энергия потока в каждом сечении потока остается постоянной. Так как полная удельная энергия движущегося потока складывается из удельной потенциальной энергии положения z, удельной потенциальной энергии давления и удельной кинетической энергии , то можно записать:

. (4.1)

Это уравнение называется уравнением Бернулли для плавнодвижущейся идеальной жидкости, которое обычно записывается для двух сечений:

, (4.2)

где z – геометрическая высота расположения центра сечения потока относительно условной произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения; р и v – давление и скорость в рассматриваемом сечении; – удельный вес жидкости; g – ускорение силы тяжести.

Физически уравнение Бернулли есть математическая запись закона сохранения и превращения энергии, применительно к движущейся жидкости.

Из уравнения следует, что если на участке потока уменьшается скорость (кинетическая энергия), то на этом участке должно возрасти давление (потенциальная энергия). В этом выражается превращение одной энергии в другую (в данном случае кинетической в потенциальную) и постоянство суммарной энергии в каждом сечении по длине потока.

В гидравлике энергия, отнесенная к единице веса жидкости, называется напором. В соответствии с этим каждый член уравнения Бернулли может иметь название: z – геометрический напор; – пьезометрический напор; скоростной напор. Сумма пьезометрического и геометрического напоров называется статическим или потенциальным напором. Таким образом, уравнение Бернулли – это сумма статического и скоростного напоров в любом сечении потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

При движении вязких жидкостей часть механической энергии теряется на преодоление сопротивлений или сил трения между отдельными слоями жидкости и, переходя в тепловую энергию, рассеивается. Следовательно, часть механической энергии теряется и удельная энергия потока от сечения к сечению уменьшается на величину потерь энергии h_w.

С другой стороны, вследствие трения скорость в каждой точке сечения потока не постоянна. Так, около стенки частицы прилипают к ней (v = 0), а в центре потока имеют максимальное значение (v = v_max). В гидравлике введен коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скорости по живому сечению потока . Таким образом, уравнение Бернулли для реального потока жидкости:

. (4.3)

Каждый член уравнения Бернулли, имеющий линейную размерность:

может быть представлен в виде вертикального отрезка. Это позволяет наглядно демонстрировать значение каждой величины в уравнении Бернулли и зависимость любой из них от условий протекания воды в трубе. Если соединить плавной линией концы отрезков , то получится линия, которая называется пьезометрической. Линия, соединяющая концы отрезком в каждом сечении, называется напорной. Для идеальной жидкости эта линия парал

Рисунок 4.1 – График напоров

лельна линии отсчета 0–0. Сумма трех высот z, и называется полным или начальным напором и обозначается (рис. 4.1).

Для цилиндрической трубы потенциальная энергия, т. е. сумма пьезометрической и геометрической высот:

,

в первом сечении больше, чем во втором:

,

на величину потерь напора . Из условия неразрывности потока:

,

скорость движения потока во всех сечениях постоянна, т.к. труба цилиндрическая . Тогда потеря напора из уравнения Бернулли (4.3) для реальной жидкости найдется:

Поскольку потеря напора на трение пропорциональна длине участка, то пьезометрическая линия для участка цилиндрической трубы, т. е. , представляет собой опускающуюся прямую.

Для трубы переменного сечения закон изменения давления будет более сложным и выразится ломаной линией (рис. 4.1, сечение 1– 6), т. к. при переходе жидкости из трубы с узким сечением в трубу с широким сечением, согласно уравнению неразрывности , изменится скорость потока, что вызовет изменение кинетической энергии (скоростного напора) . Это, в свою очередь, согласно уравнения Бернулли, должно вызвать изменение потенциальной энергии. В данном случае пьезометрическая линия может опускаться (при увеличении скорости) или подниматься (при уменьшении скорости) вдоль потока. Например, пусть, идеальная жидкость, течет в трубе, диаметр которой плавно увеличивается (сечение 2–3 f₁<f₂). Так как сечение возрастает, то по уравнению неразрывности f₂v₂ = f₃v₃ скорость уменьшается: .

Если скорость уменьшается, то из уравнения Бернулли следует:

.

Давление возрастает (положение трубы z фиксировано), т. к. сумма их постоянна вдоль трубы. Нетрудно заметить, что в этом случае (при расширении сечения потока жидкости и уменьшении скорости) часть кинетической энергии переходит в потенциальную, о чем уже говорили выше. Таким образом, в случае трубы переменного сечения пьезометрическая линия может, как опускаться, так и подниматься, например, в. случае расширения . В то же время в связи с потерей напора на преодоление трения, напорная линия всегда опускается, т. е. величина располагаемой энергии потока всегда убывает вдоль трубы.

Потерю напора между сечениями 1 – 1 и 6 – 6, или, что то же самое, потерю полной энергии определяют по формуле:

Потеря энергии на единицу пути называется гидравлическим уклоном . Средний гидравлический уклон на участке 1 между сечениями 1 – 1 и 6 – 6:

Аналогично вводится понятие о пьезометрическом уклоне: