- •§17.Определение производной
- •§34.Теорема Лагранжа
- •§35.Возрастание (убывание) функции
- •§36.Необходимые условия возрастания (убывания) функции
- •§37.Достаточные условия возрастания (убывания) функции
- •§38.Правило Лопиталя
- •§39.Формулы Тейлора и Маклорена
- •§40.Определение экстремума функции
- •§41.Необходимые условия экстремума функции
- •§42.Достаточные условия экстремума функции
- •§43.Выпуклость графика функции
- •§44.Необходимые условия выпуклости
- •§45.Достаточные условия выпуклости
- •§46.Определение точки перегиба
- •§47.Необходимые условия точки перегиба
- •§48.Достаточные условия точки перегиба
- •§49.Асимптоты
- •§50.План построения графиков
- •Формулы
§34.Теорема Лагранжа
(франц. математик 1736-1813)
Теорема . Пусть функция определена и непрерывна на отрезке и дифференцируема в каждой точке интервала . Тогда существует точка такая, что
Пример 34.1. На рис. 34.1 дан график функции Рассмотрим участок графика между точками A(0;5) и В(2;9). Т.к. наша функция удовлетворяет условиям теоремы, то теорема Лагранжа утверждает, что на интервале найдется (по крайней мере одна) точка, через которую проведенная касательная параллельна прямой, проходящей через точки А и В.
Рис. 34.1.
§35.Возрастание (убывание) функции
Определение. Функция называется возрастающей на , если для любых точек , удовлетворяющих ,выполняется неравенство
Определение. Функция называется убывающей на , если для любых точек , удовлетворяющих , выполняется неравенство
Рис. 35.1.
Пример 35.1. На рисунке 35.1 дан (на отрезке
[-3;2]) график функции Очевидно, что на отрезках [-3,-2] и [1,2] функция возрастает, а на отрезке [-2,1] убывает.
§36.Необходимые условия возрастания (убывания) функции
Теорема. Если функция дифференцируема и возрастает (убывает) на , то ( )
Пример 36.1. Функция, график которой указан на рис.36.1, возрастает на отрезке [-3,-2]. Поэтому тангенс угла наклона касательной (на этой части графика) не может быть отрицательным. При х=-2 тангенс угла наклона касательной равен нулю: (касательная горизонтальная, см. рис. 36.1).
Рис. 36.1.
§37.Достаточные условия возрастания (убывания) функции
Теорема. Если ( ) то возрастает (убывает) на
Рис. 37.1.
Пример 37.1. Рассмотрим (см. рис. 37.1) функцию Ее производная
Приравняем производную нулю Производная равна нулю при и (см. рис. 37.1, касательные в этих точках горизонтальные). На рис. 37.2 указаны знаки производной нашей функции. Пользуясь формулой замечаем, что производная положительна при и отрицательна при
Рис. 37.2.
Поэтому на промежутках и функция возрастает, а на промежутке - убывает (см. рис. 37.1).
§38.Правило Лопиталя
(франц. математик 1661-1704)
Теорема 38.1.. Если то когда последний предел (конечный, или бесконечный) существует.
Теорема 38.2. Если то когда последний предел (конечный, или бесконечный) существует.
Пример 38.1. = =
= =19 и 8=
Пример 38.2. =14 и 9=
=
Пример 38.3. =0; здесь правило Лопиталя применить нельзя (получите неправильный ответ 5/2).
Пример 38.4. = =Ш= Ш= =
= = 19 и 8= =
=
§39.Формулы Тейлора и Маклорена
(англ. матем., 1685-1731; шотл. матем. 1698-1746).
Теорема (формула Тейлора). Пусть функция раз дифференцируема на отрезке . Тогда
, где
Замечание. Если =0, то соответствующая формула называется формулой Маклорена.
Теорема. Из формулы Маклорена следуют:
для всех
для всех
для всех
для всех
для всех
Пример 39.1. Функцию разложим в ряд по степеням . Имеем: 8,14,Ш= . Подставив в формулу Тейлора (при а=0), получим (нули можно не писать):