§40.Определение экстремума функции

Определение. Функция имеет экстремум (максимум или минимум) в точке , если является наибольшим или наименьшим значением функции в некоторой окрестности точки (сомнительно).

Пример 40.1. Рассмотрим (см. рис. 37.1) функцию

Ясно, что , при этом 26 является наибольшим значением функция в окрестности

(-3,-1). Поэтому (-2,26) является точкой максимума. Аналогично (1,-1)- точка минимума данной функции.

§41.Необходимые условия экстремума функции

Определение. Точка называется критической точкой (по первой производной), если производная или не существует.

Теорема 41.1. Только критические точки могут быть точками экстремума.

Теорема 41.2. Не все критические точки являются точками экстремума.

Пример 41.1. В примере 40.1 точки (-2,26) и

(1,-1) являются критическими точками, т.к. производная в них равна нулю. Эти точки также являются точками экстремума.

Рис. 41.1. Рис. 41.2. Рис. 41.3.

Пример 41.2. На рис. 41.1 дан график функции . Производная , . Поэтому точка (0,0) является критической точкой, но не является точкой экстремума (ибо она не является ни точкой максимума, ни точкой минимума).

Пример 41.3.На рис. 41.2 видим график . Производная ; (т.е. производная в нуле не существует). Точка (0,0) – критическая точка. Однако эта точка не является точкой экстремума, так как функция не определена с лева от нее.

Пример 41.4. На рис. 41.3 график . Здесь точка (0,0) является точкой экстремума (минимум),а, значит, и критической точкой (производна ).

§42.Достаточные условия экстремума функции

Теорема. Пусть непрерывна в некоторой окрестности точки Тогда, если при переходе через точку производная меняет знак, то функция в точке имеет экстремум. При этом, если меняет знак с минуса на плюс, то в точке минимум. Если меняет знак с плюса на минус, то в точке максимум.

Пример 42.1. Еще раз проанализируем рис. 37.1:

левее точки (-2,26) производная положительна (так как тангенс угла наклона касательной больше нуля). Правее от этой точки производная отрицательна. Иначе говоря, при переходе через точку (-2,26) производная меняет знак с плюса на минус. Поэтому точка (-2,26) является точкой максимума. Что касается точки (1,-1), то при переходе через нее производна меняет знак с минуса на плюс. Поэтому точка (1,-1) является точкой минимума.

Пример 42.2. При переходе через точку (0,0) (см. рис. 41.1) производная не меняет знак (слева плюс и справа плюс). Поэтому (0,0) не является точкой экстремума.

Пример 42.3. На рис. 41.3 точка (0,0) является точкой минимума, т.к. слева производна отрицательна, а справа положительна.

§43.Выпуклость графика функции

Определение. Кривая называется выпуклой «вверх» («вниз») в некотором интервале , если на этом интервале кривая находится «ниже» («выше») (кроме точки ) любой касательной, проведенной в любой точке

Выпуклость вверх будем обозначать (правильное расположение зонтика), а выпуклость вниз - (неправильное расположение зонтика).

Пример 43.1. Рассмотрим график функции :

Рис. 43.1.

На промежутке функция выпукла вверх, т.к. на этом промежутке график находится ниже любой касательной. На промежутке функция выпукла вниз, т.к. график находится выше любой касательной.