§44.Необходимые условия выпуклости

Теорема. Если на функция выпукла «вверх» («вниз») и дважды дифференцируема, то ( ) для всех .

Рис. 44.1.

Пример 44.1. На промежутке функция выпукла вверх. Если точку касания А (см. рис. 44.1) будем передвигать слева направо, то касательная будет поворачиваться по часовой стрелке. Значит тангенс угла наклона касательной будет убывать. Т.е. первая производная будет убывать. Отсюда следует, что вторая производная неположительная (см. §36). Проверьте, что вторая производная в точке х=0 равняется нулю. Аналогично рассуждаем для промежутка .

§45.Достаточные условия выпуклости

Теорема. Если ( ) на то на этом интервале функция выпукла «вверх» («вниз»).

Пример 45.1. Определим направления выпуклости функции Находим Из школьного курса следует, что при вторая производная При вторая производная

Рис. 45.1.

Поэтому на интервале функция выпукла вверх, а на интервале - вниз:

Рис. 45.2.

Пользуясь периодичностью делаем вывод, что выпукла вверх при и выпукла вниз при .

§46.Определение точки перегиба

Определение. Точка называется точкой перегиба функции, если при переходе через эту точку функция меняет выпуклость «вверх» на выпуклость «вниз» (или выпуклость «вниз» на выпуклость «вверх»).

Пример 46.1. Точки являются точками перегиба функции , т.к. при переходе через эти точки меняется направление выпуклости. Например слева от х=0 функция выпукла вниз, а справа от х=0 – выпукла вверх:

Рис. 46.1.

§47.Необходимые условия точки перегиба

Определение. Критической точкой (по второй производной) называется точка, в которой вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема. Только критические точки могут являться точками перегиба. Не любая критическая точка является точкой перегиба.

Пример 47.1. Рассмотрим функцию . Легко проверить, что , . Вторая производная обращается в ноль при ; . Соответствующие ординаты этих точек равны:

Это критические точки (по второй производной). Знаки второй производной и график функции указаны на следующих рисунках:

Рис. 47.1.

Рис. 47.2.

Хотя здесь три критические точки (по второй производной), но из рисунка видим, что точками перегиба являются только точки и . Точка не является точкой перегиба, но является точкой максимума.

§48.Достаточные условия точки перегиба

Теорема. Если при переходе через точку

вторая производная меняет знак, то эта точка является точкой перегиба.

Пример 48.1. Рассмотрим функцию из примера 47.1. Т.к. левее точки вторая производна , а правее (см. рис. 47.1), то точка является точкой перегиба. Аналогичные рассуждения можно провести для критических (по второй производной) точек и .

§49.Асимптоты

Определение. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки , лежащей на графике, до прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Теорема. Прямая является вертикальной асимптотой, если

Теорема. Прямая является наклонной асимптотой, если существуют (конечные) пределы:

Пример 49.1. Из рис. 49.1 видно, что прямые у=0 (ось абсцисс) и х=0 (ось ординат) являются асимптотами функции .

Рис. 49.1. Рис. 49.2.

Пример 49.2. Если гиперболу поднять на одну единицу вверх, то получим (см. рис. 49.2) график функции . В этом случае асимптотами являются прямые х=0 и у=1.