Определение внутренних усилий при изгибе

При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникают два внут­ренних усилия (внутренних силовых фактора) – изгибающий момент М и поперечная сила Q, Для их опреде­ления применим метод сечений. В интересующем нас месте сделаем мысленный разрез балки, напри­мер на расстоянии z от левой опо­ры (рис. 14.3, а). Отбро­сим одну из частей балки, например правую, и рассмотрим равновесие левой части.

Взаимодействие частей балки заменим внутренними усилиями: изгибающим момен­том М и по­перечной силой Q (рис. 14.3, б).

Рис. 14.3.

Для определения М и Q исполь­зуем два уравнения равновесия:

У = 0; V_а – Р – Q = 0; откуда Q = V_а – P;

М_I = 0; V_аz – Р(z – x) – M = 0; откуда М = V_аz – Р(z – x).

Таким образом,

1) Поперечная сила q в поперечном сечении балки численно равна алгебраиче­ской сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения;

2) изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраи­ческой сумме моментов (вычисленных относи­тельно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил

Поперечная сила в сечении балки I – I (рис. 14.4, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 14.4, б).

Рис. 14.4.

Изгибающий момент в сечении балки, например в сечении I – I (рис. 14.5 и 14.6, а), считается положительным, если равнодей­ствующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, а справа – против часовой стрелки, и отрица­тельным – в про­тивоположном случае (рис. 14.5 и 14.6, б). Моменты, изображенные на рисунках (а), изги­бают балку выпуклостью вниз (растянуты нижние волокна балки), а моменты, изображен­ные на рисунках (б), изгибают балку выпуклостью вверх (растянуты верхние волокна балки). Это можно легко проверить, изгибая тонкую линейку.

Рис. 14.5.

Рис. 14.6.

Отсюда следует другое, более удобное для запоминания правило знаков для изгибаю­щего момента. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз. Волокна балки, расположенные в вогнутой части, испытывают сжатие, а в выпуклой – растяжение.

При построении эпюр поперечных сил положительные ординаты откладываются вверх от рассматриваемой оси балки. В отличие от поперечных сил, положительные ординаты для эпюр изгибающих моментов откладываются вниз (показывают растянутые волокна).

Изгиб прямого бруса

Известно, что деформация изгиба характеризуется тем, что в поперечных сечениях балки возникают изгибающие моменты, и, часто одновременно с последними – поперечные силы;

Изгиб называют чистым, если в сечениях балки возникают только изгибающие моменты.

Если же наряду с изгибающими моментами в сечениях балки возникают и поперечные силы, изгиб называют поперечным.

Деформация изгиба имеет место в результате действия внешних сил, приложенных перпендикулярно оси балки, а также от пар сил, плоскость действия которых проходит через ее ось.

Плоскости, в которых лежат главные центральные оси инерции поперечных сечений, называют главными плоскостями балки.

Рис. 1.

Если плоскость действия сил (силовая плоскость) проходит через одну из главных плоскостей балки и ось ее деформируется (искривляется) в этой же плоскости, изгиб называют плоским, или прямым (рис. 1).

Если же силовая плоскость не сов­падает ни с одной из главных пло­скостей балки, изгиб называют косым_, так как в этом случае - изогнутая ось балки не лежит в силовой плоскости.

Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сече­ния балки называется силовой линией.

Поскольку допускаемые перемещения балок весьма малы, при изучении изгиба не принимают во внимание влияния их на изменение первоначальной длины балки и расстояний между нагрузками. Напри­мер, вследствие прогиба балки, произойдет перемещение подвижной опоры внутрь пролета и его величина несколько уменьшится. Это из­менение пролета будет весьма малым по сравнению, с длиной балки. Поэтому при решении задач на изгиб может применяться принцип независимости действия сил, который, заключается в том, что при действии на балку нескольких нагрузок напряжения и деформации можно определять как сумму напряжений или деформа­ций, вычисленных отдельно от каждой нагрузки.

В общем задача изучения плоского изгиба сводится к следующему: а) изучению внутренних сил, возникающих в сечений балки; б) установлению закона распределения внутренних сил (напряжений) по сечению; в) выводу формул для определения напряжений и для под­бора сечений балок; г) изучению линейных и угловых перемещений – прогибов и углов поворота поперечных сечений балок.