Расчет балок на прочность при изгибе

Расчет балок на прочность при изгибе методом допускаемых напря­жений производят по наибольшим нормальным напряжениям, возни­кающим в их поперечных сечениях. Одновременно с нормальными напряжениями при поперечном изгибе в сечениях балок возикают также касательные напряжения, которые обычно незна­чительны, и при расчетах на прочность их не учитывают.

Для балок, материал которых работает одинаково на растяжение и сжатие, т. е. при _р = _с (сталь и др.), целесообразно применять сечения, симметричные относительно нейтральной оси. В этом случае максимальные растягивающие и сжимающие напряжения в сечении оказываются равными (по абсолютной величине).

Условие прочности при изгибе для таких балок выражается неравенством:

Для балок, выполненных из материалов, различно работающих на растяжение и сжатие, т. е. при _р ≠ _с (чугун и.др.), целесообразно применять сечения несимметричные относительно нейтральной оси. При этом сечение необходимо располагать так, чтобы расстояние h₁ от нейтральной оси до наиболее растянутого волокна было менее расстояния h₂ до наиболее сжатого волокна, т. е. h₁ < h₂.

Следовательно, условия прочности для таких балок имеют вид:

Перенеся в знаменатель h₁ и h₂ и приняв J_x:h₁ = W_x и J_x:h₂ = W_x, получим:

причем в формулы подставляют наибольшие (по абсолютной величине) значения М_х.

Полученные условия прочности выражают требование, чтобы действительные напряжения в поперечных сечениях балок не превы­шали допускаемого напряжения для данного материала.

Величина I_x является геометрической характеристикой жесткости поперечного сечения, а величина W_x – геометрической характеристикой прочности сечения балки.

Пользуясь полученными формулами при расчете балок постоянного сечения на изгиб, можно решать следующие задачи:

а) проверка прочности балки, заключающаяся в определении напряжения в ее опасном сечении, т. е. в котором возникает наиболь­ший изгибающий момент.

Для решения этой задачи должны быть известны размеры попереч­ного сечения балки, по которым определяют ее момент сопротивления W_x. Изгибающий момент в случае сложных нагрузок берут из эпюры моментов, а при несложных нагрузках – по ранее выведенным фор­мулам.

Если при проверке окажется, что полученное напряжение превы­шает допускаемое, то это значит, что данное поперечное сечение не удовлетворяет условию прочности и должно быть увеличено;

б) подбор сечения балки по формуле, получаемой из условия проч­ности:

Для получения необходимых размеров поперечного сечения балки следует задаться формой сечения, а затем, применяя соответствующую ей формулу момента сопротивления, определить размеры поперечного сечения;

в) определение наибольшей допустимой нагрузки на балку.

Для решения этой задачи вычисляется значение наибольшего допустимого изгибающего момента по формуле:

который приравнивается выражению расчетного изгибающего момента, содержащему неизвестную нагрузку.

Рациональные формы сечений балок

В формуле для определения величины нормальных напряжений при изгибе

величина момента сопротивления входит в знаменатель. Следовательно, чем больше его величина, тем прочнее балка, так как напряжения в ее сечении будут меньше. Наиболее рациональными, с точки зрения экономии материала, будут сечения, у которых при меньшей площади будут большие моменты сопротивления. Прямоугольные сечения, у которых высота больше ширины, т. е. h > b, выгоднее, чем квадрат­ные той же площади.

Балка прямоугольного сечения, поло­женная на опоры большей его стороной, т. е. «плашмя», имеет меньший момент сопротивления, чем положенная на опоры меньшей стороной сечения. Поэтому и нельзя укладывать балки на опоры плашмя.

Балки прямоугольного и круглого сечения обычно изготовляют из дерева. Для металлических балок принимают более рациональные сечения, чем для деревянных.

Материал балок вблизи нейтральной оси напряжен незначительно, поэтому выгоднее сосредоточить его дальше от нейтральной оси в тех местах, где он будет испытывать большие напряжения. Вот почему для балок из металла, одинаково работающего на растяжение и на сжатие, чаще всего принимают сечения в виде двутавра и швеллера. Эти балки по сравнению с балками прямоугольного и круглого сече­нии при одной и той же площади имеют значительно большие моменты сопротивления. В двутавровых балках и швеллерах нейтральная ось проходит посредине их высоты, вследствие чего наибольшие напряжения растяжения и сжатия будут по абсолютной величине одинаковыми.

Балкам, материал которых неодинаково работает на растяжение и сжатие (например, чугун), придают другие формы поперечного се­чения, несимметричные относительно нейтральной оси, например в виде тавра.

В практике часто встречается кольцевое сечение балок. Момент сопротивления кольцевого сечения больше, чем сплошного круглого сечения той же площади, потому что материал в кольцевом сечении использован более рационально: он отнесен дальше от нейтральной оси, вблизи которой напряжен незначительно.

Таким образом, при выборе поперечного сечения балок и решении вопроса о наиболее экономичном проектировании их необходимо стремиться к тому, чтобы при одной и той же площади F получить наибольший момент сопротивления и момент инерции. Решение этой задачи вызовет необходимость размещения значительной части мате­риала дальше от нейтральной оси. Хотя в прямоугольном сечении с увеличением высоты момент сопротивления возрастает, это положение нельзя распространять на любые профили балок. Для некоторых сечений повышения момента сопротивления можно добиться не увеличением высоты сечения, а, наоборот, путем уменьшения ее.