Нормальные напряжения при изгибе. Жесткость сечения балки при изгибе

При изучении изгиба прямого бруса было установ­лено, что в общем случае нагружения балки в ее поперечных сечениях возникают изгибающие моменты и поперечные силы. Теперь выясним, какие напряжения в сечениях балки будут соответствовать указанным силовым факторам, для чего обратимся сначала к простейшему опыту.

Возьмем резиновый брусок прямоугольного сечения (рис. 2, а), посередине боковой поверхности которого нанесем продольную линию 00₁ и ряд поперечных, параллельных между собой линий ab, cd, ef, .... Затем приложим к концам балки в плоскости симметрии две равные, но противоположно направленные пары сил с моментом М (рис. 2, б). В результате опыта оказывается: а) линии ab, cd, ef, ... остались пря­мыми и нормальными к оси балки, что подтверждает гипотезу Бернулли о плоских сечениях; б) расстояния между концами их стали другими, чем были до деформаций: на выпуклой стороне балки они увеличились, а на вогнутой – уменьшились; расстояния же между ними посредине высоты балки остались прежними (рис. 2, в); в) ши­рина поперечного сечения сжатой зоны балки увеличилась, а растя­нутой – уменьшилась (рис. 2, г). По этим опытным данным можно заключить, что волокна на вы­пуклой стороне балки растягиваются, а на вогнутой сжимаются, т. е. в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения. Слой волокон, расположенный в середине высоты балки (см. рис. 2, в),не меняет своей длины (не растягивается и не сжимается), а только искривляется. Такой слой называется нейтральным слоем. Волокна, лежащие дальше от нейтрального слоя, удлиняются или укорачиваются больше, чем волокна, расположенные ближе к нему. А из этого, согласно закону Гука, следует, что величина напряжений по высоте поперечного сечения изменяется пропорционально удли­нению волокон, т. е. напряжения нарастают с удалением от нейтраль­ного слоя.

Рис. 2.

Следует заметить, что в данном случае нейтральный слой нахо­дится посредине высоты сечения потому, что балка имеет две оси сим­метрии. При другой форме поперечного сечения нейтральный слой может лежать ниже или выше середины сечения. Опыты показывают, что нейтральный слой в балках, испытывающих чистый прямой изгиб, расположен в плоскости, проходящей через центр тяжести сечения. В дальнейшем такой же вывод мы получим и теоретическим путем.

Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной осью. Она, как и нейтральный слой, проходит через центр тяжести сечения и перпен­дикулярна к плоскости симметрии балки, т. е. к плоскости действия сил.

Перейдем теперь к определению нормальных напряжений в попе­речных сечениях балки при чистом изгибе.

Пусть к балке АВ приложены две равные сосредоточенные силы Р на одинаковом расстоянии от опор (рис. 3). Как видно из эпюры Q, средний участок балки CD испытывает деформацию чистого изгиба, так как поперечная сила во всех поперечных сечениях балки на этом участке равна нулю.

Рис. 3.

Двумя поперечными сечениями 1–1 и 2–2 вырежем из балки этого участка элемент длиной dz и представим его в более крупном масштабе (рис. 4, а–г).

Рис. 4.

После изгиба торцы балки несколько накло­нятся, образуя угол d. Обозначим радиус кривизны изогнутой оси балки , а длину одного из продольных волокон, лежащих в нейтраль­ном слое, – тп. Так как эти волокна не изменяют своей длины при изгибе, можно написать

mn = dz = d.

Любое другое волокно выше или ниже нейтрального слоя изменит свою длину. Рассмотрим волокно т₁п₁, лежащее в растянутой зоне на расстоянии у от нейтраль­ного слоя и, следовательно, удлиняющееся при изгибе. Для определения величины удлинения его проведем че­рез точку п линию, парал­лельную тт₁, до пересечения с волокном m₁n₁ в точке n₂. Тогда можно считать т₁п₂  тп, а отрезок п₁п₂ будем принимать как абсолютное удлинение волокна т₁п₂, или, что то же, волокна тп. Отрезок п₁п₂ приближенно можно принять за дугу круга радиуса у, тогда абсолютное удлинение

п₁п₂ = yd,

а относительное удлинение того же волокна т₁п₂ будет

или, сокращая на d,

т. е. относительное удлинение волокна прямо пропорционально рас­стоянию от него до нейтральной оси балки.

Волокна балки при изгибе испы­тывают только растяжение или сжатие. Поэтому для определения нормального напряжения в рассматриваемом волокне можно воспользоваться законом Гука

 = Е .

Подставив сюда выражение  относительного удлинения произвольного волокна балки, получим величину напряжения в нем:

 = Е_y =

т. е. нормальные напряжения изменяются прямо пропорционально расстоянию от нейтральной оси балки, а в точках, находящихся на самой нейтральной оси, они равны нулю.

Получив, таким образом, закон распределения нормальных напря­жений по высоте поперечного сечения балки при чистом изгибе, пере­ходим к определению их величины в зависимости от величины изги­бающего момента.

Для этого выделим на поперечном сечении (рис. 5, а, б) произ­вольную элементарную площадку dF на расстоянии у от нейтральной оси. Величина элементарной силы, которая возникает на площадке dF,

_ydF = dF.

Из условий равновесия левой отсеченной части балки видим, что уравнение равновесия Y = 0 обращается в тождество вида 0 = 0. Сумма проекций всех элементарных сил на ось z будет выражена ин­тегралом, распространенным на всю площадь сечения F, т. е.

Z =

Величина модуля упругости Е не равна нулю, а радиус кривизны  – величина конечная, т. е. E ≠ 0 и  ≠ 0, следовательно,

Рис. 5.

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. Отсюда следует, что нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сече­ния, потому что только в этом случае статический момент равен нулю.

Элементарная нормальная сила равна _ydF, ее момент относительно нейтральной оси dМ_Х = (_ydF)y. Чтобы оп­ределить полный момент, необходимо суммировать элементарные моменты, распространив сумму на всю площадь поперечного сече­ния балки, т. е.

или, заменив _у равным ему выражением ,

В полученном выражении интеграл является моментом инерции cечения относительно нейтральной оси, т. е.

следовательно, можно написать

Или

где – кривизна изогнутой оси балки; произведение EJ_x называется жесткостью сечения балки, или жесткостью сечения при изгибе. Она характеризует степень сопротив­ляемости балки искривлению оси при изгибе.

Полученное равенство читается так: кривизна изогнутой оси тики прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно про­порциональна жесткости сечения балки.

Подставив полученное выражение в формулу , получим

Окончательно

Полученная формула справедлива для любой формы поперечного сечения, но при условии, если сечение имеет ось симметрии, в плоскости которой действуют изгибающие балку пары сил.

Формула является уравнением прямой, следовательно, нор­мальные напряжения по высоте сечения изменяются по закону пря­мой. Наибольшие напряжения будут в наиболее удаленных от ней­тральной оси волокнах:

Рис. 6.

Если сечение балки несимметрично относительно нейтральной оси, например тавровое сечение (рис. 6), то напряжения в крайних волокнах такой балки будут опре­деляться по формулам:

Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, например для стали, дерева и др., обычно при­меняют сечения, симметричные относительно нейтральной оси, и тогда

а напряжение в наиболее удаленном волокне

Перепишем полученное выражение в виде

Величина J_х : = W_x называется осевым моментом сопро­тивления сечения и является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, определяющей ее прочность при изгибе.

Подставив в последнее выражение вместо J_x: величину момента сопротивления W_х, получим окончательную формулу для определе­ния нормальных напряжений в симметричных сечениях балок:

Момент сопротивления измеряют в м³, см³.

Формула выведена для случая чистого изгиба, при котором поперечные сечения балки остаются плоскими и после деформации. В случае поперечного изгиба сечения испытывают сдвиг, обуслов­ленный наличием в них поперечной силы, и искривляются. Значит, этом случае допущения, положенные в основу вывода формулы окажутся несправедливыми. Однако искривление сечений и надавливание волокон друг на друга настолько незначительны, что не меняют установленного выше закона распределения деформаций волокон. Поэтому данная формула может быть применима и для случая плоского поперечного изгиба балки.