Тема №12. Сдвиг Напряженное состояние и деформации при чистом сдвиге

Если на гранях элемента действуют только касательные напряжения (рис.12.1), то такой вид напряженного состояния называется чистым сдвигом. Площадки, по которым действуют только касательные напряжения, называют­ся площадками чистого сдвига.

Рис. 12.1.

При чистом сдвиге главные напряжения получаются равными по значению и противопо­ложными по знаку: , т. е. одно главное напряжение – растягивающее, другое – сжимающее (рис. 12.2).

Рис. 12.2.

Так как отличны от нуля два главных напряжения, то сдвиг представляет собой частный случай двухосного напряженного состояния.

Главные площадки наклоне­ны под углом 45° к направлению площадок чистого сдвига (рис. 12.2).

Рассмотрим теперь деформации при сдвиге.

Элемент KBCD, прямоугольный до деформации (рис. 12.3, а), после деформации сдвига примет вид KB'C'D (грань KD считаем закрепленной).

Угол ₁ называется угловой де­формацией или углом сдвига.

Опыты показывают, что для многих материалов до известных пределов нагружения между напря­жениями и деформациями при сдви­ге имеет место линейная зависимость

; – которая выражает закон Гука при сдвиге.

Постоянную G называют модулем сдвига (модулем упругости второго рода); – он характе­ризует способность материала сопротивляться деформации сдвига.

Линейная зависимость между  и  справедлива до тех пор, пока касательные напряжения не превзойдут предела пропорци­ональности при сдвиге.

Рис. 12.3.

Из свойства взаимности касательных напряжений легко установить свойство взаимности угловых деформаций. Действи­тельно, если закрепить грань KD (рис. 12.3, а), то получим для угла сдвига

.

Закрепив теперь грань KB' (рис. 11.3, 6), получим для угла ₂

.

Так как равны правые части, то равны и левые, т. е.

₁ ₌ ₂.

Следовательно, угловые деформации двух взаимно перпен­дикулярных площадок равны по значению и противоположны по знаку (свойство взаимности угловых деформаций).

Таким образом, картина перемещений элемента 1234 в ре­зультате линейных и угловых деформаций представлена на рис.12.3, г.

Можно представить, что сначала элемент 1234, как абсолют­но жесткий, перемещается в положение 1'2'3'4', поворачиваясь на угол . Затем в результате линейных деформаций происходит удлинение сторон 12 и 43 и укорочение сторон 14 и 23. В резуль­тате угловых деформаций происходит поворот сторон 1'4' и 4'3' на равные по величине и противоположные по знаку углы , так что окончательно элемент 1234 будет занимать положение 4'1"2"3" (рис. 12.3, г).

Тема №13. Кручение Построение эпюр крутящих моментов

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сече­ниях возникают крутящие моменты, т. е. моменты, лежащие в плоскости сечения. Обычно эти крутящие моменты М_К возника­ют под действием внешних моментов (рис.13.1).

Рис. 13.1. Рис. 13.2.

Однако и поперечная нагрузка, смещенная относительно оси стержня, вызывает крутящие моменты (рис. 13.2), но в указан­ном случае в поперечных сечениях наряду с крутящими момента­ми возникают и другие внутренние усилия – поперечные силы и изгибающие моменты.

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называ­ют валами.

Вместо аксонометрического изображения будем применять главным образом плоское, как более простое. Внешние скручивающие моменты и внутренние крутящие моменты будем изобра­жать в виде линии с двумя кружочками. В одном из них будем ставить точку, обозначающую начало стрелки (на нас), а в дру­гом – крестик, обозначающий конец стрелки, направленный от нас (рис. 13.3).

Рис. 13.3.

Для определения крутящих моментов М_К, возникающих в се­чениях вала под действием внешних скручивающих моментов или поперечной нагрузки, будем применять метод сечений. Сделаем мысленный разрез стержня (рис. 13.3), например по а – а, отбросим одну часть стержня, в данном слу­чае левую, и рассмотрим равно­весие оставшейся правой части.

Взаимодействие частей стер­жня заменим крутящим моментом М_К, уравновешивающим внешний момент М. Для равновесия отсе­ченной части необходимо, чтобы ал­гебраическая сумма всех моментов, действующих на нее, была равна нулю. Отсюда в рассматриваемом случае М = М_К. Если на отсеченную часть будет действовать несколько внешних моментов, то, проведя аналогичные рассуждения, можно убедиться, что крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения.

Для наглядного представления о характере распределения и значении крутящих моментов по длине стержня строят эпюры (графики) этих моментов. Построение их вполне аналогично построению эпюр продольных сил при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Общепринятого правила знаков для крутящих моментов не существует. Может быть принято любое правило знаков. Важно лишь принятое правило выдержать на всем протяжении эпюры.