Лекция 6

Для улучшения результатов по N без увеличения числа участков можно воспользоваться дифференцирующей матрицей.

Рис. 18. К понятию о конечных разностях

Примем квадратичную интерполяцию u (проведем через три точки квадратную параболу):

(2.1.12)

Запишем значения функции в узловых точках

(2.1.13)

Система для определения коэффициентов интерполяции в табличном виде запишется так:

Таблица 5

		П.ч.

Найдем коэффициенты интерполяции:

Внесем полученные коэффициенты в выражение для перемещения (2.1.12)

(2.1.14)

Возьмем первую производную:

(2.1.15)

и запишем ее для трех взятых точек

(2.1.16)

или в матричном виде

(2.1.17)

где дифференцирующая матрица для трех точек

(2.1.18)

и вектор узловых перемещений

(2.1.19)

Используем дифференцирующую матрицу для нашей задачи:

(2.1.20)

В случае пяти точек выражение (2.1.20) в развернутом виде запишется так:

(2.1.21)

Результаты расчета приведены в таблице 5 и на графике (рис. 19).

Таблица 5

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0 (0)	0.797 (0.797)	1.125 (1.125)	0.89 (0.891)	0 (0)
	4.126 (4)	2.250 (2.313)	0.188 (0.25)	-2.250 (-2.188)	-4.878 (-5)

Рисунок 19. Изменение продольного усилия по длине стержня (решение с помощью дифференцирующей матрицы - вариант А)

Лекция 7

Рассмотрим смешанные граничные условия (вариант В).

Рис. 20. Узловые точки для варианта граничных условий В

При x=0 остается, как и прежде, u(0)=u₁=0. На правом торце N(l)=0, а значит В конечно-разностной форме это выражение имеет вид:

(2.1.22)

Такая запись накладывает дополнительные условия на область решения. Обычно вводят «законтурную» точку (точка 6) и статическое граничное условие определяется в этом случае соотношением:

(2.1.23)

Теперь никаких дополнительных условий не накладывается. Точка 5 становится внутренней и система конечноразностных уравнений запишется так (из левого геометрического граничного условия следует, что u₁=0):

(2.1.24)

Следует обратить внимание на то, что для правой крайней точки берется половина значения функции нагрузки, т. к. справа от нее стержень не существует.

Производим прямой ход исключения неизвестных снизу:

(2.1.25)

Выполняем обратный ход, раскрывая  и приводя полученные значения к размерности точного решения:

(2.1.26)

Осуществим переход к усилиям в рамках МКР

(2.1.27)

Воспользуемся дифференцирующей матрицей

(2.1.28)

Результаты расчета приведены в таблице 6 и на графиках (рис. 21, 22). Звездочкой отмечены усилия, полученные в рамках МКР, двумя звездочками – усилия, полученные с помощью дифференцирующей матрицы.

Таблица 6

	0	0.25	0.5	0.75	1.0
	0 (0)	2.063 (2.047)	3.656 (3.625)	4.688 (4.641)	5.063 (5)
	2.751^* 3.064^** (3.0)	1.957^* 2.437^** (2.438)	1.376^* 1.750^** (1.750)	0.473^* 0.939^** (0.938)	- 0.062^** (0)

Рис 21. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных разностей - вариант В)

Рис. 22. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных разностей - вариант В)