Лекция 10
Рассмотрим вариант В. Для него аппроксимирующая функция имеет вид:
(2.2.14)
Внесем соотношение (2.2.14) в уравнение (5):
(2.2.15)
Умножим
почленно на
и проинтегрируем от 0 до l:
(2.2.16)
Здесь мы положили, что
Первый интеграл, входящий в (2.2.16) в силу ортогональности:
(2.2.17)
Второй интеграл возьмем по частям с учетом, что j=i.
(2.2.18)
Выражение (2.2.16) с учетом (2.2.17), (2.2.18) приобретает вид:
(2.2.19)
откуда
(2.2.20)
Внесем (2.2.20) в (2.2.14):
(2.2.21)
На основании равенства (4)
(2.2.22)
Найдем значения перемещения в конце пролета и усилия в начале координат, удерживая один член рядов (35) и (36) и приводя результаты к размерности точного решения.
При одном члене ряда погрешность по перемещению составляет 1.34%, а по усилию – 11.567%.
Запишем программу для численной реализации зависимостей (2.2.21), (2.2.22).
Program BHВ;
uses crt;
const
q=1.0;l=1.0;EA=1.0;m=4;mn=50;
var
i,j,k: integer;
dx,x,nn,uu,un,p2,px,p,i2,ip2:real;
u,N:array[1..m+1] of real;
BEGIN
clrscr;
dx:=l/m;
nn:=16*q*l/sqr(pi);
uu:=6*nn*l/(EA*pi);
Writeln;
Writeln(' Результаты расчета методом Бубнова-Галеркина ');
Writeln;
Writeln(' Координата Перемещение Усилие ');
for k:=1 to m+1 do begin
x:=dx*(k-1)/l;
u[k]:=0;
N[k]:=0;
for j:=1 to mn do begin
i:=2*j-1;
p:=i*pi;
p2:=p/2;
px:=p2*x;
un:=(1-2*(cos(p2)-sin(p2)/p))/sqr(i);
N[k]:=N[k]+un*cos(px);
u[k]:=u[k]+un*sin(px)/i;
end;
Writeln;
Writeln (' x=',x:5:2,' u=',u[k]*uu:6:3,
' N=',N[k]*nn:6:3);
end;
readln;
END.
Результаты машинного счета представлены в таблице 9.
Таблица 9
|
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
Точн. реш. |
0 |
2.047 |
3.625 |
4.641 |
5 |
n=1 |
0 |
1.939 |
3.583 |
4.681 |
5.067 |
|
n=10 |
0 |
2.047 |
3.625 |
4.641 |
5 |
|
|
Точн. реш. |
3.0 |
2.438 |
1.75 |
0.938 |
0 |
n=1 |
2.653 |
2.451 |
1.876 |
1.015 |
0 |
|
n=10 |
2,959 |
2.442 |
1.750 |
0.935 |
0 |
|
n=100 |
2.992 |
2.438 |
1.750 |
0.937 |
0 |
Рис 28. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина - вариант В, число удерживаемых членов ряда - 1)
Рис 29. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина - вариант В, число удерживаемых членов ряда - 1)
Лекция 11
Рассмотрим вариант C. Для него аппроксимирующая функция имеет вид:
(2.2.23)
Внесем соотношение (28) в уравнение (5):
(2.2.24)
Умножим
почленно на
и проинтегрируем от 0 до l:
(2.2.25)
Здесь мы положили, что
Первый интеграл, входящий в (2.2.25) в силу ортогональности:
(2.2.26)
Второй интеграл возьмем по частям с учетом, что j=i.
(2.2.27)
Выражение (2.2.25) с учетом (2.2.26), (2.2.27) приобретает вид:
(2.2.28)
откуда
(2.2.29)
Внесем (2.2.29) в (2.2.23):
(2.2.30)
На основании равенства (4)
(2.2.31)
Найдем значения перемещения в начале координат и усилия в конце пролета, удерживая один член рядов (2.2.30) и (2.2.31) и приводя результаты к размерности точного решения.
При одном члене ряда погрешность по перемещению составляет 1.34%, а по усилию – 11.567%.
Запишем программу для численной реализации зависимостей (2.2.30), (2.2.31).
Program BHС;
uses crt;
const
q=1.0;l=1.0;EA=1.0;m=4;mn=50;
var
i,j,k: integer;
dx,x,nn,uu,un,p2,px,p,i2,ip2:real;
u,N:array[1..m+1] of real;
BEGIN
clrscr;
dx:=l/m;
nn:=16*q*l/sqr(pi);
uu:=6*nn*l/(EA*pi);
Writeln;
Writeln(' Результаты расчета методом Бубнова-Галеркина ');
Writeln;
Writeln(' Координата Перемещение Усилие ');
for k:=1 to m+1 do begin
x:=dx*(k-1)/l;
u[k]:=0;
N[k]:=0;
for j:=1 to mn do begin
i:=2*j-1;
p:=i*pi;
p2:=p/2;
px:=p2*x;
un:=( 2*sin(p2)-(1-cos(p2))/p2)/sqr(i);
N[k]:=N[k]-un*sin(px);
u[k]:=u[k]+un*cos(px)/i;
end;
Writeln;
Writeln (' x=',x:5:2,' u=',u[k]*uu:6:3,
' N=',N[k]*nn:6:3);
end;
readln;
END.
Результаты машинного счета представлены в таблице 11.
Таблица 11
|
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
Точн. реш. |
4 |
3.797 |
3.125 |
1.891 |
0 |
n=1 |
4.221 |
3.900 |
2.985 |
1.615 |
0 |
|
n=10 |
4 |
3.797 |
3.126 |
1.89 |
0 |
|
|
Точн. реш |
0 |
-0.563 |
-1.25 |
-2.063 |
-3 |
n=1 |
0 |
-0.846 |
-1.563 |
-2.042 |
-2.210 |
|
n=10 |
0 |
-0.558 |
-1.250 |
-2.072 |
-2.919 |
|
n=50 |
0 |
-0.562 |
-1.250 |
-2.063 |
-2.984 |
Рис 30. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина - вариант C, число удерживаемых членов ряда - 1)
Рис 31. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод Бубнова-Галеркина - вариант С, число удерживаемых членов ряда - 10)