- •Лекция 2
- •Точное решение
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •2. Приближенные методы
- •2.1 Метод конечных разностей
- •Лекция 6
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •2.2. Метод Бубнова-Галеркина
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •2.3. Метод Ритца-Тимошенко
- •2.4. Метод наименьших квадратов
- •2.5. Метод коллокаций
- •2.6. Метод конечных элементов
- •Рекомендуемая литература Основная литература
2.5. Метод коллокаций
В методе коллокаций неизвестные параметры находятся из условия равенства нулю функции невязки в точках коллокации. После внесения аппроксимирующей функции (2.2.1) в дифференциальное уравнение упругого равновесия (5)
(2.5.1)
выбираются точки коллокации с координатами xk и записывается система алгебраических уравнений
(2.5.2)
число которых равно, естественно, числу точек коллокации n. Внося полученные в процессе решения системы алгебраических уравнений ui в соответствующую аппроксимирующую функцию, получаем выражение для перемещения. Выражение для усилия получаем на основе равенства (4). Разрабатывается программа для численной реализации полученных выражений, и производится счет при удержании необходимого числа точек коллокации, при этом производится сравнение приближенного решения с точным. Строятся графики в редакторе «Excel».
В случае варианта А запишем систему уравнений для двух точек коллокации:
(2.5.3)
Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения
(2.5.3)
Найдем определители системы
(2.5.4)
Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,
(2.5.5)
Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:
(2.5.5)
Результаты представим в таблице и на графиках (рис. 32, 33)
Таблица 12
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
0 (0) |
0.709 (0.797) |
1.002 (1.125) |
0.709 (0.891) |
0 (0) |
|
3.148 (4) |
2.186 (2.313) |
0 (0.25) |
-2.186 (-2.188) |
-3.148 (-5) |
Рис 32. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант А, 2 точки коллокации)
Рис. 33. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант А, 2 точки коллокации)
Для получения удовлетворительного решения необходимо брать большее число точек коллокации.
В случае варианта В запишем систему уравнений для двух точек коллокации:
(2.5.3)
Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения
(2.5.3)
Найдем определители системы
(2.5.4)
Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,
(2.5.5)
Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:
(2.5.5)
Таблица 13
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
0 (0) |
1.903 (2.047) |
3.531 (3.625) |
4.636 (4.641) |
5.027 (5) |
|
2.598 (3.0) |
2.414 (2.438) |
1.872 (1.75) |
1.027 (0.938) |
0 (0) |
Рис 34. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант В, 2 точки коллокации)
Рис. 35. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант В, 2 точки коллокации)
В случае варианта С запишем систему уравнений для двух точек коллокации:
(2.5.3)
Перепишем систему уравнений, раскрывая численные значения
(2.5.3)
Найдем определители системы
(2.5.4)
Определим перемещения, приводя их к размерности точного решения,
(2.5.5)
Выражения для перемещения и усилия приобретают вид:
(2.5.5)
Таблица 14
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
3.642 (4) |
3.447 (3.797) |
2.790 (3.125) |
1.592 (1.891) |
0 (0) |
|
0 (0) |
-0.540 (-0.563) |
-1.236 (-1.25) |
-1.927 (-2.063) |
-2.226 (-3) |
Рис 36. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод коллокаций - вариант С, 2 точки коллокации)
Рис. 37. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод коллокаций - вариант С, 2 точки коллокации)