- •Лекция 2
- •Точное решение
- •Лекция 3
- •Лекция 4
- •Лекция 5
- •2. Приближенные методы
- •2.1 Метод конечных разностей
- •Лекция 6
- •Лекция 7
- •Лекция 8
- •Лекция 9
- •2.2. Метод Бубнова-Галеркина
- •Лекция 10
- •Лекция 11
- •Лекция 12
- •2.3. Метод Ритца-Тимошенко
- •2.4. Метод наименьших квадратов
- •2.5. Метод коллокаций
- •2.6. Метод конечных элементов
- •Рекомендуемая литература Основная литература
2.6. Метод конечных элементов
В методе конечных элементов стержень разбивается на n элементов.
Рисунок 38. Разбиение на конечные элементы
На рисунке 38: x – глобальная координата; – глобальная нумерация узловых перемещений (1,2,…,n+1 – глобальная нумерация узлов).
Рассмотрим k-й конечный элемент (рисунок 35).
Рисунок 39. Отдельный конечный элемент
На рисунке 35: S – локальная координата; – локальная нумерация узловых перемещений (1,2 – локальная нумерация узлов).
В пределах каждого конечного элемента функцию перемещения и нагрузки представляем в виде линейных функций:
(2.6.1)
Для определения параметров имеем следующие условия:
(2.6.2)
Из этих условий получаем
(2.6.3)
Выражения (2.6.1) с учетом (2.6.3) приобретают вид:
(2.6.4)
Введем обозначения
(2.6.5)
и назовем N1 и N2 функциями формы (очевидно, что N1(0)=1, N1(h)=0, N2(0)=0, N2(h)=1), тогда (2.6.4) можно записать в матричной форме
(2.6.6)
Здесь: матрица-строка функций форм
(2.6.7)
вектор узловых перемещений и вектор узловых значений нагрузки конечного элемента соответственно
(2.6.8)
Запишем функционал энергии стержня (w - объем стержня):
(2.6.9)
Поскольку в соответствии с законом Гука для линейной области , а деформационное соотношение - , то первый интеграл (2.6.9) приобретает вид (площадь сечения –А постоянна):
(2.6.10)
и функционал запишется так:
(2.6.11)
Условие минимума или стационарности функционала – равенство нулю его первой вариации:
(2.6.12)
Для отдельного конечного элемента
(2.6.13)
поэтому
(2.6.14)
Раскроем выражения, входящие в (2.6.14) с учетом (2.6.13):
(2.6.15)
Обозначив для компактности
(2.6.16)
перепишем (2.6.15)
(2.6.17)
и внесем в (2.6.14)
(2.6.18)
Введем обозначения:
(2.6.19)
- матрица жесткости конечного элемента;
(2.6.20)
матрица преобразования нагрузки.
С учетом введенных обозначений
(2.6.21)
Для всей системы (стержня) после суммирования методом прямой жесткости
(2.6.22)
где [К] – матрица жесткости стержня;
{u} – вектор узловых перемещений стержня.
Сокращая на вариацию вектора узловых перемещений и вводя обозначение
(2.6.23)
приходим к окончательной записи матричного уравнения метода конечных элементов
(2.6.24)
где – грузовой вектор стержня.
Вычислим значения и :
(2.6.25)
(2.6.26)
Таким образом, матрица жесткости k–го элемента
(2.6.27)
и матрица преобразования нагрузки k–го элемента
(2.6.28)
вектор внешних нагрузок -
. (2.6.29)
Матричное уравнение метода перемещений в конечноэлементной форме
. (2.6.30)
Здесь: матрица жесткости всей системы – [K], формирующаяся в соответствии с топологией системы; вектор неизвестных узловых перемещений – {U}; грузовой вектор системы -
, (2.6.31)
содержащий грузовую матрицу системы – [B] и вектор внешних нагрузок системы – {Q}.
Учитывая число участков (конечных элементов), запишем (2.6.30) с учетом (2.6.31) в раскрытом виде:
. (2.6.32)
Умножая матрицу преобразования на вектор узловых значений нагрузки, перепишем (2.6.32):
. (2.6.33)
В методе конечных элементов учитываются только геометрические граничные условия путем обнуления строки и столбца с общим диагональным элементом – множителем при нулевом перемещении (сам диагональный элемент при этом не обнуляется) и соответствующего элемента грузового вектора. Так для варианта граничных условий А система приобретает вид:
. (2.6.34)
Для варианта граничных условий В -
. (2.6.35)
Для варианта граничных условий С –
. (2.6.36)
Решение систем уравнений производится так же, как и в методе конечных разностей. Переход к нормальным усилиям осуществляется с помощью соотношения:
. (2.6.37)
где - матрица жесткости конечного элемента; - вектор узловых перемещений конечного элемента; - матрица преобразования узловых реакций в продольные узловые усилия.
Рис. 40. Положительные направления узловых реакций (R) и узловых усилий (N) в отдельном конечном элементе
Так как направления узловых реакций конечного элемента и положительные направления внутренних сил (рис. 40) не совпадают, то матрица преобразования имеет вид:
. (2.6.38)
Произведение матрицы преобразования на матрицу жесткости конечного элемента представим в виде матрицы:
, (2.6.39)
тогда выражение (2.6.37)примет вид:
. (2.6.40)
Для более точного определения усилий используется дифференцирующая матрица (12).
Результаты расчета представляются в виде графиков. Исходные данные вводятся в программу «GAUSS1», результаты счета по которой сравниваются с ручным счетом.
Рассмотрим пример решения варианта А.
Конечноразностное уравнение запишется так:
(2.6.41)
После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:
(2.6.42)
Учет геометрических граничных условий приведет к следующему соотношению:
(2.6.43)
Решаем систему способом Крамера.
(2.6.44)
Определяем значения узловых перемещений, приводя к размерности точного решения
(2.6.45)
Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:
(2.6.46)
Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть
(2.6.47)
(2.6.48)
Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.
(2.6.49)
Полученные результаты представим в таблице 15 и на графиках (рис. 41, 42).
Таблица 15
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
0* (0) |
0.766* (0.797) |
1.125* (1.125) |
0.890* (0.891) |
0* (0) |
|
3.064* 3.878** (4.0) |
1.436* 2.250** (2.313) |
-0.940* 0.248** (0.25) |
-3.560* -2.250** (-2.188) |
- -4.700** (-5) |
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис. 41. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А)
Рис. 42. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант А)
Рассмотрим пример решения варианта В. Конечноразностное уравнение запишется так:
(2.6.50)
После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:
(2.6.51)
Учтем граничные условия на левом торце(u1=0)
(2.6.52)
Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя снизу:
(2.6.53)
Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения
(2.6.54)
Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:
(2.6.55)
Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть
(2.6.56)
(2.6.57)
Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.
(2.6.58)
Полученные результаты представим в таблице 16 и на графиках (рис. 43, 44).
Таблица 16
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
0* (0) |
2.005* (2.047) |
3.611* (3.625) |
4.639* (4.641) |
5.000* (5) |
|
2.673* 2.939** (3.0) |
2.141* 2.407** (2.438) |
1.371* 1.756** (1.750) |
0.481* 0.926** (0.938) |
- 0.037** (0) |
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис 43. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В)
Рис. 44. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант В)
Рассмотрим пример решения варианта C.
Конечноразностное уравнение запишется так:
(2.6.59)
После перемножения матрицы преобразования нагрузки на вектор внешних нагрузок оно примет вид:
(2.6.60)
Учтем граничные условия (u5=0)
(2.6.61)
Выполним прямой ход исключения по Гауссу, идя сверху:
(2.6.62)
Выполним обратный ход, приводя результат к размерности точного решения
(2.6.63)
Вектор узловых перемещений, полученный в результате решения системы, имеет вид:
(2.6.64)
Переход от перемещений к внутренним усилиям в методе конечных элементов осуществляется с помощью матрицы жесткости элемента, то есть
(2.6.65)
(2.6.66)
Осуществляем переход с помощью дифференцирующей матрицы.
(2.6.66)
Полученные результаты представим в таблице 17 и на графиках (рис. 45, 46).
Таблица 17
|
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1.0 |
|
4* (4) |
3.797* (3.797) |
3.125* (3.125) |
1.891* (1.891) |
0* (0) |
|
-0.271* 0.042** (0) |
-0.896* -0.583** (-0.563) |
-1.645* -1.271** (-1.25) |
-2.521* -2.083** (-2.063) |
- -2.959** (-3) |
(…) - точное решение, * - решение в рамках МКЭ, ** - решение с помощью дифференцирующей матрицы.
Рис 45. Изменение продольного перемещения по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C)
Рис. 46. Изменение продольного усилия по длине стержня (метод конечных элементов - вариант C)
В силу универсальности алгоритма в настоящее время предпочтение отдается именно методу конечных элементов.