книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

0,?

0,6

0,6

0,8

Т,с

Рис. 3.10. Графическое решение уравнений

сечения этих кривых дает искомые коэффициенты.

Система стабилизации лета­ тельного аппарата по крену рас­ сматривалась как линейная. В действительности угол откло­ нения элеронов ограничен. По­ этому необходимо проверить вы­ полненный выше расчет по вели­ чине отклонения элеронов. Ча­ стотная характеристика системы от входного возмущения к углу отклонения элеронов в соответст­ вии с рис. (3.9) имеет вид

Ф (/со) = ___________________ к 4- шт___________________		(3.137)
Т (/со)3 + (1 + а х х Г )	(,W)2 + (аЛЛ- + ядэт) 1(0 + Яд-э*
Дисперсия угла отклонения элеронов
D6 —	Дсоб,	(3.138)

где эффективная полоса пропускания системы от входного возмуще­

ния к углу отклонения			элеронов
Acoj = J					| к +	Tfсо |2 rfco		(3.139)
	| T (ico)3 +		(!-{- axxT) (ico)2 + (axx 4- ахэт) ко 4- ax3k |2
Вычисляя этот		интеграл,			получаем
	Дсо. = л —				к (1 +	axxi) + ax3i-		(3.140)
	°	а..		,[(14	аххТ) (ахх 4- ахэт)—ахзкТ] '
Рассмотрим	числовой			пример		при	следующих данных:	ахх —
= 4 с -1; ахз =	40 с-2; Т — 0,05 с;					S.v =	0,2 с-3. По формуле (3.134)

строим зависимость коэффициента усиления от коэффициента демп­ фирования (кривая 1 на рис. 3.10). На этом же графике строим зави­ симость коэффициента усиления от коэффициента демпфирования, вычисляемую по формуле (3.136) при различных значениях £0 — = 0,5, | = 0,7 (кривые 2 и 3 на рис. 3.10). Точки пересечения кривых дают оптимальные значения параметров. Результаты расчетов све­

дены	в таблицу.
£о	*0	То, с	с3	Дсо6, с3	Dy , рад2	D6. рад2	аг	*6’
							град	град
0,5	3,0	0,17	5,64-Ю-3	6,04Х	1,12- 10-3	1,21 • 10~2	1,92	6,31
				X 10'2
0,7	5,0	0,40	1,91 -Ю" 3	6,95Х	3,80-10~4	1,39-10--	1,12	6,76
				XI О’2

100

3 .7 . С истем а са м о н а в ед ен и я ракеты

Рассмотрим задачу оценки точности самонаведения ракеты в од­ ной плоскости. Линеаризованные относительно теоретической траек­ тории уравнения процесса наведения ракеты имеют вид

	11 = ^ —»щ£ц;
	t = Aa {a — аТ);	(3.141)
	а -f- С^а -j- Сасс = С0 С^б;

б= — £це — X (t)) -f- koj -}- /ез©г,.

Вэтих уравнениях приняты следующие обозначения: г) — от­ клонение центра массы ракеты Р по нормали от вектора теоретиче­

ской дальности DT\ = v cos (ет — 0T) — проекция вектора ско­ рости ракеты на вектор теоретической дальности; v — модуль век­ тора скорости ракеты; ет — угол ориентации вектора теоретической

дальности;	0Т— угол наклона вектора скорости при теоретическом
движении;	ц1ц = vч cos (ет — 0ЦТ) — проекция вектора		скорости
цели на вектор теоретической дальности;		■— величина	скорости
цели; 0ЦТ—■угол наклона вектора скорости		цели в теоретическом

движении; £, — соответственно вариации углов наклона векторов скорости ракеты и цели; а — угол атаки; а т — угол атаки в теорети­ ческом движении; С0— величина, зависящая от ускорения силы тя­

жести и ее производной; б — угол отклонения руля; е — угловая скорость вектора дальности D\ X (t) — помеха; j — составляющая нормального ускорения, измеряемая акселерометром; со21 — угловая скорость корпуса ракеты относительно центра массы.

На рис. 3.11 показана схема, иллюстрирующая кинематические соотношения. Ракета наводится по методу параллельного сближе-

Р

Рис. 3.11. Кинематика самонаведения ракеты

101

ния, поэтому угловая скорость вектора дальности е является основ­ ным сигналом ошибки в законе управления [последнее уравнение в системе (3.141)]. Закон управления записан в идеализированной форме без учета инерционности измерителей, усилительных устройств

ирулевой машины.

Вуравнениях (3.141) величины Аа, Са, Са, Сб являются пара­

метрами ракеты, определяющими ее динамические свойства. Вели­

чины k lt	/га, к3 являются параметрами системы управления.				Первое
уравнение в		системе	(3.141) описывает	кинематику движения
центра	массы	ракеты,	второе— динамику	центра массы,	третье

уравнение характеризует кинематику и динамику движения корпуса ракеты относительно вектора скорости (по углу атаки), последнее выражение описывает закон управления.

Закон управления в системе уравнений (3.141) записан в полных выражениях. Запишем его в вариациях. Измеряемое акселерометром

ускорение
j =	vAaa.	(3.142)
Угловая скорость корпуса ракеты есть сумма угловых скоростей
угла атаки и угла наклона вектора скорости:
coZi = a -j- 0.		(3.143)
В свою очередь, величина
0 = Аар. +	,	(3.144)
где gy — составляющая ускорения силы тяжести на ось у.
Следовательно, угловая скорость ракеты
= ос -|- Ааа -j——.		(3.145)

Угловую скорость вектора дальности представим в виде разности теоретического значения и вариации:

е = ет — бе.

(3.146)

Подставляя соотношения (3.142), (3.145), (3.146) в закон управ­ ления, запишем его в следующем виде:

б == —■kx(ет — бе — X (t)) -j- Аа (k2v -)- к3) <х-}- k3a -f- k3 • (3.147)

С целью получения аналитических выражений для вероятностных характеристик промаха примем два допущения: вторая производная

угла атаки а = 0; скорость сближения

\Ь | = vr = const.

(3.148)

Следовательно,

D = 0; D (t) = D0— vrt\ D0 = vrT,

(3.149)

102

где Т — полное время полета; vr — относительная скорость;

D 0— начальная дальность стрельбы.

С учетом сделанных допущений систему уравнений (3.141) можно

представить в следующем виде:
£ =	(сс ССТ),	( (3.150)
та -)- а — — /г0 (бе + X)	k0&T-j- /г0	— ф ) >j

где т — эквивалентная постоянная времени; /г„ — коэффициент уси­ ления, характеризующий динамику движения ракеты относительно центра массы:

Cd +

Сц 4-	{к-р +	/;з) ’	(3.151)
k0= ______ Сб^1______
Со +	С(,Аа (k2v	/г3)
Промах самонаводящейся ракеты описывается формулой
^ = 1/т + 'Ч + 'Пд*.			(3.152)
где г/т — промах в теоретическом движении; At			— время полета
до встречи с целью	после выключения		координатора на

расстоянии	DB от цели.
Учитывая, что rj	= D5e (см. рис. 3.11), представим формулу
(3.152) в следующем виде:
У =	ут-j- D5e—губе At -f- D6e At.	(3.153)

При постоянной скорости сближения время полета после выклю­ чения системы управления

At = D/vr.

(3.154)

Подставляя At в формулу (3.153), получаем

У — Ут уут бе.

(3.155)

Определим отсюда вариацию угловой'скорости вектора дальности, подставив которую в третье уравнение системы (3.150), получим

та -j- а = —- /е0 ( ^ У + * ) +

+ /?08т+^о1	Со	^з8у	(3.156)
	Cfi/ei	крг

103

Из второго уравнения системы (3.150) определяем угол атаки и подставляем его в уравнение (3.156), тогда

Я + i = - М а

г + х ) + м Я Н-

<зл57)

Представим значение промаха в следующем виде:

У = Ут	(3.158)
	vr

и продифференцируем уравнение (3.158) по времени:

У = Уx + +

—

+

(3.159)

Дифференцируем первое уравнение системы (3.150) в предполо­ жении постоянства скоростей:

“Л= °iS — ищ£ц-

(3.160)

Подставляя это соотношение в формулу (3.159), получаем

	Y =			vr		(3.161)
Отсюда находим
	£ =			и1ц^ц~) >		(3.162)
у- _	vr I		Dvm V		и1цСц D +
S ~ v^D- I У — Ут —			- Vr	£ц +
		У Ут		D		(3.163)
	Ь			Vr ^ 1ц ?ц \ .
Подставляя Си	С в уравнение (3.157)				и преобразовывая,	полу­

чаем уравнение для текущего промаха самонаводящейся ракеты:

тY + ( l + ^ f ) y + k ^ Y =

= ~ (Т—5Г" Я ^Vr^ ) Я /т (^)> (3.164)

где приняты следующие обозначения: k — обобщенный коэффициент

усиления,				(3.165)
k = k 0Aav J v r\
У т— проекция нормального	ускорения	цели	на вектор	теоретиче­
ской дальности,
jlu, --- /ц COS (бт	9цт)	(®т	®цт) >	(3.166)

104

/т — функция, учитывающая влияние теоретического движения на промах,

/т — хУт +	+ т _ ^ ') У т + ^ _5 'Ут +
+	+	<3167)

Уравнение (3.164) является линейным дифференциальным урав­ нением второго порядка с переменными коэффициентами и случай­ ными начальными условиями. Как известно (см. п. 2.3), начальные условия в линейной системе можно выразить в виде эквивалентного входного сигнала. Часть входного сигнала, обусловленного случай­ ными начальными условиями, представим в виде выражения

Z1(t) = xY06(l) + Y0 т6(0 + ( 1 + 7 г ) б ( 0 ’ .		(3.168)
Обозначая правую часть уравнения (3.164) через сигнал
z 2 (0 = -	(*Лц + Лц + kvrX) + /т,	(3.169)
запишем полный входной сигнал в виде суммы
Z (i) =	Z ^ t ) + Z2 (t).	(3.170)

Таким образом, случайный промах самонаводящейся ракеты в рам­

ках сделанных допущений описывается уравнением
т К + (l + ^ Y + k ^ Y = Z(t),	(3.171)

где т, vr, k — постоянные величины;

D (i) — известная функция времени; Z (7) — случайная функция времени.

Решение уравнения (3.171) можно записать с помощью весовой функции

т—ы
У (0 = 1 g ( T - A t , s)Z(s)ds,	(3.172)
о

где Т — At — tB— время полета ракеты до момента выключения си­ стемы управления; g (t, s) — весовая функция процесса наведения, определяемая решением следующего дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях:

+ (1 + i £ ) + ^ . g V , s) = 6{l _ s); (3.173)

это уравнение можно решить только численно.

Рассмотрим упрощенный метод определения весовой функции, заключающийся в отбрасывании второй производной в уравнении (3.173). Решение приближенного уравнения

dg(t, s)

dt + k "щту ё ifу s) — b{t — s)

105

при линейном законе изменения дальности, т. е. npuD (t) =				D 0— vrt,
где D 0 = vrT, T — полное время полета, имеет вид
g V, s) =	D(s)	D(0 - v rt	Y	(3.174)
	D (s) -I- vrt	D (s) -f vrt	J

В качестве критерия точности наведения ракеты выберем второй

начальный момент промаха:
av = ml + Dy.	(3.175)

Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха рассмотрим следующие характеристики входного сигнала. Пусть нормальное ускорение цели является случайной величиной, матема­ тическое ожидание и дисперсия которой соответственно равны

	т /'ш = т 'ц c o s (е-г — °ит);	(3.176)
	== ^/ц *"0s2 (®Т 0цт).

В этом случае производная от нормального ускорения равна

нулю.

Случайные начальные условия имеют математические ожидания тУа, тУо 11 дисперсии Dya, Dy,. Функцию /т считаем равной нулю.

Помеха X (t) содержит	две составляющие — фединг и блуждание
центра отражения (см. п.	3.3):
ХЦ) = Х фУ ) + % $ - .		(3.177)

Математическое ожидание помехи равно нулю. В полосе про­ пускания системы самонаведения фединг и блуждание можно рассма­ тривать как случайные функции с постоянной спектральной плот­ ностью. Поэтому корреляционная функция суммарной помехи

Kx (t, П = Сф +	Об	б ( / - О ,	(3.178)
	0*(OJ

где Gф, G6 — соответственно интенсивности фединга и блуждания. Для вычисления математического ожидания и дисперсии промаха

воспользуемся методом весовых функций.

В соответствии с общей формулой математического ожидания про­ маха

Т—А1
тц =	j g(T —At,	s) mz (s) ds.	(3.179)
	о
Математическое ожидание входного сигнала
тг (s) = хт-Ь (s) -f тУо тб (s) +		^1 +
D(s)	ГП;ц cos (ет — 0цТ) Д fT(s).		(3.180)
v.

106

Подставляя математическое ожидание входного сигнала в фор­ мулу (3.179) и выполняя интегрирование, получим

ту = — т,- cos (ет — 0ЦТ) fi (k, т, Т, At) -j-

+my.fr (k, r, T, At) + m-J3(k, x, T, Д*) +ф(А, T, At), (3.181)

где функции /у, f2, / 3, ф зависят от обобщенного [коэффициента уси­ ления /г, эквивалентной постоянной времени движения ракеты отно­ сительно центра массы т, общего времени полета Т и времени неуправ­ ляемого полета At. Указанные функции

		T—At
h(k,	х, Т, Ai) = ~	j D (s)g (T — At, s) ds.
	Vr	J,
При D (s) =	D q— vrs и k =	1 этот интеграл

fi = № + т) (Г - At - 2x In £ ± 1 ) + t2 (1 - ^ T) .

При k = 2 функция			T + x
	fi — (At	t)2 In
			At -{- t
—2t(At	At -)- x ) .		x2	At + x\-
	t) 1 — T	+ t J +	Т Г 1 —	T + x)]

(3.182)

(3.183)

(3.184)

Для всех остальных значений коэффициента усиления k 4= 1, 2 функция /4

Функция /2	(k,	х, Т,	At)	определяется соотношением
				г-д;
h =		( l + ^ - )		J 8 ( s ) g ( T - A t , s)ds +
			T—At
		+ т	J	8(s)g(T — At, s)ds.
			о
Используя	свойство		5-функции, получаем
f, = ( i + 4 - ) g ( r - i t , 0 ) + Д а8|Т^					4 ,- ,

(3.185)

(3.186)

(3.187)

Подставляя значение весовой функции и учитывая, что при диф­ ференцировании не учитывается множитель в виде единичной функ-

107

цин [весовая функция уравнения (3.164) не имеет скачка при t = s], получаем

*	(At + x)k Г'п I , ( * + 1) П				(3.188)
' а — (Г + т) * + 1 L				Т + х \
Соответственно функция
		T-AI
f3(k,x,	T,Al) = x	J	б (s) g (Т — At, s) ds =
= x g ( T - A t ,		0) =	Т х	'Л/ -j- т'	(3.189)
			у^р	.Т + Ч.
В формуле (3.181) функция
		T—At
Ф (к, х,	Т, А0 =	J	g ( T -	At, s) fT (s) ds.	(3.190)
		о
Считая, что случайный маневр			цели,	начальные ошибки пуска

и помеха некоррелированы между собой, определим дисперсию промаха:

	Dy — Djц cos2 (ет — 0ЦТ) f{ (k, х, Т, At) -f
	+ D j l ( k ,		х,	Т, At) + Dyjl (к, т,	Т,	At) +
	+	G*o^(ft, т, Т, At) + G6f5 (k, x,			T,	At).	(3.191)
Функция /4 (k, х, Т,			At)	есть интеграл вида
	T-At
U = \ \ \ \ 8 { T - A t ,				l ) g { T - A t , t')k*D(Z)D(t')8(s-
0	0 0 0
	— g) 6 (s' — I') бфб (s —s') ds ds' dl d g .						(3.192)
Учитывая свойство б-функции, получаем
			T-Al
	f, = G ^		[	\ ± [ D ( s ) g ( T - A t ,	s))V ds.		(3.193)
			о
Вычисление этого интеграла с учетом формул (3.149), (3.174)
дает следующее выражение, справедливое при к Ф 1,2:
/.(*, т.	т,	=		- ( - Т Т г Г			4
				2х2(ЗА2—1)
		о М -т £ Г ] + (2 * + 1)(Д* + т )					X

108

ОС,М2

0 2 4	6 8 k
Щ	б)

О	2 4 6 8 к
в)	г)

Рис. 3.12. Зависимость среднего квадрата промаха ракеты от коэффициента усиления при различных значениях параметров:

а — обобщенной постоянной времени; б — среднего квадратического отклонения ускоре­ ния цели; в — дальности выключения коор­ динатора; г — относительной скорости сбли­ жения ракеты; д — начальной дальности

пуска ракеты

О

2

4

6

8

к

д)

109