книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

40	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
Если т =	1 , то это очевидно. Поэтому предположим, что утвержде­

ние верно для т — 1 , где т > 1 . В этом случае для рассматриваемой матрицы А мы можем на основании теории элементарных делителей

найти такие два элемента

U н V из S L m ( Z ) ,

что UAV

— диагональ­

ная

матрица. Пусть

а ь

. . .,

ат — соответствующие

диагональные

элементы

и

Ъ =

а2

. . . ат.

Положим

'

Ь

1

Ь — 1

1

W--

х

=

1

•

1

о

1

—

я 4

a j a 2

А':

В

силу

=

соотношения

алЪ =

det А =

1 mod (iV) выполняется и

WUAVX

A'

mod(N).

По

предположению

индукции существует

такой элемент

С в SLm-^Z),

что

С

=

mod(iV).

Поло жим

•

1

0

"

в = / j - w - 1

1 — at

С

0

Тогда матрица 5 обладает требуемым свойством.

Если

N

=

\\ ]f

— разложение числа Лг в произведение степеней

различных

v

р,

то

простых чисел

Z / i V Z ~ [ ] ( Z / y z ) ,

G L 2

(Z/NZ)

~

П G L 2

(Z/pe Z),

S L 2 ( Z . W Z ) ~ [ J S L 2 ( Z / p e Z ) .

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ В SL2 (Z)

41

Рассмотрим

теперь

точную

последовательность

1 - > X -+

G L 2 ( Z / / Z ) - J -

GL2 (Z//>Z)

1.

Так как

группа

Z состоит

из элементов

группы

M ^ Z / p ' Z ) ,

сравни­

мых с 1 2

по

модулю р, то порядок группы X

равен р 4 ( е

_ 1 )

. Хорошо

известно, что

порядок

группы

GL2 (Z/pZ)

равен

(р-

— 1) (р- — р).

Поэтому

GL2 (Z//?e Z)

порядок

группы

равен

рМе-1Кр2

_ р )

{ р 2 _ i

) =

_

p - i }

( 1

_

р _ В ) ;

порядок группы SL2 (Z/pe Z)

равен

р3е{1

— Р~2)-

Согласно

лемме

1.38,

[Г(1)

: T(iV)] = iV3.

Ц

Так как

— 1 2

6 Г(2)

и

— 1 ^

£ T{N)

для

iV > 2 ,

имеем

Г (^3 /2) • П

(1 - р ' 2 ) ,

если

N >

2,

(1.6.2)

[Г (1)

: Г (#)] = •{

P I J V

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.39.

I

6,

> 1 ,

??го

если

N =

2.

Если

N

группа

T(N)

не

содержит

эллиптических

элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В § 1.4

мы видели, что каждый

эллип­

тический

элемент

группы Г(1) сопряжен с одним из

следующих:

"0

—

г

"0

- г

- - 1

1"

. 1

0.

»

± Л — 1 _

Но ни один из этих элементов не сопряжен с 1 2 по модулю N, если

N > 1 . Так

как Г(ЛГ) — нормальный делитель в Г(1), мы получили

требуемое.

Отыщем

теперь индексы

ветвления накрытия

Щ 0 \ Г - ^ Ц 1 ) \ Г -

Пусть cpjV — проектирование пространства

на

T(N)\$g*.

Соглас­

но предложению 1.38, индекс ветвления

в точке

фдДг),

где z £ <g*,

равен [Г(1)2

: Г(Лг )г ].

Если

z — эллиптическая

точка

группы Г(1),

то Г(1)2 имеет порядок 2 или 3.

В

силу предыдущего

предложения

T(iV)2 =

{1}, если N > 1 . Поэтому

индекс

ветвления

в точке ф,у (г)

равен 2 или 3 в зависимости от соответствующего порядка группы Г(1)2 . Кроме того, полагая

(1.6.3)	pN	= [Г(1) : f(N)],
мы видим,	что число] точек	пространства	T(N)\$Q*,	лежащих над
9i(z), равно	|д,у/2 или u.j Y /3 в	зависимости	от тех же	условий (если

42	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Если s — параболическая точка, то она Г(1)-эквивалентна точке

оо.Имеем

Г

( ! ) -

=

{

" 1

г ?11 mez

. 0

1_

-{

- 0

1

.

71 m^Z

Г ( Л % = Г ( Л о п Г ( 1 )

~ 1

ЛГ

так что

[Г(1) со : T(N)«,]

=

N.

Поэтому

группа

Г(;У)

имеет

ровно

11Лг Л'

неэквивалентных

параболических

точек.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 40 . Пусть

Г" — подгруппа

индекса

\х группы Г ( 1 )

и

v 2 ,

v 3

— числа

Г'-неэквивалентных

эллиптических

точек

порядка

2 к 3 соответственно.

Пусть

v «> — число Г"'-неэквивалентных

парабо­

лических

точек. Тогда

род

ри.чановой

поверхности

Г'\.§*

задается

формулой

£ =

l - . i . J L

4

3

2

"

12

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

накрытие

Г'\ф*

->-

->• Г(1)\£1*.

Пусть

е ь

. . .,

et

— индексы

ветвления

в

точках

про­

странства Г'\ £ *,

лежащих

над

ср,(е2 л '/3 ). Тогда

\х =

е{

+

. . . +

et

и е( равно

1 или

3.

Число

индексов

i,

для

которых

ег =

1 , равно

t

v 3 .

Еслп

t

=

v 3 +

v'3,

то

ix =

v 3

+ 3vj,

так

что

У] (ег

— 1 ) =

ц —

i=i

—

t =

2\'g =

2(u — v3 )/3. Аналогично,

если

eP — индекс ветвления

в

некоторой

точке

Р

пространства Г'\§*,

то

ц —v2

(Р

лежпт

над

ф4

(г)),

У

(е Р

— l )

=

u —v„

(Р

лежпт

над

cpj (оо)).

Мы видим

теперь,

что

Г ( 1 ) \ ^ *

имеет

род

0 . Поэтому нужное нам

утверждение следует из формулы Гурвица

( 1 . 5 . 1 ) .

В

случае

когда

Г' =

Г(А^),

имеем

v 2

=

v 3

=

0,

если

iV

>

1 ,

и Vco =

\nN/N.

Таким

образом, мы получаем формулу для

рода

gN

поверхности

T(N)\iQ*:

( 1 . 6 . 4 )

gN

=

l + liN.(N

-

6)/127V

(N> 1 ) .

Определим

теперь

явным

образом

множество

представителей

для параболических

точек

по

модулю Г(7\г)-эквпвалеитности.

ЛЕММА

1 . 4 1 . Пустъ

целые числа а,

Ь, с,

d

таковы,

что

(а,

Ь) =

1,

'

а'

с

mod

(N). Тогда существует

такой элемент

а

и

=

d

в группе

Г(ЛГ ), что

а

'

с

=

о

d

§

1.6.

КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

В

SL,(Z)

43

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(I) Предположим,

что

с ~

"

1 ~

А.

— _0_ . Тогда

а =- 1 mod (N).

Выберем

целые

числа

р

и

q

так,

чтобы

ар — bq

'a

Nq

= ( 1 — a)/N, и положим а ==

Ъ

1+Np_

Тогда матрица

о

обладает

требуемым

свойством.

(II)

В

общем

случае

выберем

целые

числа

г

и

s

так,

чтобы

"с

— S

1

с

а

cr+ds=l,

и положим т

=

d

г

. Тогда

т

0

—

d

=

Ъ mod N;

следовательно,

т

а'

" 1 " mod (N).

Согласно

пункту

(I), можно

_Ъ _

_ 0 _

"

1 "

найти

такой

элемент

о

в

Г (TV),

что

а

а

Но

тогда

_ 0 .

Ъ

т о т - 1

обладает

требуемым свойством.

ЛЕММА

1 . 42 . Пусть s =

alb

и

s'

=

c/d — параболические

точки

группы T(N) при таких целых a,

ft,

с, d, что (a, ft)

=

1 , (с, d) = 1 .

{Подразумевается,

что 1/0 = оо.)

В этом случае s и s'

эквивалентны

.а

относительно

группы

T(N)

тогда

и только

тогда,

когда

±

mod(tf).

~ а~

'с'

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

±

ft _ —

d

mod(iV), то суще-

ствует,

согласно

лемме

1.41, такой

элемент

а

=

Р

'

из

T{N),

"р

с"

" a

что

?"

Если

bd Ф

О,

то, очевидно,

o(s') = s.

г

s_

,d

Ь

0 (факт, устанавливаемый простой провер-

Это верно даже при bd =

\Р

з~1

кой).

Обратно,

если

a(s')

= s

при

a

=

^

6 I W ) ,

то

a/ft =

=

(рс

+

qd)/(rc

+ sd),

опять-таки при bd Ф

a

'

с

суще-

0. Следовательио,~Р ?"

ствует такое рациональное число

X,

что А

ft

г

s_

d

Поло­

жим

X =

mln,

где т

и

п — взаимно простые

целые

числа.

Тогда

т

~ al

=

п

[Р

Ч~\ Vе

.

1

Так

как

(a,

ft) = 1 и

(с,

d)

= 1,

имеем

,

|_7"

~,

_ ftJ

s j |_ a J

m

=

± 1

и

п =

± 1 ;

следовательно,

л- =

± 1 .

Проверка

случая

bd = 0 также проста, и мы предоставляем ее читателю.

Итак, классы ЦА^-эквивалентности параболических точек пол­

ностью

описываются

леммой 1.42. Например,

если N =

2, то

суще-

44 ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

ствуют лишь три неэквивалентные параболические точки, представ­ ляемые точками 0, 1, оо.

Изучим теперь семейство тех конгруэнц-подгрупп группы SL 2 (Z), которые не являются в SL2 (Z) нормальными делителями. Для произ­ вольного натурального числа N положим

и

(1.6.5)

		а Ъ'
>4v =	{	с	d 6M 2 (Z)|c = 0	mod (AO
r 0 ( ; V ) = ^ n S L 2 ( Z ) =
		'a	b
=	{	с	d e S L 2 ( Z ) | c s O	mod (AO} .

Тогда	AN является	подкольцом		в M 2 (Z), a		T0(N)	—	подгруппой
в Г(1),	содержащей		Легко	видеть,	что	если		ГА	6"
		T(N).					а =	О	1 , то
(1.6.6)		Г0 (А)	= 0 - ^ ( 1 ) 0 П		Г(1).

Заметим, что — 1 2 £ Г0 (АО. Посредством отображения / из леммы 1.38 факторгруппа T0(N)/T(N) отображается в группу всех матриц вида

а Ъ 1

Q У из SL 2 (Z/AZ) . Очевидно, порядок этой группы равен N -ф(ЛО,

где ф — функций Эйлера. Поэтому

[Г(1) : Г „(А)] = [Г(1) : Г0 (А)] = N- Ц (1 + р" 1 ) .

Так доказывается первое утверждение следующего предложения:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.43. Сохраним обозначения предложения. 1.40.

	Если Г' =		Г 0 (А),		то
	(1)	l-i = N.		П (1		+	р-1);
				p\N
	(2)	v 2	=	о,				- 1
				n	( i	+ (	^
								) )
	(3)	v 3	=	П	( ' + ( ^ ) )
	(4)	v 0	O =	^	ф((<^>			~^~))>

d\N, d>0

если N делится на 4,

в противном случае;

если N делится на 9,

в противном случае;

г ^ е Ф— функция Эйлера.

§ 1.6. КОНГРУЭЫЦ-ПОДГРУППЫ					В	SL,(Z)	45
Мы подразумеваем здесь,	что	ср(1) =	1 и		j	символ	квадрата-
ческого вычета х) (в расширенном		смысле), т. е.
	0,	если	Р =	2,	mod (4),
	1,	если	Р =	1
-	1 ,	если	Р =	3	mod (4);
	о,	если	Р =	3,
	1,	если	Р -	1	mod (3),
-	1 ,	если	Р =	2	mod (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим сначала пары {с, а1} поло­ жительных целых чисел, удовлетворяющие условию

(*)

(с,

d) — 1,

d\N,

0 < с ^

Nld

( (или

число

с

берется в

произвольном

множестве представителей

классов целых

чисел

по модулю Nld).

Для

каждой пары

{с,

d}

выберем

а

п

b так,

чтобы

ad — be = 1,

и зафиксируем их. Тогда

элементы

'a

b~

для всех пар,

удовлетво­

с

d

ряющих

условию

(*),

образуют

множество

представителей

для

Г0 (ЛГ )\Г(1). Действительно, легко

проверить,

что они

неэквива­

лентны относительно левого умножения на элементы группы

T0{N),

и число таких пар равно в точности тому и., которое дается формулой {1). Далее, согласно предложению 1.37, число v,» равно числу двой­ ных смежных классов в Го(Л0\Г(1)/Г5 для произвольной фиксиро­ ванной параболической точки s. Пусть s совпадает с 0. Тогда v«,

равно числу пар {с, d), удовлетворяющих условию								(*)	по	модулю
следующей эквивалентности ~ :
{с, d)	~ {с',	d'},	если			"1	0~
				с' d'_	с d_	_т	1_
							для некоторого			m £ Z.
Если	имеет	место	последнее		равенство,	то	d — d',	с'	=	с + dm.

Поэтому для фиксированного d существует ровно cp((d, N/d)) неэкви­ валентных пар, п, следовательно, мы получаем (4).

Для определения v 3	обозначим через		Si	(соответственно		S2)
множество всех эллиптических элементов			группы		Г(1) порядка	3,
"0	- Г	(соответственно		с	т2 ) относительно
сопряженных с т = 1	— 1
Г(1) (см. § 1.4 и предложение		1.22). Положим £ =			е2-™/з, А = Z[£] и
L = Z 2 =		Ny		£L\x, y£Z

x ) Также называемый символом Лежандра . — Прим. ред

40

ГЛ.

1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Для каждого элемента о £

U ^ 2 рассмотрим

L как ZM-модуль.

Так как Z[o] изоморфно кольцу

/ 1 , а кольцо

А — кольцо

главных

идеалов, то существует Z-лпнейпын изоморфизм / из А в L , при

котором f(t,x)

—

cff(x)

для всех х ^А.

Пусть теперь Т — множество-

всех Z-лииейиых изоморфизмов кольца А в кольцо L . Тогда Т —

разделенное

объединение

подмножеств

Tt

=

{/ 6 Т

| f{t,x)

=

af(x)

при

а

6

i = 1,

2.

Если а б M2 (Z) н det(a) =

— 1 , то /

£ Ту Ф==Ф а/ 6 2"г- Для

каждого

f Е Ту

положим

/

= / _ 1 ( L A

T ) .

Так

как

Го (Л0 =

{т

е Г(1)

\yLN

=

L J V } ,

элемент

о,

удовлетворяющий

условию

f{t,x)

= af(x),

принадлежит

Г0 (ЛГ ) тогда и только тогда, когда /

— идеал

в А.

Более того,

так

как факторкольцо

A I J изоморфно

7JNZ, мы

видим, что

(i)

i V K / Q

(J)

=

N,

где

К

=

Q(P;

(ii)

идеал /

ие делится

ии на одно целое положительное число,,

отличное

от 1.

Обратно, если /

— такой идеал в А,

то можно отыскать

элемент

/ в

Г,

для

которого

/ ( / )

=

L

N , и предполагать, что / £ Ту,

заменяя

Г1

О

-

при необходимости

/

иа

е/,

где

я =

^

^

. Тогда мы

получим

с

помощью

условия

=

о/(х)

некоторый

элемент

о из

Sy П

П Г0 (АГ ). Покажем, что соответствие между идеалами J и классами

сопряженных элементов

о

внутри

группы

Го (А0 является

взаимно

однозначным.

Пусть

/ е Г ь

/' € Тг,

Мх)

=

af(x),

/'(£*)

= a'f'(x)

и

f(J)

=

=

/'(-О =

L N при одном и том же идеале

Мы можем пайти

такой

элемент у в Г(1), что / '

=

у}. Тогда

а

= у^а'у

и yLN

=

L N

, так

что

о

сопряжен

с некоторым

элементом

а'

в

T0(N).

=

Обратно,

пусть

/ ( / ) =

L N ,

f'(J')

=

LN ,

/(£*) =

<sf(x),

f&x)

=

п Ри

/

6 Гц

/'

6 Л

и

у

6 Го(Л^). Положим

Л =

f^yf.

Тогда

h

является

Z-линенпым автоморфизмом

модуля А и h(^x)

=

=

Уъ(х). Положим К =

1г(1). Тогда h(a +

bt)

=

(а +

bQX для a,

b £

б Z. Следовательно, ^ 6 .4х .

Поэтому

/

=

=

ГЧУГ(П)

=

^

'

=

Итак,

мы доказали, что v 3

является

числом идеалов

/

кольца

Z[t),

удовлетворяющих

условиям

(i)

и

(ii) . Рассматривая

разложение

идеала J в простые идеалы, легко установить, что v 3			является числом,
определяемым формулой (3). Число v 2	мы получим теми же			рассуж-
дениями применительно к ( — I ) 1 ' 2 и к	Г0	-- 111 вместо £ и ГО			-	1
	1	0		1	-	1
В частном случае, когда N — простое число, точки 0 и оо пред­
ставляют неэквивалентные параболические точки			группы			T0{N);

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ

В

SLj(Z)

47

степень

накрытия

г 0 ( л о \ Г

+

Г(1)\.§*

равна [Г(1) : r0 (./V)] =

N +

1; индексы

ветвления в 0 и в оо

равны

N и 1 соответственно.

Определим элемент т группы

SL2 (R)

условием

•

О

" 0 - 1 "

т

=

О

N

0

Тогда т2 =

— 1 и

T _ : t r o ( i V ) T =

T0(N).

Поэтому

мы

можем

образо­

вать группу

Г*(#) следующим

способом: T*(N)

= TQ(N) [}

Г0 (Лг )т.

Тогда

Г*(ЛГ) — дискретная

подгруппа

в

SL 2 (R),

соизмеримая

с SL2 (Z), но не обязательно

сопряженная с какой-либо подгруппой

в SL2 (Z).

До сих пор все примеры подгрупп Г давали подгруппы, соизме­

римые

с SL2 (Z),

так

что факторпростраиство

Г\,<§

не было ком­

пактным. Разумеется, есть много подгрупп Г с компактным факторпространством Г\§, поскольку, согласно классическому положе­ нию, каждая компактная риманова поверхность рода, большего 1, голоморфно изоморфна факторпространству Г\^§ при некоторой фуксовой группе Г без параболических и эллиптических элементов. В § 9.2 мы обсудим некоторые интересные (и действительно важные)

фуксовы группы Г с компактным			факторпространством		Г\<§; мы
определим	их	некоторым арифметическим		способом.
УПРАЖНЕНИЕ 1.44. Пусть Г' — такая				дискретная	подгруппа
в SL 2 (R),	что	факторпростраиство	Г'\<д*	компактно, и	Г — под­

группа в Г' индекса т. Предположим, что оо — единственная пара­

	болическая точка группы Г по модулю Г-эквивалентности					п группа
	Г со порождена элементом			1	П	_
				0	1 . Докажите, что группа	порож-
		'1 1/т
	дается элементом
		0	1
	УПРАЖНЕНИЕ 1.45.		Используя упражнение 1.44, докажите, что

ни одна дискретная подгруппа группы SL2 (R) не содержит в каче­ стве собственной подгруппы группу Г*(ЛГ), если число Л" просто или

	равно 1. (Следует заметить, что если Г и Г'		те же, что выше, то Г'
	порождается подгруппой Г и элементом	."1	1/пГ
		0	1

УПРАЖНЕНИЕ 1.46. Докажите, что ни одна подгруппа в SL 2 (R), сопряженная с T*(N), не содержится в SL2 (Z), если число N простое.

Г Л А В А 2

АВТОМОРФНЫЕ ФОРМЫ И ФУНКЦИИ

§ 2 . 1 . Определение автоморфных форм и функций

Отсюда и до копца § 2.6 через Г будет обозначаться фуксова группа первого рода. По определению (стр. 38) в этом случае факторпространство T\SQ* является компактной римановой поверхностью. Хорошо известно, что множество мероморфиых функций на ком­ пактной римановой поверхности представляет собой поле алгебраи­

ческих функций от одной переменной

с полем коистапт

С *). Авто-

морфной

функцией

на

полуплоскости

$Q относительно

группы

Г

(или просто Т-автоморфной

функцией)

называется

функция /

па

^

вида / =

g°cp,

где

g — мероморфиая

функция иа Г\£>* и

ср —

естественное отображение

пространства

.<§* в Г\£3*. Более

общее

понятие

автоморфной

формы

вводится

следующим образом.

Для

каждой

матрицы о"

~а

Ъ~

£ GL 2 (R ) и

каждой

точки

с

d

z £ С положим

/(or,

г) =

cz +

d.

Тогда, как было показано

в § 1.2,

У (от,

z)

=

/ ( a ,

T ( Z ) ) . ; ( T , Z),

•^-o-(z) =

det (o)-j(a,

z)"2 .

Для каждого целого числа к, каждой матрицы о" £ GLj(R) и каждой

функции	/ на полуплоскости <§ будем писать 2 )
	/ | [or]ft =	det(tf)*/* -/(CT(Z)) -/(a, z)~K
Тогда	легко проверить,	что
	/ I [СП],,	= (/ I M f t ) I [T] f t 3 ) .

Здесь уместно предостеречь читателя: две матрицы о* и —о* индуци­ руют одно и то же преобразование полуплоскости $Q. Одпако если к нечетно, то

Я - о \ z)" = - / ( a , z)h ;

1 ) Любые две мероморфпые функции на компактной римановой поверхности связаны алгебраическим соотношением над С и существует мероморфиая функ ­

ция,		отличная от копстаптьт.— Прим.		ред.
2 )		Точнее было бы писать (/	| [а] й ) (z).— Прим. ред.
3	)	Другими словами, при	каждом к возникает представление группы
GLf	(R) в пространстве функций на			ф.— Прим. ред.

§ 2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОМОРФНЫХ ФОРМ I I ФУНКЦИЙ					49
следовательно, /	| [—о"];{ =	—/ | [о1];,;	если к четно,	то	действие
[—а]к совпадает	с действием	[ о ] й .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ	2.1. Пусть к —• целое		число. Функция	/	на полу­

плоскости <§ со значениями в поле комплексных чисел С называется

автоморфной формой веса к относительно Г (или просто Т-авто- морфной формой веса к), если она удовлетворяет следующим трем условпям:

(i) функция f м.ероморфна на ,£>;
(ii)	для	всех	у 6 Г имеет место			равенство	f \ ly]h	= /;
(Ш)	функция		f	мероморфна	в	каждой параболической точке
группы	Г
ТОЧНЫЙ		смысл		последнего	условия таков.		Прежде	всего, оно

может быть опущено, если Г не имеет параболических точек. Допу­ стим теперь, что параболические точки у Г есть и s — одна из них.

Возьмем

такой

элемент

р

из

SL 2 (R),

чтобы

p(s) =

оо. Положив

T s

=

{у

6 Г

I y(s)

= s }>

мы

получим

равенство

ргV 4 ± i } = { ±

I т

6

в котором h — некоторое

положительное

вещественное число. В свете

условия

(ii) функция

/

| [р- 1 ]ь инвариантна относительно

[o]k

при

любом а 6 рГгР- 1

СЛУЧАЙ I

: число к четно. Та'.;, как

функция

/| [р - 1 ];, инвариантна

относительно

сдвига

zv-*

z

h,

существует

такая

мероморфиая

в

области

0 <

| (7 | <

г (при некотором положительном веществен-

ном г) функция Ф(д), что

/

I [р"1 ]* =

Ф(в2яй/Л).

В

этом

случае

условие

(ш) означает,

что

Ф(д)

мероморфна

в

точке

q

=

0.

СЛУЧАЙ

I I : число к нечетно. Если Г содержит — 1 , то из

условия

(ii) следует равенство / =

—/ н, таким образом, не существует

авто­

морфной

формы

веса

к,

отличной

от

0.

Поэтому

предположим, что

1 £ Г. Тогда рГ„р - 1 порождается

или матрицей

"1

li

, пли матри-

0

1

цеи

1

К

. В

зависимости

от того,

какой нз

этих

случаев имеет

0

1

место, мы говорим, что

точка

s регулярна

или

нерегулярна.

Если s

регулярна, то условие (Ш) следует понимать так же, как в рассмот­

ренном	выше	случае		I . Если же точка	s нерегулярна, то функция
g(z) =	/ I [р-1 ]/*		удовлетворяет условию		g(z + Щ =	—g(z)	и,	следо­
вательно, g(z		+	2/г) =	g(z). Условие (iii) означает		тогда,	что	суще-

4—01118