книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

20	ГЛ.	1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
с	предложением	1.3 компактно		и факторпространство			T\G. Обрат­
ное утверждение		очевидно.
	ПРЕДЛОЖЕНИЕ	1.10.	Пусть	Gy	и	G2 — локально	компактные
группы, Г — замкнутая			подгруппа в Gy X G2 и Г, — проекция груп­
пы Г в Gy. Предположим,			что группа		G2	компактна. Тогда	справедливы
следующие утверждения:

(1)подгруппа 1\ замкнута в Gy;

(2)факторпространство r\(Gt X G2) компактно тогда и только тогда, когда компактно ГДб^

(3) если подгруппа Г дискретна в Gy X G2, то Ту дискретна в Gy.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть V — компактная		окрестность
единичного	элемента	группы	Gy. Тогда	пересечение	(V X G2) |"| Г
компактно,	н V (~|	служит	его образом	при проектировании из

Gy X G2 иа G). Поэтому компактно п пересечение V |~| Ту. Согласно

предложению

1.4,

группа Т{

должна

быть замкнутой

в

Gy.

Еслп

к тому же Г дискретна, то пересечение (V X С2)

fj Г конечно,

так

что конечно множество

V |~| Ту, откуда следует

(3). Утверждение (2)

легко

выводится

нз

предложения

1.3.

В

общей ситуации г ) две подгруппы Г и Г'

группы G называются

соизмеримыми,

если подгруппа Г П Г'

имеет

конечный

индекс

в Г

и в Г" 2 ) . Следующее

предложение

легко проверяется,

и

поэтому

мы оставляем его читателю в качестве упражнения.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.11.

(1)

Если

подгруппа

Ту

соизмерима

с

Г2 ,

а подгруппа Г 2 соизмерима с

Г3 , то

подгруппа

Ту соизмерима

с

под­

группой Г3 .

Г и Г" — соизмеримые

(2)

Пусть

подгруппы

топологической

груп­

пы G. Если в этой ситуации

дискретна

Г, то

дискретна

и

Г".

(3)

Пусть

Г it Г' — соизмеримые

замкнутые

подгруппы

локально

компактной группы G. Если

факторпространство

T\G

компактно,

то компактно

и T'\G.

§ 1.2. Классификация дробно-линейных преобразований

Несмотря на то что больше всего нам будут интересны преобра­ зования верхней полуплоскости, рассмотрим сначала более общий случай дробио-лннейиого преобразования на С U {оо}. Для произ-

\а

вольной матрицы а == £ GL 2 (C) и произвольной точки z 6

са\

£ С U {оо}	положим	a(z) = (az -f- b)'(cz	d). Предположим, что
это преобразование		не тождественно, т. е.	будем считать, что о
не является	скалярной матрицей. Из теории канонической жорпаио-

1 )	Без	ограничений со стр. 18 . — Прим.	ред.
2 )	То	есть числа [Г : Г (1 Г'] и [Г' : Г	(~| Г'] конечны-— Прим-, ред.

§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 21

вой формы следует, что матрица а сопряжена с одной нз следующих:

	(i)		'X 1"	(ii)	"к О"	К:
			О X		О и-J '
	(i)	z	• z -{- Х~	(ii)	cz. сф\.
В первом	случае		преобразование		а называется		параболическим,
а во втором случае мы говорим, что о — эллиптическое								преобразова­
ние, если	| с | =		1, гиперболическое		преобразование,			если число с
вещественно и		положительно,		и локсодромическое			преобразование

во всех остальных ситуациях. Эта терминология относится и к ма­ трицам, и к преобразованиям. Тождественное преобразование из этой классификации исключается. Мы видим, что число неподвижных точек для о равно 1 или 2 в зависимости от того, параболично сг или нет. Если наложить дополнительно условие det(o) = 1, то

классификацию удается

провести

с

помощью

следа

tr(cr) =

а +

d.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.12.

Пусть

о

6 S L 2 ( C )

и

оф+12.

Тогда

{а

— параболический

элемент}

{tr(a)

=

± 2 } ;

{а

— эллиптический

элемент)

f

число tr(a) вещественно

и

\ ,

I

| tr(a)

| < 2

Г '

{а

— гиперболический

элемент}

/

число

tr(o) вещественно и

\.

l | t r ( a ) | > 2

У

{а

— локсодромический

элемент}

{число

tr(o)

невещественно}.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так

как

det(cr) =

1,

жорданова

кано-

ппческая

форма

для

о равна либо

~ ± 1

1

"

~К 0

"

0 +

1

.

,

либо .о

х-\ при

X Ф ± 1 .

Поэтому легко

проверяются

первые

три

импликации

и первая импликация Ф=.

[X

0 '

Предположим

теперь,

что

а =

и число

tr(a) =

X +

X 1

вещественно. Тогда если X веществепио, то о должно быть гипер­ болическим. Если X мнимое, то Я и Я являются корнями уравнения х2 — tv(a)x 4 - 1 = 0 и, следовательно, XX = 1. Поэтому о — эллип­ тическое преобразование. Таким образом, а не может быть локсодро­ мическим, если след tr(a) веществен. Этим доказана последняя импликация =j>. Поскольку условия в правых частях формулировки предложения взаимно исключающие, это завершает доказательство.

Ограничимся теперь рассмотрением преобразований с веще­ ственными матрицами х ) . Для произвольной точки z 6 С и произволь-

1 ) Т о есть дробно - лниейиьшп преобразованиями, сохраняющими веще­ ственную прямую . — Прим. ред.

22

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

ноп матрицы а

=

Р

<1

£ G L 2 ( R )

положим

Г S

(1.2.1)

Да,

z) — rz -|- s.

Если

w =

a(z),

то

~pz-f-s"

а-

Z

w

У (a, z).

1_

- s _

1

Далее,

если

г/;'

a(z'),

то

(1.2.2)

~z

z'~

w'-

'/

(a,

z)

0

a- . 1

1 _

. 1

1 _

.

0

j

(a, z')

Подставляя

z п u» вместо z' и м/ и вычисляя

определитель, получаем

(1.2.3)

det(a)-Im(z)

= Im(o(s)) • | Да,

z) |2.

Пусть

$Q — комплексная

верхняя

полуплоскость,

т. e.'i

Положим

<§ = { z E С I l m ( z ) > 0 } .

GL+(R)

=

{a

6 GL 2 (R)

| del(a) >

0}.

Если

a £

G L j ( R ) ,

то

посредством

a

полуплоскость §

переводится

на себя. Кроме того, хорошо известно, что каждый голоморфпып

автоморфизм полуплоскости	.0 получается из	некоторого элемента
группы G L J ( R ) . Очевидно,	преобразование а	индуцирует тожде­

ственное отображение тогда и только тогда, когда оно является скалярной матрицей. Таким образом, группа всех голоморфных

автоморфизмов	полуплоскости		£>	изоморфна	факторгруппе
G U ( R ) / [ R x . l 2 ] ,	т . е . группе	S L 2 ( R ) / { ± 1 2 } .
Из (1.2.2) легко получается, что
(1-2.4)	ДаВ, z) =	Да,	В(2 ))Д8, z).

Более того, формально подставляя z -J- dz вместо z' в соотношение (1.2.2) и вычисляя определитель, мы получаем

(1.2.5)

- ^ a ( z )

=

d e t ( a ) - / ( a , г)"

Если

а-

Р Я

£ S L 2 (R)

и

i = У

— 1,

то a(i)

= i тогда и только

г s

тогда, когда

справедливы

равенства

р =

s,

q =

—г, р2 J- q2 = 1.

Поэтому

специальная

ортогональная

группа

SO(2)

=

{a е SL2 (R) |( aa =

12 }

является пзотроппой подгруппой группы SL2 (R) в точке i. Действие

группы SL2 (R) па полуплоскости		транзитивно, так как для а > 0
преобразование а 1/2 •	^ переводит точку i в точку at - j - Ь.

§ 1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 23

По этой причине и в силу теоремы 1.1 полуплоскость ig гомсоморфиа факторпростраиству SL2 (R)/SO(2) при отображении а н-> a(i).

Познакомимся теперь поближе с преобразованиями, получаю­ щимися из элементов группы SL 2 (R) . Согласпо предложению 1.12, группа SL2 (R) не содержит локсодромических преобразопаиий. Для каждого z £ <р можно найти такой элемент т из SL 2 (R), что x(i) = z. Тогда

x-SO(2)x~1 = {а 6 SL2 (R) | a(z) = z}.

В виду того что характеристические кории всех элементов группы

SO(2) равны по абсолютной величине 1, это показывает, что

произ­

вольный элемент

группы

SL 2 (R), имеющий

по крайней

мере

одну

неподвижную

точку

на

должен

быть либо

± 1 2 ,

либо

эллипти­

ческим.

Для произвольной

точки

s 6 R U { ° ° }

положим

F{s)

=

{а

6 SL2 (R)

| a{s)

=

s),

P(s)

—

{a

£ F(s)

I a

— параболический элемент пли a =

± 1 2 } .

Так как группа SL2 (R) действует траизитпвно на R (J {оо}, мы

можем иайтп такой элемент а из SL 2 (R), что

ст(оо) =

s. Тогда F(s) =

=

o\F(oo)a- 1

и

P(s)

=

аР(оо)а~1.

Теперь легко

видеть,

что

F(oo)

О я - 1

« 6 R X ,

Ъ £ Я ]

/>(°°) =

f

Г1

/ г 1

1

R x { + l } .

{ ± [ 0

J

/ ^ R | =

Это показывает,

что

если

элемент а группы SL 2 (R), отличный от

+12» имеет по крайней мере одну неподвижную

точку на R [) {оо},

то

о — параболическое или гиперболическое

преобразование.

Из этих

рассмотрений

получается

следующее

утверждение:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.13.

Пусть

о £ SL 2 (R)

и с г = ^ + 1 2 .

Тогда

,

-

„

„

элемент}

.

[

го

имеет

ровно

одну

непо-л

{о

параболический

д в и ж щ

ю

т

о ч к у

н

а

R ^ o o } } !

га

имеет

одну

неподвижную^

{а — эллиптический

элемент)

<^>

1 точку z на $Q и вторую

не­

подвижную

точку — точку zJ

,

-

,

„

элемент)

.

г

а

имеет

две

неподвижные]

{о

гипероолическии

<=>

{ т о ч к и

н

а

к {)

{оо}

\-

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.14.

Пусть

а £ S L 2 ( R ) ,

а = ^ + 1 2 ,

m £ Z ,

а"1

Ф

± 1 2 .

Тогда

о — параболическое

(соответственно

эллиптиче­

ское,

гиперболическое)

преобразование

в том

и только

в том случае,

когда

преобразование

о"1

является

параболическим

(соответственно

эллиптическим,

гиперболическим).

24ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

До к а з а т е л ь с т в о . Необходимость немедленно следует из предложения 1.13 пли рассмотрения жордаиовой формы матрицы а. Утверждение о достаточности очевидно.

УПРАЖНЕНИЕ		1.15. Пусть а	и	(5 — элементы	группы SL 2 (R),
отличные от	± 1 2	п такие, что сф	=	(За. Докажите,	что
(1) если	а — параболическое			(соответственно	эллиптическое,

гиперболическое) преобразование, то и преобразование В является

параболическим	(соответственно эллиптическим, гиперболическим);
(2) если a(z) =	z для некоторой точки z £ С U {оо}, то и B(z) = z.

Фиксируем теперь какую-нибудь дискретную подгруппу Г груп­ пы SL 2 (R) . Точка z полуплоскости <р называется эллиптической точкой группы Г, если в Г существует такой эллиптический эле­ мент а, что a(z) = z. Аналогично точка s на R U {оо} называется параболической точкой группы Г, если в Г существует такой пара­ болический элемент т, что x(s) = s. Если w — параболическая (соответственно эллиптическая) точка группы Г и у £ Г, то легко заметить, что точка y(w) является параболической (соответственно эллиптической) точкой группы Г.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.16. Если то множество {о £ Г | a(z) группой.

z —	эллиптическая точка	группы Г,
= z)	является конечной	циклической

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Если	т £ SL 2 (R)	н	x(i) = z, то спра­
ведливо равенство
{о 6 Г | a(z)	= z}	= T S O ( 2 ) T - 1	f]	Г.

Так как группа Г дискретна, а SO(2) компактна, это пересечение представляет собой конечную группу. Далее, группа SO(2) изо­ морфна факторгруппе R/Z, а потому все ее подгруппы цнклпчны. Это и требовалось доказать.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.17.

Пусть

s — параболическая

точка группы Г

и Ts

=

{о £ Г | a(s) =

s}.

Тогда

факторгруппа ГДГ

|~1 { ± 1 г }

изо­

морфна группе Z. Кроме того,

всякий элемент из Ys

либо равен-л^ 1 2 ,

либо^параболичен,

т. е.

Ts

=

Г

(] P(s)-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Мы

уже

видели,

что

группа

P(s)

изо­

морфна

прямому

произведению

R X

{ ± 1 }•

Поэтому

факторгруппа

{P(s)

П Г)/(Г П { ± 1 } )

изоморфна

некоторой

нетривиальной

дискрет­

ной подгруппе группы R, а потому она изоморфна группе Z. Без

потери

общности

мы

можем

предположить,

что

s

=

оо.

Возьмем

образующую а =

1

А

1

,

+

^

m o d ( ± l )

этой группы и будем

считать,

что

Г8

содержит

гиперболический элемент

т

а

Ъ

\а\ф\.

О

а"1

§1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 25

Заменяя при необходимости

т на т - 1 ,

мы можем предположпть,

что

1 .

Тогда

т о т - 1

=

" ±

1

a*h'

6 P(s) П Г-

Но этого ие может

О

± 1 _

быть,

ибо

| аг1ъ | <

| h

|. Таким образом, Г8 = P(s) f| Г.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1 . 18 . Элементами

конечного

порядка

группы

Г

служат все эллиптические

элементы и ± 12 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

какой-либо элемент а

из

S L 2

(R)

имеет

конечный

порядок,

то

в

группе SLn(C) он

сопряжен

с неко-

торой

матрицей

"£ О",

, где £ —корень из единицы. Согласно данному

О £

определению, такой элемент

а является эллиптическим,

если £ Ф

Ф+ 1 . Обратное следует непосредственно из предложения 1.16.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.19. Множество			эллиптических точек			группы Г
не имеет предельных	точек	в полуплоскости		Q.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Предположим,		что	имеется	последова­
тельность различных	эллиптических		точек	{z„}	группы	Г, сходя­

щаяся к некоторой точке w 6 £>• Согласно предложению 1.7, можно найти такую окрестность U точки w, что y(U) |~| U ф 0 при у £ Г тогда и только тогда, когда y(w) = u\ Для достаточно большого п

имеем	z„ £ U, причем z„ ^=		Существует	эллиптический		элемент
у 6 Г.	для которого y(zn)	=	z„. Тогда у(С/)	П U ф 0	и,	следова­
тельно,	= г«. Таким образом, элемент 7 имеет две				неподвижные
точки на <д. Мы пришли к		противоречию.

Матрицы из группы SL2 (R) (или группы GL$(R)) не следует путать с преобразованиями, которые они представляют. Особое вни­ мание требуется при определении порядка эллиптического элемента:

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 20 . Пусть		о — эллиптический		элемент		группы Г .
Если о имеет четный порядок		21ь, то Г содержит		элемент		— 1 2 и пре­
образование	z t—*- o(z) имеет	порядок	h.
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Можно найти такой элемент т в группе
GL 2 (C), что	выполняется равенство		тсгт- 1 =	^ ^	в	котором

отогда =

=— 1 и, следовательно, о'' = — 1 2 , что и требовалось доказать.с, — первообразный корень из единицы степени 2/г. Н

Следствие 1 . 2 1 . Если группа	Г не	содержит элемента — 1 2 , то
каждый эллиптический элемент	из Г	имеет нечетный порядок.

Это немедленно следует из предложения 1 . 20 .

Чтобы различать группу преобразований и группу матриц, мы будем обозначать через Г образ группы Г при естественном отобра­ жении

S L 2 ( R ) - + S L 2 ( R ) / { ± 1 2 } .

26	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

Для эллиптической точки z группы Г порядок группы {а 6 Г | u(z) = z}

называется порядком эллиптической точки z (отпосптельно Г).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.22. Ни эллиптический,

ни параболический элемент

а группы SL2 (R)

не сопряжен в SL2 (R)

своему

обратному

ос- 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим,

что

уау'1

= ос- 1

при

некотором у

£ SL 2 (R) . Если

элемент а

эллиптический,

то, как

отме­

чалось выше, существует такое преобразование

т

из

SL 2 (R),

что

тат 1 £ SO(2).

Положим

х а т - 1

Р

Ч~

и тут"

а

Ь'

Тогда

q Ф О, ибо а эллиптично, и

•Q

Р.

с

d

а

У

р я

~р

— я

'а Ъ~

с d_ . - Я Р .

Л

р.

с d_

так что

а =

—d,

Ь =

с. Далее,

1 =

del(y) =

—(а2

+

Ь2),

что

невоз­

можно,

так

как

числа а п

b вещественны. Еслп

а

параболпчпо, то

.'1

ft"

По

тогда

можно

паптп

такое

т,

что

т а г - 1 =

Ч-

0

1

'а

Ъ~

"1 h~

"1

— А"

'а Ъ

с

d

0

1

0

1

с

d

так что

с =

0,

а — —d

и,

следовательно,

1

det(v)

=

—а2 ,

а

это

опять-таки

невозможно.

Отметим, что любой гиперболический элемент а сопряжен в груп­ пе SL2 (R) своему обратному а"1 .

§1.3. Топологическое пространство Г\^*

Вэтом параграфе мы будем через Г обозначать произвольную дискретную подгруппу группы SL2 (R) и через .§* — объединение

полуплоскости		и параболических		точек	группы Г.	Множество
SQ* зависит от Г;		разумеется,	£S* =	если в Г нет параболических
элементов.	Очевидно, группа		Г действует на		множестве	,£>*	и, сле­
довательно,	имеет	смысл говорить		о факторпрострапстве			Г\.<д*.

В следующем параграфе мы рассмотрим структуру римановой поверх­ ности на нем. Для этого определим сначала па !Q* топологию. В каче­ стве фундаментальной системы открытых окрестпостей произвольной точки z £ £i возьмем обычную систему; в качестве фундаментальной системы открытых окрестностей параболической точки s Ф оо возь­ мем систему множеств

{s} [J {внутренняя часть круга полуплоскости !>д, касающегося вещественной оси в точке s}.

		§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ		ПРОСТРАНСТВО			r\,fr*		27
Если	оо — параболическая		точка,	то	ее	фундаментальная			система
открытых		окрестностей определяется			как совокупность			множеств
{1.3.0)		{ o o } U	{ztiQ	| I m ( z ) > c }
для	всех	положительных	чисел с. Мы			будем	записывать		(1.3.0)
и в таком		виде: {z £ <g* | Im(z) >		с} . Легко видеть, что этим опре­
делена хаусдорфова топология на				<д* и каждый			элемент	из	Г дей­

ствует на jp* как гомеоморфизм. Однако пространство £i* не являет­

ся

локально компактным, если не выполнено

равенство

=

<р.

Для

произвольной

параболической

точки

s ^

оо группы

Г

положим

,

P(s)

=

{ее 6 SL 2 (R)

| cc(s)

= s, а =

± 1 2

или а

параболично},

Ts

=

P(s) П Г =

{у € Г

| Y(S) =

s}

(см.

предложение

1.17).

Окрестности точки s приведеииого выше типа инвариантны относи­

тельно	группы	P{s).
Для	изучения	строения		пространства Т\!д* предположим, что
оо — параболическая точка				группы Г. Нам понадобится формула
(1.3.1)		Im(a(z))	=	del(cc) -Im(z)/| cz + d |2,
				'a b~
		a	=	с d 6 G L , (R),

доказанная в § 1.2. Для каждой матрицы о £ Г обозначим через

нижний левый элемент в ней. Тогда Гсо.= {о £ Г | с а = 0} . Согласно предложению 1.17, можно найти в группе Г со образующую

1 /Г.

вида

±

0

1

по

модулю

± 1 2 .

ЛЕММА

1.23.

Число

| са

I зависит

только от

двойного

смежного

класса Гс«сТ ОС.

Это можно проверить простым вычислением.

ЛЕММА 1.24. Для каждого М >

0 существует лишь

конечное число

таких двойных

смежных классов ГоооГос, что а £ Г и

\ са

\ ^

М.

Д о к а з а т е л ь с

т в о. Так

как

Г » =

(с? 6 Г | са

=

0},

доста­

точно

рассмотреть

лишь те элементы

о, для

которых

са

Ф

0.

Возь-

мем

ооразующую

т

h~

группы

1 <»,

определенную по

модулю ± 1 2 . Пусть а

6 Г и 0 Ф | с | < М .

Мы собираемся искать такой элемент о" в классе ГсоОГ.», для которого точка о" (г) содержится в некотором компактном множестве К, зависящем только от М и от h. Прежде всего мы можем найти такое целое число п, что 1 ^ d -f- nhc ^ 1 - j - | he |. Положим о' =

28

ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

V

V

. Тогда

| с'

|

=

| с | п

| d' | == d -•- nhc.

Согла

с'

d'

(1.3.1) ,

справедливо

равенство

Im(a'(i))

=

c , 2 ^ f , „ , .

Имеем

1 ^

<

| d'

К 1 +

| lie

| и

| с

К

М;

следовательно,

1 <

с'2

+

d ' 2

<

М 2 +

(1 +

| h | М)г.

Поэтому

точка

a'(i') принадлежит

области

(1.3.2)

l > I m ( z ) >

1

Далее,

преобразование z

ь-> т т (z) =

г +

mh не мепяет числа

Im(z).

Мы можем найти такое т, чтобы точка т"'а'(г) удовлетворяла

условию

(1.3.2)

и

при

этом

(1.3.3)

0 <

Re(z)

<

| h |.

Условия (1.3.2) н (1.3.3) определяют некоторое компактное множе­

ство	К в полуплоскости	Тем самым мы нашли такой элемент
а" =	т'"ат", что o"(i) £ К.	Согласно предложению 1.6, существует

лишь конечное число таких элементов а" в Г. Это доказывает лемму. ЛЕММА 1.25. Существует положительное число г, зависящее только

от Г, для которого		| са	| ^	?• при	всех a £ Г — Г » . Кроме того,						дл
любого	такого числа г		выполняется		соотношение				Im(z) •Im(o'(z))		^
^ 1/г2	при любой	точке z £ Q и любом					преобразовании			о £ Г — Г » .
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Существование				числа		немедленно
следует	из леммы	1.24.		"о		6"			то
			Если с			d	п с Ф О,
				с
	Im(o(z)) =			Im(z)-| cz+			d \~2	<
			sC Im(z)-(c-Im(z))-2					<
			<	r - 2 Im(z) - 1 ,

что и требовалось доказать.

ЛЕММА 1.26.		Для каждой	параболической точки s группы		Г суще­
ствует такая		окрестность	U этой точки в пространстве		$\*, что
Г 8 =	{ о б Г \o(U) [\11Ф		0).
Д о к а з а т е л ь с т в о .			Можно считать, что	s — оо.	Пусть
		£ / = { z e < e * | I m ( z ) > i } ,
где число 7- взято из леммы 1.25. Если a ^ Г — Г »				и z £ £/, то, соглас­
но лемме 1.25,		Im(a(z)) < ilr. Таким образом, окрестность			U обла­
дает	требуемым	свойством.

Отметим, что две точки построенного множества U эквивалентны относительно группы Г, только если они эквивалентны относительно Ts; следовательно, факторпространство TS\U может быть отожде-

§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО г\<0*

29

ствлено с некоторым подмножеством в Г\,<§*; кроме того, множество U не содержит ни одной эллиптической относительно Г точки.

ЛЕММА 1.27. Для каждой параболической тонкие группы Г и для каждого компактного подмножества К полуплоскости Q существует такая окрестность U точки s, что U (~| у{К) = 0 для любого у £ Г.

Д о к а з а т е л ь с т в о .				Предположим опять, что s = оо. Мож­
но найти два таких положительных						числа А и Б, что А •< Im(z) <
<С В для всех	z £ К.	Выберем число				г в соответствии	с леммой 1.25
и положим	U =	{z	6 £ *	| Im(z) > m a x ( 5 , 1//1г2 )}.
Пусть z £ К.	Согласно		лемме		1.25,	при о £ Г — Г »	выполняется
неравенство Im(o(z)) <			1/Лг2 .		Если	о £ Г » , то Im(o(z)) = Im(z) <

<5 . Таким образом, окрестность £7 обладает требуемым свойством.

Рассмотрим	теперь		фактортопологшо			на	Г\§: , : ,		определенную
в § 1.1. Именно, возьмем
	{X а	Г\£>*		I к~\Х)	открыто в			§ * }
в качестве класса всех открытых множеств								пространства			Г\.<р*
(здесь л — естественное			проектирование			пространства			<g* в Г\.<д*).
Если U имеет тот же смысл, что и в лемме 1.26							(и ее доказательстве),
то множество	n(U)	может		быть	отождествлено			с TS\U,		и,	таким
образом, оно	станет	окрестностью			точки	n(s).
ТЕОРЕМА 1.28. Факторпростра нство Г\.§*							с	определенной			выше
топологией является		хаусдорфовым.
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Согласно предложению					1.8,	фактор-

пространство Г\.£) хаусдорфово. Так как Г\^§* представляет собой объединение пространства Г\,СЗ и классов эквивалентности пара­ болических точек, остается показать, что произвольный класс экви­ валентности параболических точек может быть отделен от любого класса эквивалентности точек из ^ и от любого другого класса эквивалентности параболических точек. Лемма 1.27 позволяет дока­ зать отделимость в первом из перечисленных случаев.

Теперь рассмотрим две параболические точки s и t, пе являю­ щиеся Г-эквпвалентпыми. Не нарушая общности, мы можем считать,

					Г1	hi
что t	= оо. Пусть	Гоо и ±			Q ^ те же, что выше. Определим следую­
щим	образом три	множества				L , К	и	V:
		L	=	{z б С | Im(z) =				и},
		К	=	{z € L		| 0 <	Re(z) < | h |},
		V	=	{z	6	I Im(z) >		и},