книги из ГПНТБ / Шимура Г. Введение в арифметическую теорию автоморфных функций

30	ГЛ.	1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
где	и — некоторое	положительное число. Так как множество К

компактно, мы можем в соответствии с леммой 1 . 27 отыскать такую-

окрестность

U

точки s, что К

f| TU = 0.

Можно допустить,

что

границей для U служит некоторая окружность, касающаяся веще­

ственной

оси

R.

Покажем, что

V |~| TU = 0.

Пусть

это

не так

и

П

V Ф

0

при некотором у 6 Г. Так

как y(s) Ф

оо, то грани­

цей

для

y(U)

служит

окружность,

касающаяся

R.

Поэтому

если

у(Щ

П УФ

0,

то y(U)

П Ьф

0,

п, следовательно,

y(U)

пересе­

кается с множеством, получающимся из множества К сдвигом посред­

ством

какого-либо элемента

из Г<», т. е.

существует

такой

элемент

б

группы Г » ,

что y{U) П й(К) ф

0 .

Но

тогда 8-гу{и)

Л

Кф

0,

и

мы

получили

противоречие. Доказательство закопчено.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 29 . Фактпорпространство

Г\<§*

локально

ком­

пактно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Наша

задача состоит в доказательстве-

того,

что если

s — произвольная

параболическая

точка

группы

Г

и

я — естественное

отображение

пространства

,<р*

в

Г\§*,

то>

n(s) обладает компактной окрестностью. Можно считать, что

s =

оо.

Согласно лемме

1 . 26 и следующему

за ней замечанию, существует

такое положительное с, что для окрестности

V =

{z £ <g* | Im(z) ^

^

с)

факторпространство

Гоо\У

отождествляется

с

n(V).

Если

~1

hi

Q

I

— образующая

группы Г » по модулю

± 1 , то n(V)

совпадает-

образом множества {z £ V \ z = оо или 0 ^ Re(z) ^ | h |} при отображепип я. Последнее множество, очевидно, компактно; сле­ довательно, компактно п n(V), а это и требовалось доказать. (См. также § 1.5, где будет показано, что T\!Q* обладает структурой некоторой римаиовой поверхности.)

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.30. Пусть Г и Г' — соизмеримые дискретныеподгруппы группы SL2 (R) (см. стр. 2 0 ) . Тогда Г и Г' имеют одно- и то же множество параболических точек.

	Д о к а з а т е л ь с т в о .				Достаточно рассмотреть случай, когда
Г'	с	Г	и [Г : Г'] < . оо. Если		s — параболическая точка группы					Г',
то,	очевидно, она параболичиа и для Г. Если же s — параболическая
точка для Г, то a(s)				= s при	некотором		параболическом элементе сг
группы			Г. Имеем	а" £ Г' для		некоторого натурального			числа	е.
Но тогда элемент о" параболичен и oe(s)							= s. Поэтому точка s являет­
ся параболической для Г', что и требовалось доказать.
	ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1 . 3 1 . Пусть				Г и Г ' те же, что и в предложении 1 . 3 0 .
Тогда		факторпространство			T\SQ*	компактно		в том и только		том
случае,			когда компактно Г'\£3*.
	Д о к а з а т е л ь с т в о .				Вновь мы можем предположить, что*
Г'	с : Г,		[Г : Г'] <С оо. Если		Г'\ф* компактно,			то в силу	непрерыв-

§ 1.3. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО r \ j p *

31

ностп естественного проектирования Г'\<д* —>- Г\ф* факторпространство Г\<§* обязано быть компактным. Обратно, еслп ком­ пактно Г\^*, то рассмотрим проектирование я (соответственно л') пространства ig* в факторпростраиство Г\1§* (соответственно в Г'У§: | ! ). Доказательство предложения 1.29 показывает, что каж­ дая точка в T\$Q* имеет окрестность, являющуюся образом при отображении я некоторого компактного подмножества из ,<д*. Так как Г\§* компактно, мы можем найти конечное множество таких компактных подмножеств Uh из <§*, что Г\.£>* = U n(Uk). После

этого	можно	найти конечное		к	что
				число таких элементов сс;- из Г,
Г =	у Г'а,-.	Но	тогда Г'\@*	= U я'(а,-£/;,). Следовательно,	про-
	з		компактно.	з, h
странство ГД.'д*

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.32. Если Г\<д* компактно, то множество неэквивалентных относительно Г параболических (соответственно эллиптических) точек конечно.

Д о к а з а т е л ь с т в о .			Пусть	С (соответственно	Е) обозначает
множество	всех	параболических		(соответственно	эллиптических)
точек группы Г.		Для каждого z £		выберем окрестность Uz точки z
в полуплоскости		<g так, чтобы пересечение Uz (] Е либо было пустым,
либо содержало		только {z}. Это возможио в силу предложения 1.7.
Согласно	лемме	1.26, для каждого		s £ С можно найти		окрестность
Us точки	s, не	содержащую	ни одной эллиптической			точки. Пусть
я — проектирование пространства				$д* на Г\^*. Если		пространство

Г\$з* компактно, то мы можем отобрать конечное число множеств

вида

n(Uz)

или n(Us),

покрывающих

Г\^*. Но тогда число

точек

в я(С) (соответствеиио

в

л(Е))

не превосходит

числа

множеств

n{Us)

(соответственно я(£/2 )),

которые

обязаны покрывать простран­

ство Г\<§*. Доказательство закончено.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.33.

Если

факторпростраиство

ГД.'д

компактно,

то в группе

Г нет параболических

элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть я — проектирование

простран­

ства

<§ на

Г\*д.

Предположим,

что

оо — параболическая

точка

группы Г. Выберем бесконечную последовательность

{ z n }

точек

полуплоскости

<§,

для

которой Im(z n ) - > - оо.

Согласно лемме

1.26,

существует

такая

окрестность

U

=

{z

(Е £ *

| Im(z) >

с}

точки

оо, что

Г »

= {у

£ Г

| y(U)

П

U Ф 0 }. Но

тогда

zn £ U для

достаточно больших 7г. Так как ни один элемент из Г«, не изменяет

Im(z). то две точки последовательности	{zn}, обладающие различными
и достаточно большими мнимыми частями, не являются			Г-эквива-
лентными. Поэтому {я(г п )} содержит	бесконечную	последователь­
ность различных точек из Г\§. Если	пространство	Г\§	компакт­
но, то существует такая точка w в полуплоскости SQ, что			n(w) слу-

32	ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

жит предельной точкой для {я(г п )} . Пусть К — компактная окре­ стность точки w. Согласно лемме 1.27, существует такая окрестность У точки оо, что К П ГУ = 0 . Но это противоречит тому, что n(zn ) £ л(А') П п(У) для достаточно больших п.

§1.4. Модулярная группа SL2 (Z)

Вэтом параграфе мы проиллюстрируем предыдущие рассмотре­ ния иа примере модулярной группы SL2 (Z). Очевидно, что SL2 (Z) — дискретная подгруппа группы SL2 (R). Определим ее параболические

иэллиптические точки.

Сначала покажем, что параболические точки группы Г = SL2 (Z)

	составляют	множество Q [] {оо}. Очевидно, точка оо		является
	неподвижной	относительно параболического элемента	П	1"	груп­
			О	1.

пы Г. Если "а Ъ~ — произвольный параболический элемент нз Г,

сd_

то он имеет ровно одну неподвижную точку s. Если эта точка конеч­

на, то справедливо	соотношение
cs2	(d — a)s—b = О, с Ф 0.

Так как дискриминант этого уравнения равен нулю, точка s должна

содержаться в множестве		Q. Обратно, для числа p/q £ Q,						где р £ Z,
q 6 Z, (р, q) =	1, выберем целые числа t и и так, чтобы pt							— qu = 1.
Г р	ы ~|	о(оо)			Ввиду	того что образ			произ-
Тогда о =	£ Г и		=	piq.
_?	U
вольной параболической		точки	относительно			любого	элемента		груп­
пы Г — точка	параболическая,			это	показывает, что все			точки из
Q [J {оо} являются параболическими для Г. Кроме того, мы пока­
зали, что все	параболические		точки		эквивалентны		параболической

точке оо. Итак, Г\^§* = (Г\£)) U {оо}.

Далее, опишем эллиптические точки группы SL2 (Z). Если о — эллиптический элемент из SL2 (Z), то | tr(o) | является целым числом, которое, согласно предложению 1.12, меньше 2. Поэтому характе­

ристический многочлен элемента					о совпадает		либо с х2, 4- 1,				либо
с	хг±	х - f	1, так что а4 =	1 или а6 =		1 и а2	ф	1	х ) . Если	а6	= 1,
то	а3 =	±	1. В случае а3 =	— 1	имеем	(—а)3	=	1.	Таким	образом,

для определения эллиптических элементов (или точек) достаточно

рассмотреть случаи а4	=	1 и а3 =	1 2 ) .
1 ) Рассуждать можно	и	так: если	£ — характеристический корень пре­

образования а, то он удовлетворяет некоторому квадратному уравнению с рацио­ нальными коэффициентами, так что [Q(fc) : OJ ^ 2. Поэтому ат = 1, где т =

=2, 4. 3 пли 6. Такое рассуждение проходит и в случае, когда вместо Q рас­

сматриваются поля алгебраических чисел более высокой степени.

2 ) Читатель, которого затруднит приводимое ниже рассуждение, может опустить его, заменив его упражнением 1.34. Мы надеемся, что читателю удастся решить эту несложную задачу, но па всякий случай сообщаем, что это решение можно найти на стр. 127 книги Серра [ 2 * ] . — Прим. ред.

§ 1.4. МОДУЛЯРНАЯ ГРУППА SL.(Z)

33

СЛУЧАЙ 1:	а4 = 1. Пусть	Z 2 — модуль вектор-столбцов
с целыми а и Ь, и пусть Z[a] действует на Z 2 посредством левого умно­
жения. Так как	Z[a] изоморфно	Zli], то кольцо Z[a] является коль­

цом главных идеалов. Модуль Z2 , рассматриваемый над Z[a], без

кручения, ибо из равенства (а +

Ьа)х =

0 вытекает, что (а2 -+- Ь2)х

=

=

0;

следовательно,

х = 0, если

a +

bo Ф

0.

Поэтому

Z 2

должен

быть свободным модулем над Z[a] и иметь ранг

1,

т. е. Z 2

=

Ъ[о]и

при некотором и £ Z2 . Положим у = о"и. Тогда и и у образуют

базис

модуля

Z 2 над

Z. Имеем

а -[и

v]

— [и и]

"0

-

1

"

detUi

v]

= ; ' ±

1-

_ 1

0.

0

-

Если

dettit

У] = 1, то

этим показано,

что

о"

сопряжен

с

1

в группе SL2 (Z). Если же

detlu v]

=

— 1 , то

a =

т

0

1"

1

0

а

при

х

== [и

и].

Таким

образом,

каждый

эллиптический

элемент

Г0

— 1 "

. Поэтому каж-

в SL2 (Z) порядка 4 сопряжен в SL2 (Z) с

±

1

0

дая

эллиптическая

точка

порядка

эквивалентна

неподвижной

точке элемента

"0

— 1

<е i.

^ Элемент

0

- -11

не сопря-

0

т. е. точке

1

1

0

жен

с

в

силу

предложения

1.22.

•1

0

СЛУЧАЙ

2:

a 3

=

1.

Очевидно,

кольцо

Z[a]

изоморфно

кольцу

Z[e2ni/3],

являющемуся

кольцом

главных

идеалов.

Поэтому

снова

Z 2

=

Z[o]u

при

некотором

и.

Положим

v =

ои.

Тогда

а Ли

v] =

[и

v]

0

1"

dettu

и] = + 1 -

1

-

1

Поэтому элемент о сопряжен либо с т		= "0	- г , либо с			т 2	= " — 1	Г
		- 1 - 1 .					_ -	i о.
ка 3 эквивалентна точке е ^ / з . (Элемент т не является					сопряженным
для элемента	т2 в группе SL 2 (R), согласно предложению						1.22.)
Для произвольной дискретной подгруппы Г группы SL 2 (R) мы
будем называть подмножество F полуплоскости				$	фундаменталь­
ной областью	факторпространства	Г\<§	(или	просто		группы		Г),
если: (i) множество F открыто и связно в			<g; (ii) никакие				две точки

из F не являются эквивалентными относительно Г; (iii) каждая

точка полуплоскости <§ эквивалентна	относительно Г некоторой
точке замыкания множества F. Можно показать, что каждая группа
Г обладает фундаментальной областью.	Явное построение фунда-

3—01118

34 ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

ментальной области для заданной дискретной группы Г и точный вид этой области были объектом многочисленных исследований. Мы не будем здесь вдаваться в детали этого вопроса, а только найдем

стандартную			фундаментальную			область	группы Г =		SLo(Z).
	Пусть z £		<Q и a =	'а Ы	е SL2 (Z). Тогда			Im(a(z))	=	Im(z)/| cz	+
				с d
-j-d	I 2 ,	и множество		{cz	-|- d	| с £ Z, d £ Z } является				решеткой	в
Поэтому		существует		ruin	\ cz -\- d \ для		(с,	d) Ф (0,		0) при с £	Z,

d £ Z. Таким образом, для данного комплексного числа z существует

max Im(o(z)). Если	матрица о такова,					что	Im(a(z)) является этим
0£Г						о		Г
максимумом и w =	a(z)	=	а: -f- iy,	у
						— 1 о			то
Im(7a(z))		=
			]m( — l/w)		=	у,'\ w			|2 < у;
следовательно, | w | ^		1. Если т		' 1		Г
				0	1 ,		то		Im(r'a(z))	= Im(o-(z))
для каждого h £ Z,	в силу чего | r'a(z)					| ^	1. Подбирая			подходящим

образом Л, мы устанавливаем, что точка z эквивалентна одной из точек множества

{w g С | — 1/2 < Re(io) < 1/2, \w

Покажем, что внутренняя часть F этого множества является фунда­ ментальной областью для группы SL2 (Z). Пусть г и г ' — различные

.'а с'

точки нз F. Допустим, что z' — a(z) при а = b d 6 Г. Можно

считать,

что

Im(z) ^

Im(z')

1 ш

<г>

Тогпа

(*)

| с

|-Im(z)

<

| cz

- I - d К

1.

Если с =

0, то а = d =

±

1 и, значит, z' =

z ±

5, а это невозможно.

Поэтому

с Ф

0.

Исследуя вид

области F, мы замечаем, что Im(z) > ]/"3/2;

поэто­

му в силу

(*)

имеет

место

равенство

| с

|

=

1. Далее,

из

(*)

полу­

чается, что

| z ±

d | ^

1. Но если z £ F i i

| d

| ^

1, то

| z +

d | >

Поэтому

d =

0,

так

что

\ z

| ^

1.

Это

противоречит

включению

z £ F. Таким образом, мы доказали, что F служит

фундаментальной

областью

для

Г.

Легко

проверить, что множество

F' = F U {z

6 С |

| z | >

1, Re(z) =

- 1 / 2 }

U

U {z 6 С |

| z |

=

1,

—1/2 < Re(z)

< 0}

является множеством представителей Г-орбит полуплоскости Следовательно, пространство Г\<д* = (Г\§) U { ° ° } компактно. -Согласно предложению 1.31, факторпространство Г'\ф* ком-

S	1.5. ФАКТОРПРОСТРАНСТВО Г\§*	КАК PIIMAHOBA ПОВЕРХНОСТЬ 35
пактно, если Г' является дискретной		подгруппой в SL 2 (R), соизмери­
мой с	SL2 (Z).

УПРАЖНЕНИЕ 1.34. Дайте другое доказательство результата об эллиптических точках группы SL2 (Z), найдя такие точки в мно­ жестве F'.

Модулярная группа

SL2 (Z) порождена

двумя

элементами: а —

1 1

О

- 1

" .

О 1

и

т =

О

Чтобы это показать, возьмем подгруппу

Т

группы

SL2 (Z),

порожденную

матрицами

а

и

т.

Тогда

— 1

=

=

т2 £ Т.

Заметим, что

каждый

элемент

из

SL2 (Z)

вида

г—

*

*

О *

а Ъ~

— с

—d

'а

с~

содержится

в Г, и

если

с d_ 6 Т, то

а

Ъ

Ь d

е т.

Предположим, что

Т Ф

SL2 (Z). Пусть элемент

а Ь~

из

SL,(Z) —Т

с d

таков,

что

число rain(

| а |, | с

|) принимает

наименьшее

из

воз­

можных значений. Можно считать, что

\а | ^

\с

| > 0 .

Выберем

целые q н г так, чтобы а — cq + г и О г < | с

|. Тогда

о 7

Га Ъ~,

|_с а_

>*1

	(J Т и	г =	min(r,	| с |) <	| с \ = min(| а |, | с |),		и м
пришли к противоречию.
УПРАЖНЕНИЕ 1.35. Пусть				F — замыкание области F н А — под­
группа группы SL2 (Z), порожденная					такими элементами а,		что
a(F)	П F Ф 0 .	Пусть	£/ — объединение множеств y(F)			для	всех
у d А. Используя связность области					покажите, что	U — <§,
А =	SL2 (Z) и что SL2 (Z) порождается элементами O U T . Убедитесь,

что этот метод применим к произвольной дискретной группе Г, для

которой фундаментальная		область задана (явно).
§ 1.5.	Факторпространство		Г\§* как риманова поверхность
В этом параграфе символ Г обозначает некоторую дискретную
подгруппу	группы SL 2 (R),	а	0* — объединение полуплоскости §

и параболических точек группы Г. Напомним, что в силу главного результата § 1.3 пространство Г\<д* хаусдорфово.

Под римановой поверхностью будем, как обычно, подразумевать одномерное связное комплексное аналитическое многообразие. Более

детально,		риманова		поверхность — это		связное хаусдорфово				про­
странство		SB, на	котором определена «комплексная					структура» S
со	следующими		свойствами:
	(1) структура		S	представляет	собой	совокупность		пар	(Ua,	ра),
а	пробегает множество индексов A,				{Ua}a^.A		— открытое		покрытие

3*

36

ГЛ.

1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА

пространства

28

и

ра

— гомеоморфизм

подпространства

Ua на

некоторое

открытое

множество в комплексной

плоскости

С;

(2)

если

Ua[\

Uf, Ф 0,

/по

отображение

голоморфно;

Р» ° Pa1: pa(Ua

П Щ) -> р&

(Ua

П Щ)

(3)

структура

S — максимальная

структура,

для

которой

выполняются

(1)

и

(2).

Отображение ра

часто называют локальным

параметром

в точках

множества Ua. Требование

(3) не существенно,

так как если

задана

структура S, удовлетворяющая требованиям (1) и (2), то существует

единственная комплексная структура S', содержащая S. Действи­

тельно, структура S' задается как множество всех пар (V,

q), обра­

зованных открытыми

множествами

V пространства

ЗВ и

гомеомор­

физмами q множества

V на некоторое открытое множество

плоскости

С, причем pa°q~1

и

q о р'1

голоморфны,

если

V [}

и а ф

0.

Определим теперь комплексную структуру на Г\^д*. Обозначим

через ф естественное

проектирование из

на Г\§* . Для

каждого

v £ ^ *

положим

Г 0

=

{у

6 Г

| y(v)

=

v}.

Согласно предложению 1.7 и лемме 1.26, существует такая открытая

окрестность

U

точки

v, что

Г„ =

{у

<Е Г

| y(U)

П

U Ф

0}.

Тогда

мы имеем

естественное

вложение

ГД £ /

Г\^*,

и

мно­

жество ГД/7 служит открытой окрестностью

точки ср(у) в простран­

стве

ГД.'д*. Если v не является ни эллиптической,

ни

параболиче­

ской точкой, то группа Г„ содержит лишь 1 и, возможно,

— 1 , так что

отображение

<р: U

ГДС/

является

гомеоморфизмом. Мы

возьмем

пару

(ГД£ /,

ф - 1 ) в

качестве

компоненты

комплексной

структуры

на Г\<§*.

Далее, предположим, что v — эллиптическая точка, и обозначим

через

Г„

группу

преобразований

(Г в • { ± 1 } ) / { ± 1 } . Пусть

X — голо­

морфный

изоморфизм

полуплоскости

SQ на

единичный

круг D ,

при котором

X(v) =

0.

Если Г 0

имеет

порядок

п,

то

Л-Г^Л.- 1

состоит

из

преобразований

w

^

thw,

к =

0,

1,

. . .,

д

—

1,

£ =

е™'п.

В

таком

случае

мы можем

определить

отображение р:

ГДС/->• С

посредством

равенства

p(q>(z))

=

X(z)n.

Очевидно,

р

является гомео­

морфизмом

на

некоторое

открытое

подмножество

плоскости

С.

Пару (ГДС/', р) мы включаем в комплексную

структуру.

Пусть, наконец,

s — параболическая

точка

группы

Г

и

р —

такой

элемент из SL 2 (R),

что

p(s) =

оо.

Тогда

f

Г1

h~\m

\

р Г р - Ч + 1 } = { ± [ 0

4 J

I m e z }

§ 1.5. ФАКТОРПРОСТРАНСТВО г\§* КАК РИМАНОВА ПОВЕРХНОСТЬ 37

при некотором положительном числе h. Мы можем определить гомео­

морфизм р пространства		TS\U в некоторое открытое подмножество
плоскости	С посредством	равенства p(cp(z)) = exp[2n£p(z)/ft] и вклю­
чить пару	{YS\U, р) в	требуемую комплексную структуру.

Для построенной структуры теперь легко проверить условие (2). Таким образом, факторпростраиство Г\£>* оказывается возможным считать римановой поверхностью. Краткости ради мы будем иногда называть точку на Г\<р* эллиптической или параболической, если оиа соответствует какой-либо эллиптической или параболической точке на Jg* относительно Г.

УПРАЖНЕНИЕ 1.36. Пусть Г' — подгруппа конечного индекса группы Г. Докажите, что естественное отображение пространства Г'\£* в Г\«б* голоморфно.

Сейчас мы напомним некоторые элементарные свойства групп

гомологии компактной			римановой				поверхности			ЯВ. Если Яг (2В, Z)
обозначает i-io группу			гомологии поверхности						2В с коэффициентами
в Z,	то	Я0 (ЯВ, Z) ~				Z,
		#i(2B,		Z)	~	Z 4
		Я 2(SB,		Z)	~	Z,
		ЯР (ЗВ, Z) =				0	для	р >	2.
Неотрицательное целое число g называется родом										римановой поверх­
ности	2В. Эйлерова	характеристика % для 28								определяется так:
	5С=	S	( - l ) p d i m # p				( 2 B , Z )	=	2 - 2 g .
		р=0
Если взять триангуляцию пространства 9В и									через с р		обозначить
число	р-симплексов,		то будет			выполняться			равенство		% = с 0 +

+С! + С2 .

Пусть SB и SB' — две компактные римановы поверхности и / : ЭВ'-> -»-SB — некоторое голоморфное отображение. Тогда / либо постоян­ но, либо сюръективно. Предположим, что / сюръективно. Тогда пара (ЗВ', /) называется накрытием 2В. Если z0 6 SB', w0 = /(z0 ) и и, t — локальные параметры в точках z0 , w0 соответственно, отобра­ жающие zQ И W0 В начало координат, то отображение / можно пред­ ставить в виде

t(f(z)) = ае u{z)e + ае +1 u(z)e +1 + . . ., ае ф О,

в некоторой окрестности точки z0 при некотором положительном числе е. Число е не зависит от выбора и и t и называется индексом ветвления накрытия (2В', /) в точке z0 . У точки w0 существует лишь конечное число, скажем /г, прообразов относительно /. Если еи . . .

. . ., eh — соответствующие им индексы ветвления, то число

« =

+

eh

38		ГЛ. 1. ФУКСОВЫ ГРУППЫ ПЕРВОГО РОДА
зависит только от Sffi, Ж', /			и ие зависит от ю0. Это число п мы назы­
ваем	степенью	накрытия.	Известно,			что	число	ветвящихся точек
(т. е. тех z0 , для которых е			> 1 )	конечно. Если g				— род поверхности
2В> а	S' — РОД поверхности 2В',			то	их	связывает		формула Гурвица
(1.5.1)		2g' - 2 =	n(2g	-	2)	+ 2	(ez -	1),

где ez — индекс ветвления точки z. Доказать это можно следующим образом. Триангулируем ЭВ так, чтобы в множество О-симплексов вошли все точки, у которых каждый из прообразов относительно / разветвлен, и чтобы каждый 1-симплекс лежал в пределах одного параметрического круга. Взяв прообраз этой триуигуляцин отно­ сительно /, мы получим некоторую триангуляцию на Ж'. Если с0 , Сь с 2 и с'0, с[, с'2 обозначают количества 0-, 1-, 2-снмплексов этих триангуляции, то

2 — 2g

=

с0

— с, +

с2 ,

2 — 2g'

=

с'0

— с[ + с'2.

Заметим,

что

с'„ =

пс2,

с[

=

л с ь

с'в

=

пс0

—

^

(ez

— 1).

Теперь

нужная

формула

получается

непосредственно.

Под

фуксовой

группой

первого

рода

мы

будем

подразумевать

такую

дискретную

подгруппу

Г

группы

SL2 (R)

(или

группы

S L 2 ( R ) / { ± 1 } ) ,

для

которой

пространство

Г\ф*

компактно. Если

r \ j g * наделить

определенной

выше

комплексной структурой, то

оно станет римановой поверхностью. Если Г'

— подгруппа

конеч­

ного индекса

в

Г,

то

естественное

отображение

Г'\ф* -*- Г у § *

определяет

в

уточненном

выше

смысле

некоторое

накрытие. Пусть

Г и Г'

— образы

групп

Г и Г'

при естественном

отображении

S L 2 ( R ) - v S L 2 ( R ) / { ± 1 } .

Тогда степень указанного накрытия равна [Г : Г'] .

Для

каждой

точки

z £ <д*

положим

г ,

=

{у е г

| y(z)

=

z},

г ;

-

Т г

n

Т '

и рассмотрим

коммутативную

диаграмму

тождественное

отображение*.

<Q*

	-	I				> r\<g*
	T	'	W
где каждое	отображение — естественное					проектирование.			Пусть
z 6 &wh, Р =	ф(г)	и	f-xp =	{qu	. . ., qh).	Выберем	в	точки		wh
так, чтобы qh =		(p'(wk).
ПРЕДЛОЖЕНИЕ		1.37. Индекс			ветвления eh	отображения		f	в точке
qu равен [Г,^: Гщ ] .			Кроме	того, если wh		= ah (z)	при oh		£ Г,	то

§ 1.6. КОНГРУЭНЦ-ПОДГРУППЫ В SL2 (Z)

39

ek

=

[Г-

: о]11Т'ак

f] Tz]

и Г

=

|] Г'а,,Г2

(объединение

разделенное

_

л=1

_

5

частности,

если Г" — нормальный

делитель в Г, то ei

=

. . . =

eh

и

IT: Г']

=

eji.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Первое

утверждение

следует

немед­

ленно

пз

определения

индекса

ветвления.

Так как Гц ,

= ОиТгОй1

и

Г,'Г/

=

Г'

П GiXzOJi1,

мы

получаем

и

второе

утверждение.

Пусть

у

6 Т. Так

как /(ф'(у(2 ))) =

ф(т(2 ))

=

ф(2 )

=

Р> т 0

П

Р И

некотором

/г

справедливо

равенство

ф'(-у(г))

=

qk

и,

следовательно,

ф'(7(2 ))

=

— q>'(oh(z)).

Поэтому

y(z) = 5o;t(z)

при

некотором

б 6 Г'.

Но

тогда

_

л

_

•у_16а,( 6 Г2

и

у

£ r ' o f t r z .

Этим

показано,

что

Г

=

(J Г'о-|,Гг. Если

е £ Г ' а Л Г 2 )

то

cp'(e(z))

= ф'(и;,,)

=

qh.

Поэтому

объединение разделе­

но. Остальные

утверждения

предложения

очевидны.

§ 1.6. Конгруэнц-подгруппы в SL2 (Z)

Форма фундаментальной области факторпространства SL2 (Z)\<§*

описанная

в

§

1.4,

говорит

о

том,

что

рнмаиова

поверхность

SL2 (Z)\Jg*

изоморфна

римановой

сфере.

Изучим

теперь

Т\$*

для некоторых подгрупп Г группы SL2 (Z). В этом параграфе Jg*

означает объедипеиие

^

U

Q U { ° ° } -

Для каждого натурального числа N положим

(1.6.1)

TN

=

T(N)

=

{v

6 SL2 (Z)

mod(iV)}

=

=

|

^

6

SL2 (Z) [a

=

d =

1, b =

с =

0 mod tfzj

•

Тогда T(N)

является нормальным делителем группы SL2 (Z) и назы­

вается главной

конгруэнц-подгруппой

(группы SL2 (Z)) уровня

N.

В общем

случае

подгруппа

группы

SL2 (Z)

называется конгруэнц-

подгруппой

в

SL2 (Z),

если

она содержит T(N)

при

некотором

Лг.

Лвмма 1.38. Если отображение /: SL2 (Z) -*- SL2 (Z/7VZ) определено

равенством

/(а)

=

а mod(iV), то

последовательность

точна.

1

T(N)

SL2 (Z)

-U

SL2 (Z/iVZ) -»- 1

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Единственным

нетривиальным обстоя­

тельством является сюръектнвность гомоморфизма /. Мы докажем более общий факт: отображение S L m ( Z ) —>- SLm (Z/iVZ) сюръективно для любого положительного целого т, т. е. если /1 6 M m ( Z ) и d e t ( 4 ) = = 1 mod(JV), то А == В mod(JV) при некоторой матрице В £ S L m ( Z ) .

1 ) Разделенным (дизъюнктивным) объединением называется объединение непересекающихся множеств . — Прим. ред.