Задание 9
В таблице 2 представлены данные о полученных в результате опроса значениях двух дихотомических переменных - «Пол» и «Регулярность покупки продукта «А». Каждая из них принимает только одно из двух возможных значений. Переменная «Пол» принимает значения:
«Мужчина»;
«Женщина».
Переменная «Регулярность покупки продукта «А» принимает значения:
«Регулярно»;
«Иногда».
Таблица 2
Регулярность покупки продукта потребителями разного пола
|
«Регулярно» |
«Иногда» |
|||
Вариант 1 |
Мужчины |
45 |
80 |
||
Женщины |
70 |
35 |
|||
Вариант 2 |
Мужчины |
100 |
22 |
||
Женщины |
35 |
73 |
|||
Вариант 3 |
Мужчины |
16 |
110 |
||
Женщины |
92 |
12 |
|||
Вариант 4 |
Мужчины |
56 |
80 |
||
Женщины |
59 |
35 |
|||
Вариант 5 |
Мужчины |
86 |
25 |
||
Женщины |
28 |
91 |
|||
Используя приведенные данные, сделайте вывод с уровнем достоверности не менее 5%,
существует ли связь между анализируемыми переменными;
если связь существует, то какова ее сила.
Методические рекомендации к выполнению задания 9
Для анализа связи между двумя дихотомическими (бинарными) переменными строятся таблицы частот, с которыми «пересекаются» градации обеих переменных (таблицы сопряженности, перекрестные таблицы). Такие таблицы имеют вид таблицы 3.
Таблица 3
Пример таблицы сопряженности градаций дихотомических переменных
|
Значения переменной В (j) |
||
B1 |
B2 |
||
Значения переменной А (i) |
A1 |
A1 B1 |
A1 B2 |
A2 |
A2 B1 |
A2 B2 |
|
Ai Bj – количество наблюдений выборки, в которых совпадают i-е свойство переменной A с j-м свойством переменной B.
Вывод о существовании связи (или ее отсутствии) между двумя номинальными (в частном случае дихотомическими) переменными могут служить результаты расчета значения статистики 2.
Схема формулировки вывода о наличии (отсутствии) связи между переменными будет следующей: «Отклонить нулевую гипотезу об отсутствии связи с вероятностью ошибки (), если расчетное значение 2 критического».
Формула для определения расчетного значения статистики 2 выглядит следующим образом:
,
(7)
где Нij – наблюдаемые в выборке частоты совпадений свойств переменных (Ai Bj );
Тij – теоретические частоты, с которыми должны совпадать свойства переменных (Ai Bj ), если справедлива гипотеза об отсутствии связи между ними;
r – число строк таблицы сопряженности (2);
c – число колонок таблицы сопряженности (2).
Теоретические частоты (Тij) совпадения свойств двух дихотомических переменных (частоты на пересечении строк i и колонок j) могут быть рассчитаны по формуле:
,
(8)
где
– сумма наблюдаемых частот в каждой
i-й строке;
– суммы наблюдаемых частот в каждой
j-й колонке;
n – число наблюдений в выборке.
Число степеней свободы (k) для определения критического значения стратистики 2 рассчитывается по формуле:
k = (r – 1)(c–1). (9)
Если значение стратистики 2, превышает критическое, что свидетельствует о наличии статистически значимой связи между двумя дихотомическими переменными, то желательно иметь коэффициент, характеризующий тесноту (силу, степень) этой связи. Такая информация может быть получена путем расчета ряда коэффициентов.
Если известно значение статистики 2, то можно рассчитать значение следующих коэффициентов:
коэффициента сопряженности (С);
коэффициента корреляции ()
Значение коэффициента сопряженности (С) определяется по следующей формуле:
. (10)
Когда ассоциативная связь между переменными отсутствует значение коэффициента сопряженности (С) тоже будет равно 0. Максимальное же значение коэффициента сопряженности при равенстве числа градаций исследуемых переменных (r = c) задается выражением:
. (11)
Степень связи между переменными оценивается путем сравнения расчетного значения коэффициента сопряженности с его максимально возможным значением.
С использованием данных таблицы 3, значение коэффициента корреляции ()1 определяется по формуле:
.
(12)
То же самое значение коэффициента можно получить, используя зависимость между значениями () и 2, которая определяется следующим выражением:
. (13)
Коэффициент () может принимать значения от –1 до +1. Значение (0) означает отсутствие какой-либо связи. Значения (-1 или + 1), независимо от знака, означают наличие абсолютной (функциональной) связи между одними и теми же градациями анализируемых переменных, но зависит от способа представления частот их совпадения в таблице сопряженности. Например, знак (+) свидетельствует об одновременном (совместном) изменении частот совпадений градаций переменных, отражаемых в ячейках A и D таблицы 4. Если же способ представления градаций тех же дихотомических переменных в таблице сопряженности будет изменен, как показано в таблице 5, то абсолютное значение коэффициента () не изменится, но он будет иметь знак (–), что не влияет на интерпретацию результатов расчета.