Задание 10

Полагая, что объемы продаж продукта зависят от размера затрат на рекламу, предприятие в течение ряда месяцев фиксировало значение этих показателей. Результаты наблюдений приведены в таблице 10. Используя эти результаты,

представьте в виде графика зафиксированные соответствия между размерами затрат на рекламу и объемами продаж;

рассчитайте коэффициенты (b и ) линейной регрессионной модели, отражающей зависимость между этими показателями и отобразите линию регрессии на том же графике; определите степень точности полученной регрессионной модели;

определите силу (тесноту) связи между анализируемыми показателями.

Методические рекомендации к выполнению задания 10

Линейная регрессионная модель зависимости между двумя переменными в общем виде может быть представлена следующим образом:

,

где Y – зависимая переменная (в задании - объемы продаж)

X – независимая переменная (размеры затрат на рекламу);

а – постоянный коэффициент, отражающий значение Y, которое имеет место при отсутствии влияния на нее переменной X;

b – коэффициент регрессии, который количественно характеризует степень влияния изменений независимой переменной X на зависимую переменную Y (в масштабе реальных единиц их измерения).

Значения этих коэффициентов рассчитываются по формулам:

,

где X_i, Y_i – наблюдаемые значения переменных X и Y;

n – число наблюдений соответствующих друг другу пар значений переменных;

, – средние арифметические значения наблюдаемых переменных, соответственно Y и X. Определяются по формулам:

; .

Таблица 10

Результаты наблюдений объемов продаж и размеров затрат на рекламу

Наблюдение	Варианты
	1		2		3		4		5		6		7		8		9		10
	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу	Объем продаж	Затраты на рекламу
1	5	4	9	4	10	3	7	3	10	5	8	6	5	4	5	4	12	4	15	4
2	11	6	11	6	11	6	11	6	5	7	11	7	11	6	11	6	11	6	13	6
3	7	9	7	9	13	9	7	9	13	9	7	9	13	9	7	9	13	9	15	9
4	9	13	8	12	9	13	16	10	9	13	12	10	9	13	12	10	9	13	10	11
5	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14	16	14
6	14	17	18	17	10	17	9	16	8	17	9	16	8	17	15	16	11	17	17	16
7	14	20	12	20	11	20	12	20	11	20	18	18	11	19	12	18	11	19	12	18
8	19	20	20	22	22	20	20	22	18	20	20	22	18	20	20	22	18	20	20	22
9	16	23	16	24	12	23	16	24	12	23	16	24	12	23	16	24	12	23	16	24
10	22	24	22	24	22	24	22	26	13	24	22	24	21	24	22	25	21	24	22	25
11	24	28	26	28	24	28	18	28	24	28	16	28	24	28	24	28	24	28	17	28
12	19	30	19	30	19	30	25	29	12	30	19	30	22	30	19	30	22	30	19	30
13	25	31	25	31	25	31	24	31	25	34	24	31	25	34	24	31	25	34	24	31
14	22	34	22	34	22	34	22	34	22	34	17	32	22	34	21	33	22	34	21	33
15	27	36	27	35	30	36	27	35	23	36	24	35	29	36	27	36	19	36	20	36

Коэффициент b в регрессионной модели количественно отражает влияние уровня независимой переменной X на формирование уровня зависимой переменной Y с учетом реальных единиц их измерения. С изменением единиц измерения любой из переменных значения b - коэффициентов в регрессионной модели также изменятся.

Вместе с тем, часто бывает необходимо определить долю влияния независимой переменной на уровень зависимой переменной, которая остается одинаковой при любых единицах измерения переменных и для удобства интерпретации может быть выражена в процентах.

Долю влияния (в долях единицы) переменной X на формирование уровня зависимой переменной Y характеризует стандартизованный коэффициент регрессии, или  - коэффициент. Он связан с коэффициентом (b) следующим соотношением:

,

где  – стандартизованный коэффициент регрессии;

S_X, S_Y – среднеквадратические отклонения, переменных X и Y.

Показатели S_X и S_Y рассчитываются по формулам:

; .

Показателем того, насколько хорошо модель удовлетворяет исходным данным является показатель коэффициент детерминации (R²). Он характеризует долю общей (первоначальной) вариации зависимой переменной, объясняемой регрессионной моделью и рассчитывается по формуле:

,

где Y_i – наблюдаемые значения переменой Y;

Y_р – значения переменой Y, рассчитанные с помощью регрессионной модели для каждого наблюдаемого значения X;

– среднеарифметическое наблюдаемых значений переменной Y;

n – число наблюдений значений переменных Y и X;

Если R² = 0, то объясненная моделью вариация зависимой переменной равна нулю и модель ничего не дает для прогнозирования значений Y. Если R² = 1, то модель полностью (на 100%) объясняет вариацию зависимой переменной Y.

Степень тесноты (силы) связи между переменными X и Y характеризуется коэффициентом корреляции, значения которого находятся в интервале от 0 (нет никакой связи) до 1 (абсолютная связь). Рассчитывается коэффициент корреляции по формуле:

.

Расчет всех упомянутых выше показателей удобнее выполнять в таблице, образец которой приведен в таблице 11.

Таблица 11

Рекомендуемая форма таблицы для расчета показателей

Наблюдение	Yi	Xi
1
2
…
n
Сумма
Средние