3.2. Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена.

Конвективный теплообмен описывается четырьмя дифференциальными уравнениями, к которым необходимо задать условия однозначности.

Уравнение теплоотдачи.

У поверхности тела находится слой неподвижной жидкости, где передача теплоты происходит теплопроводностью. Это количество теплоты можно описать законом Фурье:

,

где n – нормаль к поверхности;

- коэффициент теплопроводности.

С другой стороны, согласно закону Ньютона-Рихмана, количество теплоты, отданное от стенки к жидкости составит :

,

где - температура поверхности стенки;

- температура жидкости;

- коэффициент теплоотдачи между поверхностью тела и жидкостью.

Отсюда,

Если обозначить =,то :

.

Уравнение энергии.

Уравнение энергии выведено на основании I-го закона термодинамики.

Оно имеет следующий вид:

.

Уравнение энергии описывает распределение температур в движущейся несжимаемой жидкости. Левая часть уравнения – есть полная производная от температуры по времени, -это локальное изменение температуры по времени в какой-либо точке, аописывает конвективное изменение температуры, то есть изменение температуры при переходе от точки к точке.

Можно записать :

.

В уравнение энергии входят неизвестные переменные . Чтобы сделать эту систему замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые описывают изменение скорости во времени и в пространстве. Такими являются дифференциальные уравнения движения.

Уравнение движения (Навье – Стокса).

Уравнение Навье- Стокса справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения. Оно достаточно сложное и его невозможно применить в инженерных расчетах. Вывод уравнения основан на втором законе Ньютона. При движении жидкости только в направлении оси x уравнение движения будет выглядеть следующем образом:

где - плотность жидкости;

- проекция силы тяжести на ось Ох;

- производная, характеризующая изменение скорости во времени в какой - либо точке жидкости, то есть характеризует локальное изменение скорости;

- производные, характеризующие изменение скорости при переходе от точки к точке;

- коэффициент динамической вязкости жидкости;

- алгебраическая сумма сил давлений, направленных против направления движения жидкости;

- произведение проекции ускорения свободного падения на массу элемента.

Уравнение сплошности.

Для несжимаемых жидкостей уравнение сплошности будет иметь вид:

Итак математическое описание процесса теплоотдачи состоит из:

1. уравнения энергии;

2. уравнения движения;

3. уравнения сплошности;

4. уравнения теплоотдачи;

5. условий однозначности.

Анализ показал, что в дифференциальные уравнения конвективного теплообмена входят 3 вида величин:

1 – независимые переменные (x, y);

2 – зависимые переменные ;

3–постоянные величины, задаваемые условиями однозначности и др.; которые не являются функциями независимых переменных.