1.6.2 Решение задач нестационарной теплопроводности.

Решить задачу нестационарной теплопроводности это значит найти зависимость изменения температуры и количество теплоты переданной телу во времени для любой точки тела:

t=f(x; y; z; τ) и Q=φ(x; y; z; τ).

Для аналитического нахождения этих зависимостей может быть использовано дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье:

.

Это уравнение решается с помощью рядов Фурье. Аналитическое решение получается очень сложным и возможно лишь для тел простой формы (пластины, цилиндра и шара) при целом ряде упрощающих предпосылок.

Аналитическое описание процесса теплопроводности кроме дифференциального уравнения также включает в себя и условия однозначности.

Оглавление 3

Введение 6

1.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ. 7

1.1ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. 9

1.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ. 10

1.2.1 Дифференциальное уравнение. 10

1.2.2 Условия однозначности. 11

1.3 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ. 13

1.3.1.Теплопроводность плоской однослойной стенки. 13

1.3.2. Теплопроводность многослойной стенки. 15

1.4 ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ СТЕНКИ. 17

1.4.1 Теплопроводность однослойной цилиндрической стенки. 17

1.4.2 Теплопроводность многослойной цилиндрической стенки. 18

1.5. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ТЕЛ НЕПРАВИЛЬНОЙ ФОРМЫ. 19

1.6. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ. 20

1.6.1 Общие положения. Описание процесса. 20

1.6.2 Решение задач нестационарной теплопроводности. 22

1.6.3. Охлаждение тел конечных размеров. 29

1.6.4 Зависимость процесса охлаждения от формы и размеров тела. 30

2. ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ УСЛОВИЯХ И ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 3 РОДА. 30

2.1 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ ПЛОСКУЮ СТЕНКУ. 30

2.1.1 Теплопередача через однослойную стенку. 30

2.1.2 Теплопередача через многослойную стенку. 32

2.2 ТЕПЛОПЕРЕДАЧА ЧЕРЕЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ СТЕНКУ ПРИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ 3-ГО РОДА. 33

2.2.1 Теплопередача через однослойную цилиндрическую стенку. 33

2.2.2 Теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку. 35

2.2.3 Теплопередача через шаровую стенку. 35

2.3. ИНТЕНСИФИКАЦИЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ. 36

2.4. КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ИЗОЛЯЦИИ. 40

3. КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН. 42

3.1Основные понятия и определения. 42

3.3.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ. 48

3.4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ПРОДОЛЬНЫМ ОМЫВАНИИ ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ 52

3.4.1. Расчет теплоотдачи при ламинарном гидродинамическом пограничном слое. 54

3.4.2. Зависимость теплоотдачи от изменения температуры по ее длине. 56

3.4.3. Влияние на теплоотдачу необогреваемого начального участка 57

3.4.4. Теплоотдача при турбулентном пограничном слое 58

3.5. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ 60

3.5.1. Теплоотдача при ламинарном режиме движения жидкости. 65

3.5.2. Теплоотдача при турбулентном режиме движения жидкости в трубах. 66

3.5.3. Теплоотдача при переходном режиме 67

3.5.4. Теплоотдача в трубах некруглого поперечного сечения. 67

3.5.5 Теплоотдача в изогнутых трубах 67

3.5.6. Теплоотдача в шероховатых трубах 69

3.6 ТЕПЛООТДАЧА ПРИ ВЫНУЖДЕННОМ ПОПЕРЕЧНОМ ОМЫВАНИИ ТРУБ И ПУЧКОВ ТРУБ. 69

3.61.Теплоотдача при поперечном омывании одиночной круглой трубы. 69

3.6.2 Теплоотдача при поперечном омывании пучков труб. 73

4. ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ. 76

4.1 СВОБОДНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ ОКОЛО ВЕРИКАЛЬНОЙ ПЛИТЫ ИЛИ ТРУБЫ. 76

4.2 ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ОКОЛО ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ТРУБЫ. 78

4.3 ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ ОКОЛО НАГРЕТЫХ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПЛОСКИХ СТЕНОК. 79

4.4 ТЕПЛООТДАЧА ПРИ СВОБОДНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ. 79

5.ТЕПЛООБМЕН ПРИ КИПЕНИИ ЖИДКОСТИ 82

5.1.ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПРОЦЕССЕ КИПЕНИЯ 82

5.2КРИЗИСЫ КИПЕНИЯ 87

5.3.ПУЗЫРЬКОВОЕ КИПЕНИЕ 89

5.3.1.Пузырьковое кипение жидкости в неограниченном объеме 89

5.3.2.Расчет теплоотдачи при пузырьковом кипении жидкости в неограниченном объеме 90

5.3.3Пузырьковое кипение в условиях вынужденного движения в трубах. 91

5.3.4.Зависимость теплоотдачи от параметра Х. Кризис кипения второго рода 94

5.3.5.Расчет теплоотдачи при кипении в трубах 95

5.4. ПЛЕНОЧНОЕ КИПЕНИЕ ЖИДКОСТИ 97

5.4.1. Теплоотдача при ламинарном движении паровой пленки 97

5.4.2.Теплоотдача при турбулентном движении паровой пленки 99

6. ИЗЛУЧЕНИЕ. 99

6.1. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 99

6.1.1. Виды лучистых потоков 100

6.1.2. Законы теплового излучения твердого тела. 102

6.2 ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ В СИСТЕМЕ ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ТЕЛ 108

6.2.1.Теплообмен излучением при наличии экранов 113

6.3 ИЗЛУЧЕНИЕ ГАЗОВ 114

6.3.1 Теплообмен в поглощающих и излучающих средах 115

6.3.2 Излучение паров и газов 116

7. ТЕПЛОВОЙ РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕННЫХ АППАРАТОВ 119

7.1 ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ 119

ТЕПЛОВОГО РАСЧЕТА 119

7.2 ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ РАЗНОСТИ ТЕМПЕРАТУР 123

• температуры тела в начальный момент времени ; t = t₀ = f(x, у, z).

• граничных условий, которые могут быть заданы в виде граничных условий третьего рода:

.

Дифференциальное уравнение теплопроводности совместно с условиями однозначности дает законченную математическую формулировку рассматриваемой задачи. Решение ее заключается в отыскании функции, которая удовлетворяла бы уравнению и условиям однозначности.

t=f(x,y,z,i,a,t₀,t_ж, )

Если решить это уравнение для плоской стенки и рассмотреть процесс изменения температуры только в одном направлении x, то решение будет иметь следующий вид:

,

где b и c определяются из условий стационарности процесса, т.е. при ;

, - из граничных условий 3 рода;

- из начальных условий, т.е. при .

Из уравнения видно, что искомая функция t зависит от большого числа переменных, которые можно сгруппировать в 3 безразмерных комплекса, эти комплексы называются числами подобия.

Первое число подобия - Число Био:

,

где - коэффициент теплоотдачи на границе жидкости и твердого тела;

λ - коэффициент теплопроводности твердого тела;

l - характеристический размер, который определяется в зависимости от формы тела:

для пластины l=δ;

для цилиндра l=;

для шара l=.

Второе число подобия - Число Фурье:

,

где a- коэффициент температуропроводности;

τ – время.

Число Фурье называют также безразмерным временем.

Третий безразмерный комплекс - безразмерная координата:

.

Установлено, что θ- безразмерная температура, является функцией чисел Био и Фурье, для фиксированных значений , т.е.

.

Изменение безразмерной температуры θ для центра () и поверхности () можно представить графическим решением, которое приведено на рисунке 1.6.3.

Подобные графики построены для центра и поверхности пластины, цилиндра и шара, а так же для безразмерного количества теплоты, которая является функцией числа Bi и :

.

Следовательно, чтобы определить температуру на поверхности или в центре тела необходимо знать две величины: число Bi и число .

Таким образом, метод решения задач нестационарной теплопроводности заключается в следующем:

1. задаются геометрическими, начальными и граничными условиями [(с;λ;;;α;),(или)];

2) вычисляют числа Bi и ;

, ;

3) зная числа Bi ипо графику, определяют безразмерную температуруθ;

4) определив θ, рассчитывают температуру в центре

или на поверхности тела

,

где - начальная температура тела;

- температура среды.

Рассмотрим влияние значений чисел Bi на распределение температуры в теле на примере охлаждения пластины.

Из полученного решения следует, что для любого момента времени температурное поле имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины(). В каждый последующий момент будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхности (рис. 1.6.4).

Для любого момента времени касательные к кривым в точках проходят через направляющие точки +А и

– А, которые расположены на расстоянии от поверхности пластины, причем

или ,

отсюда , т.е. расстояние до точки А полностью определяется условиями однозначности.

Сказанное справедливо для всех поверхностей.

Характер распределения температурных кривых в зависимости от значений чисел Bi.

1) Bi→ (практически Bi>100)

при этом 0, т.е. точка А находится на поверхности пластины. Температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды (рис 1.6.5).

Число Bi можно представить, как из этого следует, что при заданныхи, т.е. процесс охлаждения в этом случае определятся физическими свойствами и размерами тела, и решается задача внутреннего теплообмена.

2) Bi→0 (практически Bi<0.1)

; .

Малые значения числа Bi имеют место при больших значениях λ, при малой толщине пластины и малых α.

При малых значениях числа Bi коэффициент теплопроводности λ настолько велик, что перенос теплоты от центра к поверхности происходит быстрее, чем отвод теплоты в окружающую среду, т.е. температура поверхности пластины незначительно отличается от температуры на оси (рис. 1.6.6).

Температурное поле в этом случае будет представлять собой параллельные прямые.

Следовательно, процесс охлаждения определяется интенсивностью теплоотдачи на поверхности. Задача теплообмена является внешней.

Тела, подчиняющиеся условию Bi→0, называются термически тонкими (нагрев без перепада температур).

Тела, нагрев которых происходит со значительным перепадом температур, называются термически массивными.

3) 0,1<Bi<100.

Распределение температурных кривых приведено на рисунке 1.6.7.

Теплообмен определяется как внутренним, так и внешним термическим сопротивлением.