1. Основной закон теплопроводности.

Необходимым условием распространения теплоты в любом теле или пространстве является наличие разности температур, т. е градиент температуры в разных точках тела не должен быть равен нулю. Согласно гипотезе Фурье количество теплоты, Дж, проходящее через элемент изотермической поверхности за промежуток времени пропорционально температурному градиенту:

,

где - коэффициент теплопроводности.

Знак “ - ” показывает, что в направлении теплового потока температура убывает, и градиент температур является величиной отрицательной.

Количество теплоты, проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности, , Вт/, называется плотностью теплового потока:

,

где - это векторная величина; векторы q и gradt лежат на одной прямой, но противоположно направлены, отсюда знак “ - ”.

Закон Фурье – это основной закон теплопроводности: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры.

Количество теплоты, прошедшее в единицу времени через произвольную поверхность F называется тепловым потоком, [Вт]:

.

Полное количество теплоты, прошедшее за времячерез произвольную поверхностьF конечных размеров, определяется:

, [Дж].

Коэффициент теплопроводности - физический параметр вещества, характеризует способность вещества проводить теплоту. Коэффициент теплопроводности Вт/(м*К), при этом определяется из соотношения

; ,

из которого следует, что коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, проходящей через единицу изотермической поверхности в единицу времени и при температурном градиенте равном единице.

Коэффициент теплопроводности вещества зависит от давления и температуры, структуры, плотности и т.д. Он определяется опытным путём и для технических расчётов берётся из справочных таблиц.

Таким образом, для определения количества теплоты необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела, что является основной задачей теплопроводности.

1.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности и условия однозначности.

1.2.1 Дифференциальное уравнение.

Задачей инженерного исследования теплопроводности является установление изменения температуры, как функции координат и времени, т.е. установление температурного поля тела. Связь между температурой и временем устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности, которое справедливо для всех случаев теплопроводности. Это уравнение получено на основании закона сохранения энергии(1 закона термодинамики) и имеет следующий вид:

_,

где -оператор Лапласа,

- коэффициент темперотуроповодности .

Коэффициент температуропроводности - физический параметр вещества, который характеризует скорость изменения температуры при нестационарных процессах.

Дифференциальное уравнение теплопроводности или уравнение Фурье для трехмерного нестационарного температурного поля (внутренние температурные источники отсутствуют) имеет вид:

.

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. t=f(x, y, z),то дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона:

.