ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
5. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
В табл. 3 приведены значения функции, заданной в форме таблицы { X i ,Yi / i = 0,1,2,3 } для каждого из вариантов. Цель лабораторной работы: практи-
ческое освоение методов линейной интерполяции и интерполяции полиномом Лагранжа [21]. Требуется найти приближение функции F( X *j ) для трех значений ар-
гумента { X *j / j =1,3 }.
Отчет по лабораторной работе должен включать следующие разделы:
1. Математическая формулировка задачи построения аналитического приближения таблично заданной функции и вычисления ее значения в точках
{X *j / j =1,3 }.
2.Таблица имен и алгоритм в графическом виде (структурограмма, или блок схема).
3.Программа на языке Паскаль.
4.Таблица результатов вычислений функции в указанных в соответст-
вующем варианте точках { X *j / j =1,3 }.
Метод интерполяции \ аргументы |
X1* |
X 2* |
X 3* |
Линейная интерполяция |
|
|
|
Полином Лагранжа |
|
|
|
5. График на миллиметровке. На графике отметить: узлы интерполяции, линейное приближение, приближение полиномом и найденные значения функции.
|
|
|
|
Таблица 3 |
|
|
|
|
|
Вариант |
I |
X i |
Yi = F( X i ) |
Аргументы X*j |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,550 |
|
1 |
0,700 |
2,144 |
1,100 |
|
2 |
1,600 |
2,499 |
2,200 |
|
3 |
3,100 |
1,542 |
|
1 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,410 |
|
1 |
0,420 |
1,908 |
0,450 |
|
2 |
0,480 |
1,962 |
0,510 |
|
3 |
0,580 |
2,048 |
|
|
|
|
||
2 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,415 |
|
1 |
0,430 |
1,917 |
0,495 |
|
2 |
0,520 |
1,997 |
0,610 |
|
3 |
0,670 |
2,121 |
|
|
|
|
44
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
|
|
|
Продолжение таблицы 3 |
|
|
|
|
|
Аргументы X*j |
Вариант |
I |
Xi |
Yi = F( X i ) |
|
|
|
|
|
0,420 |
3 |
0 |
0,400 |
1,889 |
|
|
1 |
0,440 |
1,926 |
0,510 |
|
2 |
0,560 |
2,031 |
0,620 |
|
3 |
0,760 |
2,189 |
|
|
|
|
||
4 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,425 |
|
1 |
0,450 |
1,935 |
0,510 |
|
2 |
0,600 |
2,065 |
0,720 |
|
3 |
0,850 |
2,251 |
|
|
|
|
||
5 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,430 |
|
1 |
0,460 |
1,944 |
0,510 |
|
2 |
0,640 |
2,097 |
0,810 |
|
3 |
0,940 |
2,308 |
|
|
|
|
||
6 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,435 |
|
1 |
0,470 |
1,953 |
0,510 |
|
2 |
0,680 |
2,129 |
0,812 |
|
3 |
1,030 |
2,357 |
|
|
|
|
||
7 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,440 |
|
1 |
0,480 |
1,962 |
0,621 |
|
2 |
0,720 |
2,159 |
0,945 |
|
3 |
1,120 |
2,400 |
|
|
|
|
||
8 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,445 |
|
1 |
0,490 |
1,971 |
0,655 |
|
2 |
0,760 |
2,189 |
1,055 |
|
3 |
1,210 |
2,436 |
|
|
|
|
||
9 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,450 |
|
1 |
0,500 |
1,979 |
0,745 |
|
2 |
0,800 |
2,217 |
0,115 |
|
3 |
1,300 |
2,462 |
|
10 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,455 |
|
1 |
0,510 |
1,988 |
0,745 |
|
2 |
0,840 |
2,245 |
1,155 |
|
3 |
1,390 |
2,484 |
|
11 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,460 |
|
1 |
0,520 |
1,997 |
0,745 |
|
2 |
0,880 |
2,271 |
1,255 |
|
3 |
1,480 |
2,496 |
|
|
|
|
|
45 |
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
Продолжение таблицы 3
Вариант |
I |
X i |
Yi = F( X i ) |
Аргументы X*j |
12 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,465 |
|
1 |
0,530 |
2,006 |
0,754 |
|
2 |
0,920 |
2,296 |
1,255 |
|
3 |
1,570 |
2,500 |
|
13 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,470 |
|
1 |
0,540 |
2,014 |
0,755 |
|
2 |
0,960 |
2,319 |
0,135 |
|
3 |
1,660 |
2,496 |
|
14 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,475 |
|
1 |
0,550 |
2,023 |
0,755 |
|
2 |
1,000 |
2,341 |
1,364 |
|
3 |
1,750 |
2,484 |
|
15 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,480 |
|
1 |
0,560 |
2,031 |
0,865 |
|
2 |
1,040 |
2,362 |
1,468 |
|
3 |
1,840 |
2,464 |
|
16 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,485 |
|
1 |
0,570 |
2,040 |
0,859 |
|
2 |
1,080 |
2,382 |
1,687 |
|
3 |
1,930 |
2,436 |
|
17 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,490 |
|
1 |
0,580 |
2,048 |
0,955 |
|
2 |
1,120 |
2,400 |
1,645 |
|
3 |
2,020 |
2,401 |
|
18 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,495 |
|
1 |
0,590 |
2,056 |
0,855 |
|
2 |
1,160 |
2,417 |
1,755 |
|
3 |
2,110 |
2,358 |
|
19 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,500 |
|
1 |
0,600 |
2,065 |
1,055 |
|
2 |
1,200 |
2,432 |
1,875 |
|
3 |
2,200 |
2,308 |
|
46
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
|
|
|
Продолжение таблицы 3 |
|
|
|
|
|
Аргументы X*j |
Вариант |
I |
X i |
Yi = F( X i ) |
|
|
|
|
|
0,505 |
20 |
0 |
0,400 |
1,889 |
|
|
1 |
0,610 |
2,073 |
0,845 |
|
2 |
1,240 |
2,446 |
1,985 |
|
3 |
2,290 |
2,252 |
|
21 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,510 |
|
1 |
0,620 |
2,081 |
0,895 |
|
2 |
1,280 |
2,458 |
0,1955 |
|
3 |
2,380 |
2,190 |
|
22 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,515 |
|
1 |
0,630 |
2,089 |
1,054 |
|
2 |
1,320 |
2,469 |
2,255 |
|
3 |
2,470 |
2,122 |
|
23 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,520 |
|
1 |
0,640 |
2,097 |
0,115 |
|
2 |
1,360 |
2,478 |
2,255 |
|
3 |
2,560 |
2,049 |
|
24 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,525 |
|
1 |
0,650 |
2,105 |
0,995 |
|
2 |
1,400 |
2,485 |
2,235 |
|
3 |
2,650 |
1,972 |
|
25 |
0 |
0,400 |
1,889 |
0,530 |
|
1 |
0,600 |
2,113 |
1,125 |
|
2 |
1,440 |
2,491 |
2,355 |
|
3 |
2,740 |
1,891 |
|
В табл. 3 приняты следующие обозначения: I – номер узла, X i - точка с номером I на оси X, Yi - значение неизвестной функции F( Xi ) в точке X i . Вели-
чина X*j определяет набор точек ( j = 1, 2, 3), для которых решается задача интерполяции.
47
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
6.ВЫБОР И НАХОЖДЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ФОРМУ-
ЛЫ
В этой лабораторной работе изучаются приемы построения эмпирических формул Y = fi ( A, B, X ) для нелинейных зависимостей. Для каждого из вари-
антов заданий (см. табл. 4) требуется выбрать одну (или несколько) из эмпирических формул, приведенных в [17,21], и найти оптимальные (по критерию наименьшей суммы квадратов отклонения Ф) для нее параметры A и B. Отчет по лабораторной работе должен включать следующие разделы:
1. Математическая формулировка задачи выбора эмпирической зависимости и нахождения оптимальных параметров A и B.
2. Таблица имен и алгоритм в графическом виде (структурограмма, или блок схема).
3. Программа на языке Паскаль.
4. Таблица результатов вычислений в соответствии со следующим шаб-
лоном.
|
№ |
|
Эмпирическая |
|
|
A |
|
B |
|
|
Ф |
|
Примечание |
|||
|
п/п |
|
формула |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
Y = A X + B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5. График на миллиметровке. На графике отметить: известные |
||||||||||||||
|
значения ( X i ,Yi ) и график найденной эмпирической функции. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вариант |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
Значение функции Y(X) |
|
|
|
|
|||||
|
0.5 |
|
2.000 |
|
0.276 |
0.500 |
|
1.761 |
|
0.054 |
|
4.000 |
||||
|
0.6 |
|
2.020 |
|
0.294 |
0.495 |
|
1.798 |
|
0.076 |
|
3.367 |
||||
|
0.7 |
|
2.040 |
|
0.313 |
0.490 |
|
1.829 |
|
0.102 |
|
2.914 |
||||
|
0.8 |
|
2.060 |
|
0.334 |
0.485 |
|
1.855 |
|
0.131 |
|
2.575 |
||||
|
0.9 |
|
2.080 |
|
0.356 |
0.481 |
|
1.879 |
|
0.164 |
|
2.311 |
||||
|
1.0 |
|
2.100 |
|
0.380 |
0.476 |
|
1.900 |
|
0.200 |
|
2.100 |
||||
|
1.1 |
|
2.120 |
|
0.405 |
0.472 |
|
1.919 |
|
0.240 |
|
1.927 |
||||
|
1.2 |
|
2.140 |
|
0.432 |
0.467 |
|
1.936 |
|
0.283 |
|
1.783 |
||||
|
1.3 |
|
2.160 |
|
0.461 |
0.463 |
|
1.952 |
|
0.329 |
|
1.662 |
||||
|
1.4 |
|
2.180 |
|
0.491 |
0.459 |
|
1.967 |
|
0.379 |
|
1.557 |
||||
|
1.5 |
|
2.200 |
|
0.524 |
0.455 |
|
1.981 |
|
0.432 |
|
1.476 |
||||
|
1.6 |
|
2.220 |
|
0.559 |
0.450 |
|
1.994 |
|
0.488 |
|
1.387 |
||||
|
1.7 |
|
2.240 |
|
0.596 |
0.446 |
|
2.006 |
|
0.548 |
|
1.318 |
||||
|
1.8 |
|
2.260 |
|
0.653 |
0.442 |
|
2.018 |
|
0.611 |
|
1.256 |
||||
|
1.9 |
|
2.280 |
|
0.677 |
0.439 |
|
2.028 |
|
0.677 |
|
1.200 |
||||
|
2.0 |
|
2.300 |
|
0.722 |
0.435 |
|
2.039 |
|
0.746 |
|
1.150 |
||||
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
7 |
|
8 |
|
|
9 |
|
10 |
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Значение функции Y(X) |
|
|
|
|||||
0.5 |
0.552 |
|
0.526 |
|
|
1.423 |
|
0.123 |
|
3.800 |
|
0.263 |
|
|
|
|
|
||||||||
0.6 |
0.550 |
|
0.515 |
|
|
1.496 |
|
0.168 |
|
3.233 |
|
0.309 |
0.7 |
0.580 |
|
0.505 |
|
|
1.557 |
|
0.218 |
|
2.829 |
|
0.354 |
0.8 |
0.612 |
|
0.495 |
|
|
1.611 |
|
0.274 |
|
2.529 |
|
0.396 |
0.9 |
0.645 |
|
0.485 |
|
|
1.652 |
|
0.334 |
|
2.289 |
|
0.437 |
1.0 |
0.680 |
|
0.476 |
|
|
1.700 |
|
0.400 |
|
2.100 |
|
0.476 |
1.1 |
0.717 |
|
0.467 |
|
|
1.738 |
|
0.470 |
|
1.945 |
|
0.514 |
1.2 |
0.756 |
|
0.459 |
|
|
1.773 |
|
0.545 |
|
1.817 |
|
0.550 |
1.3 |
0.797 |
|
0.450 |
|
|
1.805 |
|
0.625 |
|
1.708 |
|
0.586 |
1.4 |
0.841 |
|
0.442 |
|
|
1.835 |
|
0.709 |
|
1.614 |
|
0.619 |
1.5 |
0.887 |
|
0.435 |
|
|
1.862 |
|
0.797 |
|
1.533 |
|
0.652 |
1.6 |
0.935 |
|
0.427 |
|
|
1.888 |
|
0.889 |
|
1.462 |
|
0.684 |
1.7 |
0.986 |
|
0.420 |
|
|
1.912 |
|
0.986 |
|
1.400 |
|
0.714 |
1.8 |
1.040 |
|
0.413 |
|
|
1.935 |
|
1.086 |
|
1.344 |
|
0.744 |
1.9 |
1.096 |
|
0.407 |
|
|
1.957 |
|
1.191 |
|
1.295 |
|
0.772 |
2.0 |
1.156 |
|
0.400 |
|
|
1.977 |
|
1.300 |
|
1.250 |
|
0.800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы 4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вариант |
13 |
|
14 |
|
|
15 |
|
16 |
|
17 |
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
Значение функции Y(X) |
|
|
|
|||||
0.5 |
0.556 |
|
1.084 |
|
|
0.212 |
|
3.600 |
|
0.278 |
|
1.800 |
0.6 |
0.538 |
|
1.194 |
|
|
0.279 |
|
3.100 |
|
0.323 |
|
1.860 |
0.7 |
0.521 |
|
1.286 |
|
|
0.351 |
|
2.743 |
|
0.365 |
|
1.920 |
0.8 |
0.505 |
|
1.366 |
|
|
0.429 |
|
2.475 |
|
0.484 |
|
1.980 |
0.9 |
0.490 |
|
1.437 |
|
|
0.512 |
|
2.267 |
|
0.441 |
|
2.040 |
1.0 |
0.476 |
|
1.500 |
|
|
0.600 |
|
2.100 |
|
0.476 |
|
2.100 |
1.1 |
0.463 |
|
1.557 |
|
|
0.692 |
|
1.964 |
|
0.509 |
|
2.160 |
1.2 |
0.450 |
|
1.609 |
|
|
0.789 |
|
1.650 |
|
0.541 |
|
2.220 |
1.3 |
0.439 |
|
1.657 |
|
|
0.889 |
|
1.754 |
|
0.570 |
|
2.280 |
1.4 |
0.427 |
|
1.782 |
|
|
0.994 |
|
1.641 |
|
0.598 |
|
2.348 |
1.5 |
0.417 |
|
1.743 |
|
|
0.162 |
|
1.609 |
|
0.625 |
|
2.400 |
1.6 |
0.407 |
|
1.782 |
|
|
1.214 |
|
1.537 |
|
0.650 |
|
2.460 |
1.7 |
0.397 |
|
1.818 |
|
|
1.330 |
|
1.482 |
|
0.675 |
|
2.520 |
1.8 |
0.386 |
|
1.853 |
|
|
1.049 |
|
1.433 |
|
0.698 |
|
2.580 |
1.9 |
0.379 |
|
1.885 |
|
|
1.571 |
|
1.389 |
|
0.720 |
|
2.640 |
2.0 |
0.370 |
|
1.916 |
|
|
1.697 |
|
1.350 |
|
0.741 |
|
2.700 |
49
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
Продолжение таблицы 4
Вариант |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Значение функции Y(X) |
|
|
|
0.5 |
0.745 |
0.325 |
3.490 |
0.294 |
1.700 |
0.912 |
0.6 |
0.891 |
0.412 |
2.967 |
0.337 |
1.760 |
0.936 |
0.7 |
1.015 |
0.502 |
2.657 |
0.376 |
1.860 |
0.961 |
0.8 |
1.121 |
0.599 |
2.425 |
0.412 |
1.940 |
0.967 |
0.9 |
1.216 |
0.696 |
2.244 |
0.446 |
2.220 |
1.013 |
1.0 |
1.300 |
0.800 |
2.100 |
0.475 |
2.100 |
1.040 |
1.1 |
1.375 |
0.906 |
1.982 |
0.505 |
2.180 |
1.068 |
1.2 |
1.446 |
1.014 |
1.883 |
0.531 |
2.240 |
1.096 |
1.3 |
1.510 |
1.125 |
1.800 |
0.556 |
2.340 |
1.125 |
1.4 |
1.569 |
1.239 |
1.729 |
0.579 |
2.420 |
1.155 |
1.5 |
1.624 |
1.355 |
1.667 |
0.600 |
2.500 |
1.186 |
1.6 |
1.676 |
1.474 |
1.612 |
0.620 |
2.580 |
1.217 |
1.7 |
1.724 |
1.595 |
1.565 |
0.639 |
2.660 |
1.250 |
1.8 |
1.770 |
1.718 |
1.522 |
0.657 |
2.740 |
1.283 |
1.9 |
1.813 |
1.843 |
1.484 |
0.674 |
2.820 |
1.317 |
2.0 |
1.855 |
1.970 |
1.450 |
0.690 |
2.900 |
1.352 |
|
|
|
|
Продолжение таблицы 4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Вариант |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Значение функции Y(X) |
|
|
|
0.5 |
0.467 |
3.200 |
0.313 |
1.600 |
1.049 |
0.625 |
0.6 |
0.570 |
2.833 |
0.353 |
1.700 |
1.059 |
0.560 |
0.7 |
0.675 |
2.571 |
0.389 |
1.800 |
1.069 |
0.556 |
0.8 |
0.782 |
2.375 |
0.421 |
1.900 |
1.079 |
0.526 |
0.9 |
0.891 |
2.222 |
0.450 |
2.000 |
1.090 |
0.500 |
1.0 |
1.000 |
2.100 |
0.476 |
2.100 |
1.100 |
0.476 |
1.1 |
1.111 |
2.000 |
0.500 |
2.200 |
1.111 |
0.455 |
1.2 |
1.122 |
1.917 |
0.522 |
2.300 |
1.121 |
0.435 |
1.3 |
1.355 |
1.846 |
0.542 |
2.400 |
1.132 |
0.417 |
1.4 |
1.448 |
1.786 |
0.560 |
2.500 |
1.143 |
0.400 |
1.5 |
1.562 |
1.733 |
0.577 |
2.600 |
1.154 |
0.385 |
1.6 |
1.677 |
1.687 |
0.593 |
2.700 |
1.165 |
0.370 |
1.7 |
1.793 |
1.647 |
0.607 |
2.800 |
1.176 |
0.357 |
1.8 |
1.609 |
1.611 |
0.621 |
2.900 |
1.187 |
0.345 |
1.9 |
2.026 |
1.579 |
0.633 |
3.000 |
1.199 |
0.333 |
2.0 |
2.144 |
1.550 |
0.645 |
3.100 |
1.210 |
0.323 |
50 |
|
|
|
|
|
|