ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

3.3* Арифметические циклы с рекуррентными соотношениями

Для решения задач данного раздела следует использовать арифметический цикл, организуемый с помощью оператора FOR. Вычислительный процесс должен использовать одну или две рекуррентные формулы вида

Yi = f (Yi −1, Yi - 2, K) . Для всех заданий этого раздела следует разработать алго-

ритм и программу [2, 3].

1.Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычислить

Ym , если известны Y0 , Y1 , а Ym вычисляется по формуле

Ym = 2 Ym−13+Ym−2 ; m = 2, 3, 4, ...

2. Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычис-

лить Ym , если известны Y0 , Y1, Y2 ; Ym вычисляется по формуле

Ym =sin2 (Ym−1 ) +cos2 (Ym−3 ); m =3, 4, 5, ...

3.Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m вычислить

m

Sm = ∑Yi , если известны Y0 , Y1, Y2 , а Yi вычисляется по формуле

i=1

Yi = sin(Yi−1 ) + cos(Yi−3 ); i = 3, 4, 5, ...

4.Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычислить

m	2 при известных Y0 , Y1 ; Yi вычисляется по формуле
Sm = ∑Yi
i=1
	Yi = sin( Yi − 1 ) + cos( Yi − 2 ) ; i = 2 , 3, 4, ...

5.Члены последовательностей {X i } и {Yi } вычисляется по двум рекуррентным формулам. Вычислить X20, Y20 .

X i+1 =	X	i	(Y	i	+5)−1	= 3.5;
					; X0
			2

Yi+1 = X i +1.6; Y0 = 2.2 .

26

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

6.Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычислить

Sm =	m
	∑ Yi , если известны Y0 , Y1, Y2 , а Yi вычисляется по формуле
	i =1
	Y = lg		Y 2	+Y	+1		; i =3, 4, 5, ...
	i		i −2	i −3

7. Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычис-

лить Ym , если известны Y0, Y1, Y2 ; Ym вычисляется по формуле:

Ym = tg 2 (Ym−3 ) +Ym−2 ; m =3, 4, 5, ...

8.Пользуясь рекуррентной формулой для заданного с клавиатуры m, вычислить

S

=

m

Y

+ 0.5) , если известны Y , Y , Y

, а Yi

вычисляется по фор-

∑ ln(

m

i =1

i

0

1

2

муле

Y =Y

+Y 2

−2

Y

;

i =3, 4, 5, ...

i

i−1

i−2

i−3

9. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданных

с кла-

виатуры X и a вычислите значение Y:

Y = (((((( X −0.5 a)2 −0.5 a)2 −0.5 a)2 −0.5 a)2 −0.5 a)2 −0.5 a)2 −1.5 .

10. Составьте

рекуррентную формулу,

использую

которую для заданных

с

клавиатуры значений X и n, вычислите значение Y:

n2

X +1.5 +1.5 +1.5

+1.5 .

Y = 2 n

n

n

n

11. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданных

с кла-

виатуры значений X и a, вычислите значение Y:

Y = lg

π

.

sin sin sin sin sin

+ X +

X + X

+

X

+ X + X

2

12. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданных

с кла-

виатуры значений X, a и p, вычислите значение Y:

27

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

Y = ((((( X +a) p +a) p +a) p +a) p +a) p +a .

13. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданных с кла-

виатуры значений p, n и a, вычислите значение Y:

Y = (((((a − p) n − p) n − p) n − p) n − p) n − p .

14. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданного

с кла-

виатуры значения X, вычислите значение Y:

Y =

X

.

X 2 +

2

4

X 2 +

X

2 +

8

O

X

2 +

512

X 2

15. Составьте рекуррентную формулу,

используя которую для заданного

с

клавиатуры значения X, вычислите значение Y:

Y =

X 2

.

1 +

1

1

3 +

1

5 +

O

109 +

1

111

16. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданных

с кла-

виатуры значений X и n, вычислите значение Y:

Y = X n 3 + n 6 +K+ n 96 + n 99 .

17. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданного

с кла-

виатуры значения m и X (2 > X > 1), найдите сумму S:

m

(x −1)

2 n

S = ∑(−1)n

.

(2 n)!!

n=1

28

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

18. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданного с кла-

виатуры значения m и X (2 > X > 1), найдите сумму S:

	m	(x −1)	2 n−1
	S = ∑(−1)n+1
		(2n +1)!!
	n=0

19. Составьте рекуррентную формулу, используя которую для заданного с кла-

виатуры значения m и X (3 > X > 0), найдите сумму S:

	m	2 X
	S = ∑		.
		n!
	n=1

20.Сторона правильного вписанного многоугольника с удвоенным числом сто-

рон выражается через An и R рекуррентной формулой

A	= 2 R2 −2 R R2 −	A2		= 2 R .
		n , A	4
2n		4

Вычислить сторону A64.

3.4* Итерационные циклы с рекуррентными соотношениями

При решении задач данного раздела следует использовать итерационный цикл. Для реализации этого вида циклов рекомендуются операторы REPEAT … UNTIL или WHILE … DO. Вычислительный процесс должен использовать одну или две рекуррентные формулы вида Yi = f (Yi −1, Yi-2 , K) . Для всех заданий этого раздела следует разработать алгоритм и программу [2, 3].

1. Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется по формуле

Yn = 0.25 sin(Yn−1) + 0.5 sin(Yn−2 ); n = 2, 3, 4, ... .

Значения Y0 , Y1 вводятся с клавиатуры. Вычисления прекратить при вы-

полнении условия Yn −Yn−1 <ε .

2. Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется по формуле

Yn = 0.2 +0.1 sin(Yn−1 ); n =1, 2, 3, ... .

29

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

Значение Y0 вводится с клавиатуры. Вычисления прекратить при вы-

полнении условия Yn −Yn−1 <ε .

3.Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется по формуле

Yn = 0.1 tg(Yn−1 ) +0.3 tg(Yn−3 ) ; n = 3, 4, 5, ... .

Значения Y0 , Y1, Y2 вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются при выполнении условия Yn −Yn −1 <ε .

4.Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞ , где Y0 =1, а Yn

вычисляется по формуле

Yn = 1+1Yn−1 ; n =1, 2, 3, ... .

Значение Y0 вводится с клавиатуры. Вычисления прекращаются при вы-

полнении условия Yn −Yn−1 <ε .

5. Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется по формуле

Yn = 0.352 Yn−1 +cos π2 +Yn−2 ; n = 2, 3, 4, ...

Значения Y0 , Y1 вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются при выполнении условия Yn −Yn−1 <ε .

6. Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞ , где Yn вычисля-

ется по формуле
Yn	=			1		; n = 2, 3, 4, ...
			12 +Yn2−1 +Yn2−2
Значения Y0 , Y1	вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются при
выполнении условия			Yn −Yn−1		<ε .

30

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

7. Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется

по формуле

Yn =	1	; n = 3, 4, 5, ...

10 + Yn2−2 +Yn2−3

Значения Y0 , Y1, Y2 вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются

при выполнении условия Yn −Yn−1 <ε .

8.Вычислить предел последовательности { Yn } при n → ∞, где Yn вычисляется по формуле

Yn =			1			; n = 2, 3, 4, ...
					+ sin2 Y
1 + sin2 Y			−1			n−2
		n
Значения Y0 , Y1 вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются при
выполнении условия		Yn −Yn−1		<ε .

9. Вычислить предел последовательности { Yn } при n →∞ , где Yn вычисляется

	по формуле
	Yn =		Yn−2 +			0.5 Yn−3			; n = 3, 4, 5, ...
		Yn2−2 +2				Yn4−3 +1.5
	Значения Y0 , Y1, Y2		вводятся с клавиатуры. Вычисления прекращаются
	при выполнении условия				Yn −Yn−1			<ε .

10.Последовательность функций Yn =Yn ( X ) , где 0 ≤ X ≤1 определяется сле-

дующим образом:

Y =	X	;	Y	n	=	1	( X +Y 2	); n = 2, 3, .4, ...
1	2					2	n−1

При заданном X найти предел последовательности, принимая за тако-

вой значение Yn , удовлетворяющее условию Yn −Yn−1 <ε .

11. Последовательность функций Yn =Yn ( X ) , где 0 < X определяется следую-

щим образом:

Y1 = X ; Yn =Yn−1 (2 − X Yn−1 ); n = 2, 3, .4, ...

31

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

При заданном X найти предел последовательности, принимая за тако-

вой значение Yn , удовлетворяющее условию Yn −Yn−1 <ε .

12.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

	∞	(x −1)	2 n
	S = ∑(−1)n			.
		(2n)!!
	n =0

13.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

	∞	(x −1)	2 n−1
	S = ∑(−1)n+1			.
		(2n +	1)!!
	n=0

14.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

S = ∑∞ (x −1)n . n=1 (n)!

15.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

∞	(x −1)	2 n
S = ∑(−1)n			.
	2 n
n=1

16.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

	∞	x	2 n
	S = ∑(−1)n				.
		n (n +1)		(n +2)
	n=1

17.Пользуясь рекуррентной формулой, найти сумму S бесконечного ряда с точностью до ε.

	∞				(2n −1)!!
	S =1 − ∑(	−1)n								X n .
						(2n)!!
	n=1
	∞				1
	18. Найти предел произведения P = ∏		+					для последовательности { Yn },
		1
	n=1			Yn

пользуясь рекуррентной формулой

32

n−1 ), ...

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

Y1 =1; Yn = n (Yn−1 +1); n = 2, 3, 4, ...

Вычисления закончить при выполнении условия	1	<ε .
	Yn

19.Вычислить k A - корень k-ой степени из положительного числа A, пользуясь последовательным приближением

	X 0	= A; X n =	k −1		X n−1 +	A			; n =1, 2, 3, ...
			k			k X nk−−11
	За корень принять такое X n , при котором							X n − X n−1			<ε .

20.Для приближенного решения уравнения Кеплера

X − q sin(X ) = m, 0 < q <1, полагают X 0 = m, X1 = m + q sin( X 0 ), ... , Xn = m + q sin( X

При заданном m найти решение уравнения Кеплера, принимая за него такое X n , при котором X n − X n−1 <ε .

33