ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

9. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель лабораторной работы: изучение вычислительных методов решения нелинейных уравнений и составление программ для их реализации на ЭВМ. Отчет по лабораторной работе должен включать следующие разделы:

1.Математическая формулировка задачи отделения корней нелинейного уравнения с последующим их уточнением с помощью указанного преподавателем метода (дихотомии, касательных, хорд, итераций [21]).

2.Таблица имен и алгоритм в графическом виде (структурограм-

ма, или блок схема).

3.Программа на языке Паскаль.

4.Результаты вычислений в форме приведенного ниже шаблона

№		Интервал изоляции корня				Значение			Погрешность,
корня						корня, X i				ε
		A		B
1
2
3
				Таблица 7
Вари-			Уравнение				A		B	ε	N
ант
1		x 3=2.25x2+12.3904x-27.8784					-4		4	10−8	8
2		x 3=2.20x2+11.9025x-26.1855					-4		4	10−8	8
3		x 3=2.15x2+11.4244x-24.5624					-4		4	10−8	8
4		x 3=2.10x2+10.9561x-23.0078					-4		4	10−8	8
5		x 3=2.05x2+10.4976x-21.5201					-4		4	10−8	8
6		x 3=2.00x2+10.0489x-20.0978					-4		4	10−8	8
7		x 3=1.95x2+9.6100x-18.7395					-4		4	10−8	8
8		x 3=1.90x2+9.1809x-17.4437					-4		4	10−8	8
9		x 3=1.85x2+8.7618x-16.2090					-4		4	10−8	8
10		x 3=1.80x2+8.3521x-15.0338					-4		4	10−8	8
11		x 3=1.75x2+7.9524x-13.9167					-4		4	10−8	8
12		x 3=1.70x2+7.5625x-12.8563					-4		4	10−8	8

56

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

13	x 3=1.65x2+7.1824x-11.8510	-4	4	10−8	8
14	x 3=1.60x2+6.8121x-10.8994	-4	4	10−8	8
15	x 3=1.55x2+6.4516x-10.0000	-4	4	10−8	8
16	x 3=1.50x2+6.1009x-9.1514	-4	4	10−8	8
17	x 3=1.45x2+5.7600x-8.3520	-4	4	10−8	8
18	x 3=1.40x2+5.4289x-7.6005	-4	4	10 −8	8
19	x 3=1.35x2+5.1076x-6.8952	-4	4	10−8	8
20	x 3=1.30x2+4.7961x-6.2349	-4	4	10−8	8
21	x 3=1.25x2+4.4944x-5.6180	-4	4	10−8	8
22	x 3=1.20x2+4.2025x-5.0430	-4	4	10−8	8
23	x 3=1.15x2+3.9204x-4.5085	-4	4	10−8	8
24	x 3=1.10x2+3.6481x-4.0129	-4	4	10 −8	8
25	x 3=1.05x2+3.3856x-3.5549	-4	4	10−8	8
26	x 3=1.00x2+3.1329x-3.1329	-4	4	10−8	8
27	x 3=0.95x2+2.8900x-2.7455	-4	4	10−8	8
28	x 3=0.90x2+2.6569x-2.3912	-4	4	10−8	8
29	x 3=0.85x2+2.4336x-2.0686	-4	4	10−8	8
30	x 3=0.80x2+2.2201x-1.7761	-4	4	10−8	8

Примечание. В табл. 7 приняты обозначения: A - начало отрезка, B - конец отрезка ( x [A, B] ), ε - оценка точности решения, N – наименьшее число интервалов раз-

биения отрезка [A, B] .

57

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

10.ПРИБЛИЖЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕ-

РЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Практическое освоение метода численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с помощью методов РунгеКутты и программирование вычислительного процесса решения задачи Коши на ЭВМ [19, 21]. Варианты заданий представлены в табл. 8. Отчет по лабораторной работе должен включать следующие разделы:

1.Вариант задания.

2.Формулы численного решения задачи Коши для соответствующего ва-

рианта.

2.Таблица имен и алгоритм в графическом виде (структурограмма, или блок схема).

3.Программа на языке Паскаль.

4.Результаты вычислений в форме приведенного ниже шаблона

Номер точки, i				Значение ар-		Значение функции, Yi =Y ( Xi )
				гумента, Xi
0				x0		y0
1				…		…
5. График				на миллиметровке.		На графике по найденным точкам
{Xi ,Yi / i =		} построить функцию Y ( X ) .
	0,n

Таблица 8

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

58

	Общий вид уравнения	x0	y0	xn	N
	F(x, y, y’) = 0
	2x + y2 –y’= 0	0.4	1.2	2.0	16
	x + y2 –y’= 0	0	0.5	1.2	12
	2x + y2 –y’= 0	0	0.3	1.0	10
	0.2x + y2 –y’= 0	0	0.1	1.6	16
	x2 + 2y –y’= 0	0	0.1	1.8	18
	x2 + y2 –y’= 0	0	0.7	1.0	10
	0.3x + y2 –y’= 0	0	0.4	1.6	16
	x + 0.3y2 –y’= 0	0	0.3	1.2	12
	0.1x2 + 2x·y –y’= 0	0	0.8	1.4	14
	3x2 + 0.1x·y –y’= 0	0	0.2	1.5	15
	4x + y2 –2y’= 0	0	0.3	1.4	14

Правила

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

12	2x2 –4y –2y’= 0	0	0.1	1.6	16	12
13	x·y + 0.1y2 –y’= 0	0	0.5	1.2	12	1
14	x·y + 0.2y2 –y’= 0	0	0.7	1.4	14	2
15	3x + 0.1y2 –y’= 0	0	0.4	1.0	10	3
26	x·y + y2 –y’= 0	0	0.6	1.2	12	4
17	x2 + y + y’= 0	0	0.4	1.6	16	5
18	x·y + y2 - y’= 0	0	0.6	1.4	14	6
19	2x2 + x·y -y’= 0	0	0.5	1.2	12	7
20	x2 + 0.2x·y -y’= 0	0	0.6	1.4	14	8
21	0.4x + y2 -2y’= 0	0	0.1	1.2	12	9
22	1.5x + y2 -1.5y’= 0	0	0.5	1.4	14	10
23	2x2 + 4y -2y’= 0	0	0.1	1.5	15	11
24	6x2 + 0.2x·y -2y’= 0	0	0.2	1.6	16	12
25	2x·y + 0.2y2 -2y’= 0	0	0.5	1.2	12	1
26	1.3x2 +y2 -1.3y’= 0	0	0.7	1.4	14	2
27	1.5x2 + 0.05x·y -0.5y’=	0	0.2	1.0	10	3
	0
28	x2 + 1.2y -1.2y’= 0	0	0.4	1.2	12	4
29	0.5x + 0.15y2 -0.5y’= 0	0	0.3	1.6	16	5

Примечание. В табл. 8 приняты обозначения: x0, y0 - начальные условия; xn - конец промежутка; N - число шагов интегрирования; правила - номер варианта правил Рунге-Кутты в табл. 11 приложения 2.

59

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

11.ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИ-

АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Практическое освоение метода численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с помощью методов Рунге-Кутты и программирование вычислительного процесса решения задачи Коши на ЭВМ [19, 21]. Варианты заданий представлены в табл. 8. Отчет по лабораторной работе должен включать следующие разделы:

1.Вариант задания.

2.Формулы численного решения задачи Коши для соответствующего ва-

рианта.

2.Таблица имен и алгоритм в графическом виде (структурограмма, или блок схема).

3.Программа на языке Паскаль.

4.Результаты вычислений в форме приведенного ниже шаблона

Номер

Значение

Значение функции,

Значение функции,

точки, i

аргумента,

Zi1 = Z1( Xi )

Zi2 = Z2 ( Xi )

Xi

0

x0

Z01

Z02

1

…

…

…

5.

График

на

миллиметровке. На

графике

по

найденным

точкам

{Xi , Zi1, Zi2 / i =

0,n

} построить функции Z1( X ) и Z2 ( X ) .

Таблица 9

Вариант

Общий вид системы уравнений

Xn

Правила

F

( X, Z

' ,

Z'

) = 0

'

'

X0

Z01

Z02

N

F1( X, Z1,

Z2 ) = 0

2

1

2

1

'

2

=0

1

1

0

2.4

14

1

Z1

X +Z1 Z2

Z'

X −Z

2

+Z = 0

2

2

1

2

'

+ X Z1 − X Z2 =0

0

1

1

1.2

12

2

Z1

Z'

− X Z

− X Z

2

= 0

2

1

3

'

Z2 −2 Z1 + X =0

0.5

1

1

1.8

13

3

Z1

=0

Z '

Z

1

+ X Z '

+2 Z

1

2

2

60

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

		'																									2	)	=0
	Z1 − X −Z2 −Sin(2 Z1
4	Z		'		− X Z								+2 Z								2		−1 =0													0	1	0.5	1.4	14	4
		2							1										2
			'		− X −Z										−Sin(2.5 Z															2	)		= 0
5	Z	1											2																	1						0	1	0.5	1.2	12	5
															+2.5 Z												2
	Z		'		+ X −Z								1												2			−1 = 0
		2
			'		+ X −2 Z													−Z							= 0
6	Z		1													1							2													0	1	-2	1.0	10	6
					− X −2 Z																							= 0
	Z		'													1	−3 Z									2
		2
			'		X −2 Z											+ Z								= 0
7	Z	1													1						2															0.5	1	1	1.4	14	1
					X −2 Z											−Z								Z				= 0
	Z		'												1						'						2
		2																			2
8			'		X + 2.1 Z														2		Z1							= 0								1	1	0	2.2	12	2
	Z1																	2														0
	3	Z				1		+ Z			2			+		3 Z								'	X =
										2												2
9			'																											2	) = 0					0	1	0.5	1.4	14	3
	Z1				− Z1 − Z2 − Sin(3 Z1
	Z		'		− X − Z								1		+3 Z								'	−1 = 0
		2																				2
					Z	'		− 2					X Z								− 2 X Z														= 0
10	2					1													1															2		0	1	1	1.0	10	4
					'			X Z																				= 0
	Z					−								2		+ X Z										1
				2
11																					'			= 0												0	1	1	1.2	12	5
	(Z1					− Z2 ) X + Z1
	(Z			2		+ Z			) X −Z												'			= 0
								1												2
12				'																												2	) = 0			0	1	0.5	1.4	14	6
	Z1 − X − Z 2 Sin(3.5 Z																														1
	Z		2		− X − Z									1		+ 3.5 Z												'		−1 = 0
			2																									2
			'		− X Z								− Z						= 0
13	Z	1								1							2																			0	1	1	1.2	12	1
																				=				0
	X Z						2	+ Z			1		− Z					'
																	2
		Z				'	−2 X Z												−				X Z							= 0
14	2					2												1											2							0	1	1	1.4	14	2
			'											+
	Z				− X Z							2				X Z								1	= 0
			2
15			'																											2		)		= 0		0	1	0.5	1.6	16	3
	Z1				− X − Z2 − Sin(2.5 Z1
	Z		'		− X −Z								1		+2.5 Z										2		2	−1 = 0
		2

61

ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие

			'	Z1 + Z 2			= 0
16	X	− Z1						0	1	1	1.2	12	4
		+ Z		' Z	' − Z		= 0
	X		1			2
					2

Примечание. В табл. 9 приняты обозначения: X0, Z01, Z02 - начальные условия; Xn - конец промежутка; N - число шагов интегрирования; правила - номер варианта правил Рунге-Кутты в табл. 11.

62