Дополнительные вопросы к задаче

1. Как повлияет на величины магнитного потока и магнитной индукции удаление из магнитной цепи (рис. 45) одной ее половины? Разрежем магнитопровод вдоль оси ОО₁ на две равные части и одну из них (например, 1) удалим.

Так как для оставшейся половины можно по-прежнему записать уравнение

Iω = H₁l₁ + Н₂l₂ + Н₃l₃ + Н₄l₄

и н. с. Iω не изменилась, то напряженности поля на всех участках останутся прежними:

H₁=620 А/м; H₂ = 240 А/м; H₃ = H₄ = 1,6 · 10^-4 А/м.

Значит, не изменятся магнитные индукции на участках, и магнитный поток Ф₂=2,5·10 ^-3 Вб.

Однако новую неразветвленную магнитную цепь нельзя считать полностью равнозначной разветвленной цепи, так как магнитный поток в стержне, где размещена катушка, теперь равен не Ф₁ а Ф₂, т. е. в 2 раза меньше.

Рис. 57. Магнитная цепь

2. Как составить эквивалентную электрическую схему магнитной цепи по рис. 57? Средний стержень магнитопровода (рис. 57) имеет магнитное сопротивление участка стали R_М4 и воздушного зазора R_М.С. На этом же стержне размещается катушка с током, н.с. Iω которой определяет э. д. с. эквивалентного источника. Остальные ветви эквивалентной схемы составлены по аналогии с эквивалентной схемой неразветвленной магнитной цепи (рис. 53).

ISfi

3. Можно ли разместить катушку на другом стержне магнитопровода? Проводя аналогию между магнитным потоком и электрическим током в эквивалентной схеме (рис. 57), легко установить, что перемещение катушки на другой стержень, т.е. ЭДС источника в другую ветвь, привело бы к перераспределению магнитных потоков и изменению всего режима магнитной цепи, которая, кстати говоря, уже была бы несимметричной.

Задача 9. Обмотки ω₁ и ω₂ (рис. 58) размещены на двух стержнях магнитопровода, в каждом из которых магнитная индукция равна 0,9 Т. Вычислить н. с. обмоток, если в местах стыка ярма Я и стержней сердечника С, выполненных из электротехнической стали Э42, образуются зазоры δ = 0,1 мм = 1 · 10^-4 м, и толщина магнитопровода 20 мм = 0,02 м.

Рис. 58. Магнитопровод с обмотками

Решение.

1. Распределение магнитного потока. Выделение участков магнитной цепи. Рассматриваемую магнитную цепь, как это показано на рис. 69, можно разделить на три ветви: ОАБВ, ОВ и ОДГВ с магнитными потоками соответственно Ф₁, Ф₂ и Ф₃.

Учитывая, что в пределах одной ветви магнитный поток не изменяется, составим для рассматриваемой магнитной цепи эквивалентную электрическую схему (рис. 60), на которой R_М1, R_М2 и R_М3 — полные магнитные сопротивления соответствующих ветвей (для удобства сравнения на рис. 59 и рис. 60 приняты одинаковые буквенные обозначения участков цепи). Всю магнитную цепь разделим на участки l₁, ..., l₅ и δ₁=δ₂=δ₃=δ (см. рис. 59), каждый из которых характеризуется одним значением напряженности поля. По размерам магнитопровода (на рис. 48 указаны в миллиметрах) находим: l₁ = l₂ =70 мм = 0,07 м; l₃ = 0,18 м; l₄ = l₅ = 0,06 м; S₁ = S₂ = 4 · 10 ^-4 м²; S₃ = S₄ = S₅ = 6 · 10^-4 м².

2. Вычисление н.с. катушки. Прежде всего по первому закону Кирхгофа запишем для узла В (рис. 60) уравнение

Ф₃ = Ф₁ + Ф₂.

Замечая, что в стержнях I и II (см. рис. 58) магнитная индукция (по условию 0,9 Т) одинакова и одинакова площадь поперечного сечения стержней, получаем:

Ф₁ = Ф₂ = B₁S₁ = 0,9 · 4 · 10^-4 = 3,6 · 10^-4 Вб;

Ф₃ = Ф₁ + Ф₂ = 7,2 · 10^-4 Вб.

Рис. 59. Магнитопровод Рис. 60. Эквивалентная электрическая

схема цепи

Теперь найдем магнитные индукции и напряженности поля остальных участков магнитной цепи (см. рис 58):

Т;

Т;

Далее по характеристике намагничивания для стали Э42 находим:

H₁ = H₂ = 235 А/м; H₃ = 540 А/м; H₄= H₅=110 А/м.

В воздушных зазорах напряженности поля равны:

H_в1 = H_в2 = В₁/4π · 10^-7 = 0,9/4π · 10^-7 = 0,724 · 10⁶ А/м;

H_вз = 0,96 · 10⁴ А/м = В₃/ 4π · 10^-7 = 1,2/4 π · 10^-7 = 0,96 · 10⁶ А/м.

Теперь можно вычислить н.с. обмоток, применив вто­рой закон Кирхгофа для двух контуров магнитной цепи (см. рис. 59) или ее эквивалентной электрической цепи (см. рис. 60).

Действительно, для контура ОВГДО

Iω = H₂l₂ + Н_В2δ₂ + H₃l₃ + Н_В3δ₃ =

=235·0,07 + 0,72·10⁶ + 1·10^-4 + 540·0,18 + 0,96·10⁶ · 1·10^-4 =281 А;

для контура ОАБВО:

I₁ω₁ – Iω₂ = Н₅l₅ + H₁l₁ + Н_В1δ₁ + H₄l₄ – H₂l₂ - Н_В1δ₁ = Н₅l₅ + H₄l₄,

так как H₁l₁ = H₂l₂ и Н_В1δ₁ = H_в2δ ₂.

Таким образом, получаем:

I₁ω₁ – Iω₂ = Н₅l₅ + H₁l₁ = 281 + (110 · 0,06) ·2 = 294 А.

Задача 10. Для магнитной цепи предыдущей задачи (рис. 58) заданы н. с. обмоток I₁ω₁=300 А и I₂ω₂ = 260 А.

Определить магнитные потоки Ф₁, Ф₂, Ф₃.

Решение.

1. Обоснование метода решения задачи. Предложенная задача обратна предыдущей, т.е. требуется определить магнитные потоки при заданных н. с. Как было показано, решение обратной задачи расчета магнитных цепей сводится к решению серии прямых задач, если считать заданным ряд значений магнитного потока. Воспользуемся этим методом.

Зададимся несколькими значениями, например магнитного потока Ф₁. Для каждого значения потока вычислим узловое магнитное напряжение между точками В и О (см. рис. 59 и рис. 60):

U_м0B= I₁ω₁ –Ф₁R_м1 =I₁ω₁ - ∑(Hl)_I, (30)

где

∑(Hl)_I = Н₅l₅ + Н₁l₁ + Н_В1δ₁ + H₄l₄. (31)

Имея узловое магнитное напряжение U_M0B, рассчитаем магнитные величины (напряженность поля, магнитную индукцию и поток) для второй и третьей ветвей цепи (см. рис. 59 и рис. 60).

Полученные значения магнитных потоков должны удовлетворять первому закону Кирхгофа для узла В или узла О:

∑Ф = Ф₁ + Ф₂ - Ф₃ = 0. (32)

Если при первом произвольно выбранном значении Ф₁ окажется Ф₁ + Ф₂ < Ф₃, то второе значение Ф₁ надо взять больше, чем первое. При обратном знаке неравенства — выбирать меньшее значение Ф₁.

Выполнив ряд расчетов и построив зависимость ∑Ф от Ф₁, найдем, при каком значении Ф₁ удовлетворяется уравнение (32). Это значение потока Ф₁ и будет решением задачи.

2. Вычисление магнитных потоков. Примем магнитный поток первой ветви (см. рис. 49) Ф₁ = 3,0 ∙ 10^-4 Вб. При этом

T

и по таблице Н₁ = 165 А/м.

Аналогично

T и Н₄ = Н₅= 85 А/м.

Напряженность поля воздушного промежутка

H_B1 = В₁/4π·10^-7 = 0,75/4π·10^-7 = 0,6 ∙ 10⁶ А/м.

Подставляя полученные величины и длины участков в уравнение (32), получаем:

∑(Hl)_I =165 ∙ 0,07 + 2 ∙ 85 ∙ 0,06 + 0,6 ∙ 10⁶ ∙ 1 ∙ 10^-4 = 81,75 А.

По уравнению (30) найдем узловое магнитное напряже­ние:

U_м0B=300 - 81,75= 18,25 А.

Полученное магнитное напряжение приложено и к зажимам второй ветви цепи (см. рис. 59 и рис. 60). Поэтому сумма магнитных напряжений второй ветви

Ф₂R_м2=∑(Hl)_II = I₂ω₂ - U_мОВ = 260 – 218,25 = 41,75 А.

Вторая ветвь состоит из участка стали и воздушного зазора:

∑(Hl)_II = Н₂l₂ + Н_В2δ. (32)

Поэтому суммарное магнитное напряжение ∑(Hl)_II следует распределить между двумя последовательно соединенными участками магнитной цепи, из которых один — нелинейный (по стали), а другой — линейный (воздушный зазор).

Подобная задача решалась ранее для электрической цепи, где применялось графическое суммирование напряжений участков для ряда значений их общего тока. В данном случае величиной, аналогичной току, явля­ется магнитный поток Ф₂ или магнитная индукция B₂ (сечения участка стали и воздушного зазора приняты одинаковыми). Поэтому, задавшись несколькими значениями В₂ (таблица 4), вычислим магнитные напряжения H₂l₂ и H_в2δ уже известными методами. Значения магнитного напряжения ∑(Hl)_II можно найти, выполнив графическое суммирование характеристик В₂(H₂l₂) и В₂(H_в2δ). Однако суммирование магнитных напряжений можно выполнить и по формуле (20), записывая результаты в ту же таблице 4.

Из таблицы 4 следует, что значению ∑(Hl)_II = 41,75 Т соответствует магнитная индукция В₂, которая несколько больше, чем 0,45 Т, и значительно меньше, чем 0,5 Т. Прибегая к линейной интерполяции данных таблицы, получаем В₂ = 0,46 Т.

Для рассматриваемой второй ветви магнитной цепи (см. рис. 49) магнитный поток

Ф₂ = B₂S₂ = 0,46 · 4 · 10^-4 = 1,84 · 10^-4 Вб.

В результате первого этапа расчета (при выбранном значении Ф₁ = 3,0 ·10^-4 Вб) оказалось:

Ф₁ + Ф ₂ = 4,84 · 10^-4 <Ф₃ = 7,5 · 10^-4 Вб.

Поэтому задаемся другим (увеличенным) значением Ф₁ = 4 · 10^-4 Вб и повторяем расчеты.

Таблица 4

B2, T	0,4	0,45	0,5	0,6	0,7	0,8
Hв2δ, A	32	36	39,8	48	56	64
H2l2, А	4,9	5,25	5,95	7,7	10,15	12,9
∑(Hl)II, А	36,9	41,25	45,75	55,7	66,15	76,9

Таблица 5

B3, T	1,1	1,15	1,2	1,25	1,3
Hв3δ, A	87,5	91,5	95,5	100	103,5
H3l3, А	71,0	83,0	97,2	115	138,5
∑(Hl)III, А	158,5	174,5	192,7	215	242

В результате получим:

Ф₁ + Ф ₂ = 7,2 · 10^-4 Вб > Ф₃ = 7,08 · 10^-4 Вб.

Очевидно, что в третий раз следует выбрать Ф₁ несколько меньшим, чем 4,0 · 10^-4 Вб, но близким к этому значению. Принимая Ф₁ = 3,8 · 10^-4 Вб и выполнив еще раз все расчеты, получим:

Ф₁ + Ф ₂ = 6,68 · 10^-4 Вб < Ф₃ = 7,14 · 10^-4 Вб.

По полученным результатам составим таблицу 6 и построим график зависимости ∑Ф(Ф₁), показанный на рис. 61.

Таблица 6

∑Ф, Вб	—2,66 · 10^-4	0,12 · 10^-4	—0,46 · 10^-4
Ф1, Вб	3 · 10^-4	4 · 10^-4	3,8 · 10^-4

Абсцисса точки А графика (см. рис. 61) выражает искомое значение Ф₁ = 3,97 · 10^-4 Вб, так как для этой точки ∑Ф = 0.

С увеличением числа точек кривой (см. рис. 61) точность расчета возрастает.

Имея значение магнитного потока Ф₁, определим известными методами значения Ф₂ = 3,14 · 10^-4 Вб и Ф₃ = 7,11 · 10^-4 Вб.

Рис. 61. Результат расчёта