2.8.1 Кусочно-линейная аппроксимация.

Рис. 23. Линейно-ломаная зависимость.

Наряду с полиномиальной аппроксимацией ВАХ в радиотехнике и связи широко используется их аппроксимация линейно-ломаной зависимостью - совокупностью отрезков прямых, образующих в интервале аппроксимации непрерывную функцию f(x). Так, на рис. 23 приведена линейно-ломаная зависимость

составленная из двух отрезков прямых и аппроксимирующая в интервале 0≤х≤1,50 функцию 1- е^-х с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,024.

Параметры аппроксимирующих прямых могут быть выбраны так, чтобы в интервале аппроксимации выполнялся критерий (12) или (12.1).

В пределах каждого из линеаризированных участков вольтамперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольтамперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Пример

Рис. 24. График экспериментальной зависимости

   i_Б=F(u_БЭ) транзистора КТ306

На рис. 24 (кривая 1) приведен график экспериментальной зависимости    i_Б=F(u_БЭ) транзистора КТ306. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию этой зависимости. где U_отс- напряжение отсечки.

Используя полином первой степени

i_Б = а₀ + a₁ (u_БЭ - U₀),

осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки U₀= 0,8 В и определим коэффициенты по методу Тейлора:

Ток в рабочей точке в соответствии с эксперементальными данными I₀ = 1,2 мА. Крутизну S(U₀) в рабочей точке можно найти приближенно методом приращений

В результате аппроксимации получим

i_Б = 1,2 + 4( u_БЭ - 0,8) = -2 + 4u_БЭ  = 4(u_БЭ - 0,5)мА.

Видно, что при   u_БЭ  < 0,5. В ток i_Б  принимает отрицательные значения, что несогласуется с эксперементальной зависимостью. Таким образом, полученным полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке u_БЭ >0,5. На участке же  0 < u_БЭ  < 0,5 можно выбрать полином первой степени с нулевыми коэффициентами, т.е.  i_Б = 0. Итак, аппроксимирующая функция запишется в виде ( рис. 24, кривая 2)

Представим эту зависимость в более общей форме:

2.8.2 Другие виды аппроксимаций вольт-амперных характеристик

Вольт-амперная характеристика идеализированного полупроводникового диода совпадает с характеристикой идеолизированного p-n  перехода.

i= I₀(e^u/φT - 1) (13)

где I₀ - обратный (тепловой) ток,  φ_T - тепловой потенциал (φ_T ≈ 0,026 В при Т = 300К).

Функция (13) иногда используется для аппроксимации вольт-амперных характеристик. Ее единственным варьируемым параметром является обратный  ток I₀, значение которого можно найти, интерполируя заданную характеристику функцией (13) в одной из точек.

 

2.9 Аналитичесике методы расчёта нелинейных реистивных цепей

2.9.1 Составление уравнений состояния цепей на основании законов кирхгофа

Из предыдущих разделов известно, что в общем случае, когда цепь содержит n_В ветвей (в том числе n_T источников тока) и n_у узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно n_В -  n_у + 1 - n_T. Для отыскания такого числа неизвестных составляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записывается   nу - 1 уравнений вида:

,

где m - число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается n_В -  n_у + 1 уравнений вида:

,

где n - число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравнения вида i_K=F_k(u_k). Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных резистивных цепей.

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 25 Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется выражением

(14)

Рис. 25. Схема цепи

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур (I) и один независимый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют следующий вид:

I₁ + J₀₂ - I_H = 0; (15)

I₁R₁ + U_H - U₀₁ = 0 (16)

К этим уравнениям дописываем уравнение (14). Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение (U_H и токи I₁ и I_H) . Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое решение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует при U_H > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

. (17)

Выразим из уравнения (15) ток I₁ = I_H  -  J₀₂ и подставим его в уравнение (16). В результате этой операции получим

I_HR₁ - J₀₂R₁+  U_H - U₀₁= 0 (18)

Подставив в (18) выражение (17), получим уравнение относительно неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике

(19)

Отсюда имеем

(20)

 

Пусть R₁ = 1 кОм, U₀₁ = 14 В  J₀₂ =10 мА, α= 10-5 А/В. Тогда U_H=20 В. Второе решение уравнения (19) даст U_H < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое при U_H > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (15) - (16) при U_H < 0. Согласно уравнению НЭ (14) I_H = 0, Тогда из уравнения (18) имеем

U_H = J₀₂R₁ + U₀ =  24 В > 0,

а это противоречит условию, что U_H < 0.

Таким образом, остается первое решение (20). Найдем остальные неизвестные. Из (17) имеем I_H= αU²_H = 10^-5 ∙10² = 4мА, а из (15)  I_H -J₀₂ = -6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.