2.5 Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении,

Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи по­следовательного соединения двух нелинейных сопротивлений (см. рис 2). Даны напряжение на зажимах цепи и вольтамперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома:

(5)

где п — порядковый номер приближения.

Первое значение тока I₁ в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольтамперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах. U₁ и U₂ и затем по закону Ома — сопротивления R₁ и R₂: R₁ = U₁/I₁; R₂ = U₂/I_2.

По формуле (5) находят второе приближение тока:

I₂=U/(R_{1 +} R₂).

По найденному значению тока I₂ и вольтамперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат не начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ получают после четырех-пяти повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины вместо (5), например для напряжения на одном из нелинейных элементов:

(6)

2.6 Метод активного двухполюсника

Если разветвлённая электрическая цепь содержит один нелинейный элемент, то расчёт и анализ такой цепи может быть значительно упрощён при использовании метода активного двухполюсника.

Обоснование метода. Исследуемая ветвь с сопротивлением R_ab (рис. 13, а) присоединяется к остальной части схемы (внутри прямоугольника А) в двух точках a и b.

Эту часть схемы можно рассматривать относительно исследуемой ветви как источник с некоторой эквивалентной ЭДС Е_эк и некоторым эквивалентным внутренним сопротивлением r_эк (рис. 13, б). Такой условный источник энергии называется эквивалентным генератором или активным двухполюсником (А). Если в части схемы, относящейся к двухполюснику, нет источников энергии, то двухполюсник называется пассивным (П).

Ток в исследуемой ветви можно найти в эквивалентной схеме (см. рис. 14, б) по известной формуле:

I_ab=Е_эк /( r_эк + R_ab). (7)

Таким образом, решение задачи по определению тока I_аb сводится к определению ЭДС Е_эк эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления r_эк, которое называется также входным сопротивлением активного двухполюсника.

После определения Е_эк и r_эк дальнейшее исследование режима работы ветви аb при изменении сопротивления R_ab не требует громоздких вычислений, так как ЭДС Е_эк и внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора не изменяются.

Ток в ветви аb определяют по формуле (7) для любого значения R_ab.

Определение ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора. Для определения этих величин рассмотрим два крайних режима эквивалентного генератора — режим холостого хода и режим короткого замыкания.

Отсоединим исследуемую ветвь R_ab в точках а и b, тогда эквива­лентный генератор будет находиться в режиме холостого хода.

Рис. 13. Разветвлённая электрическая цепь с одним нелинейным элементом

Напряжение холостого хода U_x на его внешних зажимах а и b согласно схеме, представленной на рис. 13, б, равно эквивалентной ЭДС:

E_эк = U_X

Напряжение холостого хода U_x можно измерить (рис. 13, в) или оп­ределить с помощью расчета (рис. 13 г). Для рассматриваемой цепи напряжение холостого хода:

U_x = IR₂ = ER₂/(R₁ + R₂+R₃).

Сопротивление R₄ в расчет не вошло, так как при отключенном сопротивлении R_ab ток в сопротивлении R₄ также равен нулю.

Сопротивление r_эк эквивалентного генератора можно определить, используя режим короткого замыкания.

В режиме короткого замыкания эквивалентного генератора (см. рис. 13, б) ток короткого замыкания I_к выражается отношением

I_к =Е_эк /r_эк

Отсюда

r_эк = Е_эк/I_к = U_к/I_к. (8)

Для измерения тока I_к можно применить схему, изображенную на рис. 13, д, если короткое замыкание между точками а и b реальной цепи не вызовет опасного увеличения токов в ее элементах. При наличии такой опасности нужно измерить ток I_аb нагрузки эквивалентного генератора и падение напряжения U_ab в нагрузочном со­противлении R_ab (см. рис. 13, б), а внутреннее сопротивление

r_эк = (E_эк - U_ab) /I_ab = (U_x - U_ab )/I_ab.

Ток I_к можно определить, применив один из известных методов расчета. Для рассматриваемого примера расчетная схема приведена на рис. 13, е.

Однако определение I_к может оказаться громоздким, поэтому в сложных схемах r_эк определяется как входное сопротивление пассивного двухполюсника между точками а и b. Для того чтобы получить расчетную схему для определения r_эк нужно все ЭДС активного двухполюсника принять равными нулю, замкнув накоротко точки цепи, к которым присоединены источники этих ЭДС. Тогда активный двухполюсник превращается в пассивный.

Справедливость этого приема следует из схемы, представленной на рис. 13, б; при Е_эк = 0 сопротивление r_эк является входным сопротивлением этой схемы. Таким образом, входное сопротивление пассивного двухполюсника R_BX со стороны зажимов а и b (рис. 13, ж) определяет внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора.

Равенство Е_эк = 0 соответствует тому, что все ЭДС активного двухполюсника равны нулю, поэтому расчетная схема для определения r_эк имеет вид, как на рис. 14, з.

Для этой схемы: