Задачи теории упругости

179

Задачитеорииупругости

Комплекс ELCUT может решать задачи теории упругости в постановках плоских напряжений, плоских деформаций и осесимметричного напряженного состояния с изотропными или ортотропными свойствами материалов. Задача плоских напряжений подходит для анализа структур, тонких по глубине, которые нагружены в плоскости модели. Напряжение в направлении, нормальном к плоскости модели, предполагается отсутствующим. Задача плоских деформаций предполагает отсутствие деформаций вне плоскости модели. Эта задача подходит для моделирования объектов с весьма большой толщиной в направлении, нормальном к плоскости модели.

Перемещения, напряжения, деформации

Во всех постановках поле перемещений однозначно определяется двумя компонентами вектора перемещений δ в каждой точке:

δx		- в плоских задачах;
{δ} =
δy
δz		- в осесимметричных задачах.
{δ} =
δr

В обеих плоских постановках рассматривается только по три компоненты деформаций и напряжений. Деформация связана с перемещением соотношением:

					∂δx
						∂x
	ε
		x			∂δy
{ε} =	εy		=						.
						∂y
γ				∂δx
		xy				+	∂δy
				∂y				∂x

Соответствующее ей напряжение выражается как

σx {σ} = σy .

τxy

180Глава 9 Теоретическое описание

Восесимметричном случае радиальное перемещение приводит к деформации

εθ, в направлении, перпендикулярном плоскости модели, поэтому выражение для полной деформации имеет вид:

∂δz

∂z

εz

∂δr

εr

∂r

{ε} =

εθ

=

.

δr

γ

r

rz

∂δ

∂δ

z

+

r

∂r

∂z

Соответствующие компоненты напряжений:

σzσ {σ} = σr .θτrz

Уравнения статического равновесия для плоских задач имеют следующий вид:

	∂σ	x	+	∂τxy		= − fx
	∂x				∂y
						,
	∂τxy				∂σy
			+			= − fy
	∂x				∂y

а для осесимметричных задач:

1 ∂				(rσr )	+	∂τrz			= − fr
				∂r		∂z
r										,
			∂	(rτrz )				∂σz
1							+			= − fz
				∂r					∂z
r

где ƒx, ƒy и ƒz, ƒr - компоненты вектора плотности объемной силы.

Соотношение между напряжениями и деформациями при упругом поведении материалов выражается зависимостью:

{σ} = [D]({ε}− {ε0 }),

Задачи теории упругости

181

где [D] - матрица упругости, и {ε0} - начальная термическая деформация, вызванная перепадом температур. Вид матрицы зависит от применяемой постановки.

Матрица упругости для плоского напряженного состояния (изотропный материал):

										ν						0
				E			1
[D] =							ν		1							0					;
		1 − ν2										1
																− ν
							0		0
																2
плоские напряжения, ортотропный материал:
				1			−			νyx						0		−1
				Ex						Ey
[D]=					νyx				1
	−															0					;
					Ey				Ey
																1
				0					0
																Gxy
плоские деформации в изотропном материале:
																1						ν			0
																					1 − ν
					E(1 − ν)											ν
[D] =																					1				0			;
	(1																ν
				+ ν)(1 − 2ν) 1 −																			1		− 2	ν
																0					0
																								2(1 −		ν)

плоские деформации в ортотропном материале:

1

−

νzx2

−

νyx

−

νzxνzy

0

−1

Ex

Ez

Ey

Ez

νyx

νzxνzy

1

νzy2

[D]= −

−

−

0

;

Ey

Ez

Ey

Ez

1

0

0

G

xy

Eθ

0

Er

νθz

νrz

182 Глава 9 Теоретическое описание

осесимметричная задача, изотропный материал:

1

ν

ν

0

1 − ν

1 −ν

ν

ν

E(1 − ν)

1

0

−

ν

1 −

ν

[D] =

1

;

ν

ν

(1

+ ν)(1 − 2

ν)

1

0

− ν

1 − ν

1

1 − 2

ν

0

0

0

2(1 −

ν)

осесимметричная задача, ортотропный материал:

1

Ez−

[D]=

−

−

ν

rz

−

νθz

0

−1

Er

Eθ

1

−

νθr

0

Er

Eθ

.

νθr

1

−

0

Eθ

Eθ

1

0

0

G

zr

В этих формулах E - модуль Юнга в изотропном случае; Ex, Ey, Ez, Er, и Eθ - модули Юнга в направлении соответствующих осей в материале с ортотропными свойствами; ν - коэффициент Пуассона изотропного материала; νyx, νzx, νzy, νrz, νθz, νθr - коэффициенты Пуассона для указанных пар осей в ортотропном случае; Gxy или Gzr - модуль сдвига.

Температурные деформации

Температурная (начальная) деформация материала определяется коэффициентами линейного расширения и изменением температуры относительно температуры недеформированного состояния. Составляющие начальной деформации для плоского напряженного состояния и изотропного материала определяются соотношением:

α

{ε0 } = α ∆T ;0

Задачи теории упругости

183

плоское напряженное состояние, ортотропный материал:

αx {ε0 } = αy ∆T ;

0

плоские деформации, изотропный материал:

α {ε0 } = (1 + ν) α ∆T ;

0

плоские деформации, ортотропный материал:

	αx	+νzx	αz
{ε0		+νzy
	}= αy		αz ∆T ;
		0

осесимметричная задача для изотропного материала:

αα

{ε0 } = α ∆T ;0

осесимметричная задача для ортотропного материала:

αzα

{ε0 } = αr ∆T ,θ0

где α - коэффициент линейного расширения в изотропном материале; αx, αy, αz, αr, αθ - коэффициенты линейного расширения в направлении соответствующих осей в ортотропном материале; ∆T - перепад температуры между деформированным и недеформированным состоянием.