ртцис

101

2.Теоремы о спектрах устанавливают взаимно однозначное соответствие между изменениями сигналов во временной области и преобразованиями их спектров в частотной. Таким образом, существует по крайней мере два пути анализа сигналов, что позволяет, во-первых, исключить промах, во-вторых, выбрать кратчайший способ решения задачи и избежать громоздкости выкладок. Кроме того, частотный подход к анализу сигналов связан с использованием того же математического аппарата, который применяется при анализе цепей.

3.Линейные преобразования сигналов сопровождаются перераспределением энергии между существующими спектральными составляющими. Например, при дифференцировании сигнала по времени происходит перераспределение энергии в сторону высоких частот, при интегрировании – наоборот.

4.Задержка произвольного сигнала во времени не связана с изменением энергетических соотношений. Это идеальное математическое преобразование, т.к. его реализация на практике зависит от физических возможностей обеспечения одинаковой задержки всех спектральных составляющих на всех текущих частотах.

5.Центральное положение среди линейных преобразований занимает свертка сигналов во времени, при которой в частотной области происходит перемножение спектральных плоскостей.

6.При нелинейных преобразованиях сигналов в частотной области, кроме уже существующих спектральных составляющих, возникают новые, в другой области частотной оси. Другими словами, можно сказать, что нелинейные преобразования сопровождаются переносом части энергии из одной области частотной оси в другую.

102

5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

5.1 Двустороннее преобразование Лапласа

С помощью преобразований Фурье, несмотря на полезную работу дельта – функций , не удается проанализировать экспоненциальные сигналы вида:

s(t ) = e±α t , − ∞ <t < ∞.

(5.1)

Кроме того, применение преобразований Фурье для анализа линейных электрических цепей и прохождения сигнала произвольной формы представляет большие, подчас непреодолимые математические трудности. Сигналы, как правило, разрывные, а дифференциальные уравнения электрического равновесия имеют достаточно высокий порядок. Это приводит к n-кратному дифференцированию дельта–функций и последующему применению начальных условий для отыскания решения. Эти проблемы устраняются с переходом от действительной частоты ω, меняющейся в бесконечных пределах, к комплексной частоте p , характеризующейся своим положением в p - плоско-

сти. Рассмотрим переход от действительной частоты ω к комплексной частоте p .

	s(t)	s+(t)
s-(t)		s(t ) =	s+(t ) , 0 ≤t < ∞				(5.2)
			s−(t ) , 0			≥t > −∞.
	0	t		−c1t
	η(t)	η(t ) = e			, 0	≤t < ∞	(5.3)
e−с2t	e−с1t
			e−c2t , 0 ≥t > −∞.
	0	Здесь c1 >0 , c2 <0 .
		t

Рисунок 5.1−Произвольный сигнал s(t ) и вспомогательная функция η(t )

Перемножим произвольный сигнал s(t ) и вспомогательную функцию η(t ) (рисунок 5.1). Результирующий сигнал s(t )η(t ) будет удовлетворять ус-

ловиям Дирихле (3.31) и (3.32) для любых неинтегрируемых сигналов (в том числе и экспоненциальных), т.к. число c можно выбрать сколь угодно большим, но конечным. Применим к сигналу s(t) η(t) прямое преобразование

Фурье.

103

+

−

c

t

0

−(c

+ jω)t

∞

−(c + jω)t

Ф s(t )e

=

∫s−(t )e

2

dt +

∫s+(t )e

1

dt .

−∞

0

S&(c + jω)

S&

−

(c + jω)

S&

+

(c + jω)

2

1

S&(c + jω) =S&−(c2 + jω) + S&+(c1 + jω) .

(5.4)

Обозначая c + jω = p , c1 + jω = p1, c2 + jω = p2 , получим двустороннее

преобразование Лапласа, состоящее из двух односторонних:

S ( p) =S −( p2 ) + S +( p1) .

(5.5)

Правостороннее преобразование Лапласа определяется для положи-

тельных времен на интервале интегрирования от 0 до ∞:

∞

S +( p1 ) = ∫s(t )e−p1t dt .

(5.6)

0

Левостороннее преобразование Лапласа определяется для отрицатель-

ных времен на интервале интегрирования от − ∞ до 0 :

0

S −( p2 ) = ∫s(t )e−p2t dt .

(5.7)

−∞

Новые функции S ( p) , S +( p) ,

S −( p) называются изображениями по

Лапласу. S ( p)

− результат двустороннего преобразования Лапласа. S +( p) и

S −( p) − результаты односторонних преобразований. Изображение по Лапласу рассматриваются в p − плоскостях. Представленные на рисунке 5.2 p − плоскости характеризуется декартовыми осями координат. Ось ординат – мнимая Im( p) = jω , ось абсцисс – действительная Re( p) = c .

jω jω jω

c2

0 c1

с

0 c1

с

c2

0

с

а) c1 > Re( p) > c2	б) Re( p) < c1	в) Re( p) > c2
−∞ <t < ∞	∞ >t > 0	− ∞ < t < 0

Рисунок 5.2 − а) p − плоскость двустороннего преобразования Лапласа,

б) и в) p − плоскости односторонних преобразований Лапласа

104

Если Re( p) равна нулю, то комплексная частота p равна чисто мнимой величине jω, и двустороннее преобразование Лапласа переходит в преобра-

зование Фурье. Таким образом, преобразование Лапласа можно рассматривать как обобщение преобразований Фурье.

Зная изображение сигнала по Лапласу S ( p) , можно восстановить сигнал s(t ) подобно тому, как это делается по Фурье.

Проведем рассуждения для правостороннего преобразования Лапласа.

s+(t )e−c1t =

1

∞

∫S&(c1 + jω)e jω t dω .

2π

−∞

Выполняем замену переменных p1 = c1 + jω .

s+(t)e−c1t =

1

∞

jω)e( jω+c1 )t e−c1t

d ( jω + c

)

∫ S&(c1 +

1

=

2π

j

−∞

1 c1

+ j∞

dp

=

∫ S( p1)e p1t e−c1t

1

.

2π

c

j

− j∞

1

Сокращая правую и левую части на функцию e −c1t , получим обратное преобразования Лапласа:

		c	+ j∞
s+(t ) =	1	1	∫S ( p1)e p1t dp1 ,
	2πj	c		(5.8)
			− j∞
		1

где p1 = c1 + jω , Re( p) < c1.

Проведя аналогичные рассуждения для левостороннего преобразования Лапласа, запишем:

		c	+ j∞
s−(t ) =	1	2	∫S ( p2 )e p2t dp2 ,
	2πj			(5.9)
		c2 −j∞

где p2 = c2 + jω , c2 <Re( p) .

Объединяя выражения (5.8) и (5.9), получим двустороннее обратное преобразование Лапласа.

s(t ) = s+(t ) + s−(t ) =

	1	c	1	+ j∞	1	c	2	+ j∞	(5.10)
=				∫S( p1)e p1t dp1 +				∫S( p2 )e p2t dp2.
	2πj	c			2πj	c
			1	− j∞			2	− j∞

105

Замечание. В специальной литературе двустороннее преобразование Лапласа применяется без пояснительных индексов. Прямое двустороннее преобразование Лапласа:

			∞		0
	S ( p) = ∫s(t )e−pt dt + ∫s(t )e−pt dt .
			0		−∞
Обратное двустороннее преобразование Лапласа:
		1	c+ j∞
s(t ) =				∫S ( p)e pt dp .			(5.11)
		2πj
			c− j∞
Изображение S ( p) чаще всего представляет собой дробно-
рациональную функцию	A( p)				. Корни уравнения	B( p) =0	, называемые
		B( p)

полюсами, в общем случае являются комплексными: pk =αk + jωk .

Знак реальной части Re( pk ) однозначно определяет тип односторонне-

го преобразования Лапласа. Если реальные части всех полюсов имеют одинаковые знаки, то имеет место одностороннее преобразование Лапласа, если разные – то двустороннее.

На рисунке 5.3. изображено расположение полюсов в трех p - плоско-

стях полюсов.
	jω		jω		jω
-α+jω0	α+jω0		-α+jω0		α+jω0
-β		с	-β
	β		с1 с	с2	β с
-α-jω0	α-jω0		-α-jω0		α-jω0
	а)		б)		в)

Рисунок 5.3 − Расположение полюсов в двустороннем (а), правостороннем (б), левостороннем (в) преобразовании Лапласа

Большее распространение получила запись выражения (5.11) в форме криволинейного (или контурного) интеграла комплексной переменной p :

s(t) = 21πj ∫l S( p)e pt dp ,

106

где l − обозначает контур, изображенный на рисунке 5.2а двойной штриховкой (контур лежит в пределах области сходимости c1 >Re( p) > c2 ).

Двустороннее преобразование Лапласа универсально. Возможностями двустороннего преобразования во всей их полноте пользуются довольно редко (анализ электромагнитных полей, решение краевых задач, расчет характеристик стационарных и случайных нестационарных процессов и т.д.). Большинство задач при расчетах цепей, анализе систем и сигналов решаются в рамках одностороннего преобразования Лапласа. Наиболее широко применяется правостороннее преобразование Лапласа для изучения переходных процессов, поскольку последние равны нулю при t < 0 (так как отклик не может опережать воздействие).

5.2 Свойства правостороннего преобразования Лапласа

5.2.1 Основные определения

Прямое и обратное преобразования Лапласа (ППЛ и ОПЛ) связаны между собой парой интегральных преобразований:

		∞
	S ( p) = L+[s(t )]= ∫s(t )e−pt dt ,			(5.12)
	0
	s(t ) = L−[S ( p)]=	1	c+ j∞
			∫S ( p)e pt dp .	(5.13)
		2πj
			c− j∞

Сравнивая (5.6) и (5.12), а так же (5.8) и (5.13), отмечаем, что преобразования Лапласа формально не изменились, за исключением того, что в обозначениях опущены индексы. Преобразования Лапласа устанавливают взаимно однозначное соответствие между оригиналами s(t ) и изображениями

S ( p) .

Сигнал s(t ) называется оригиналом, если выполняются три условия: 1) сигнал s(t ) односторонний, т.е.

s(t ) = f (t )σ(t ) ;

2) сигнал s(t ) увеличивается с ростом t не быстрее, чем s(t ) <Me c0t ,

где M >0 − любое конечное число, c0 ≥0 - показатель роста;

3)сигнал s(t ) может иметь разрывы первого рода, причем, количество разрывов конечно на каждом интервале конечной длины.

107

Замечание. К пространству оригиналов нельзя отнести разрывную

функцию f (t ) = 1	или функцию	f (t ) = et2	, т.к. они не удовлетворяют ука-
t
занным условиям.			функция S ( p) называется изо-
Аналитическая дробно-рациональная
бражением, если для произведения		pnS ( p)	справедливо предельное соотно-
шение вида:

	lim S ( p) =0 , где n =0 .	(5.14)
	Re p→∞

Выполняя в (5.12) интегрирование по частям и переходя к пределу при Re p →∞, получим для произвольного значения n ≥1:

lim pS ( p) = lim s(t ) ,

Re p→∞ t →+0

lim p2S ( p)

Re p→∞

lim pnS ( p)

Re p→∞

= lim		d	s(t ) ,		(5.15)
	t →+0 dt
=	lim	d n−1		s(t ) .
	t →+0 dt n−1

Свойства (5.14) (5.15) помогают установить, что та или иная функция аргумента p не представляет собой результат преобразования Лапласа от не-

которого исходного оригинала.

5.2.2 Сложение сигналов

L+	∑si (t ) = ∑L+[s(t )]= ∑Si ( p) .					(5.16)
		i		i	i

Сложению оригиналов соответствует сложение изображений.

5.2.3 Изменение масштаба времени

∞

L+[s(at )]= ∫

0

		∞	p
s(at )e−pt dt =	1		−		at	1		p
			s(at )e a		d(at ) =					(5.17)
							S		.
	a ∫					a
							a
		0

Умножение параметра t на константу a >0 в области оригиналов приводит к делению параметра p на константу a >0 в области изображений.

108

5.2.4 Сдвиг во времени

		∞
	L+[s(t −tз)]= ∫s(t −tЗ )e−pt dt =
	∞	0	(5.18)
		−з(t −tз +tз )d(t −tз ) =S (p)e
			−ptз .
	= ∫s(t −tз )e
	0

Замена переменных в оригинале t −tз вызывает умножение изображения на экспоненциальную функцию e−ptз ( оператор сдвига ).

5.2.5 Умножение оригинала на экспоненциальную функцию

L+[s(t )e−αt ]= ∞∫s(t )e−αt e−pt dt =∞∫s(t )e−(α+ p)t dt =S ( p +α) .

0

0

Умножению оригинала на экспоненциальную функцию e−αt вует замена переменных в изображении S ( p +α) .

(5.19)

соответст-

5.2.6 Дифференцирование оригинала

Перед доказательством следует уточнить, о дифференцировании какой функции идет речь. Оригиналом называется односторонний сигнал, полученный в результате перемножения произвольной функции s(t ) и единичного

скачка σ(t ) . Дифференцированию подвергается функция s(t ) (а не произведение s(t )σ(t ) ) в предположении, что она непрерывно дифференцируема на отрезке (0,∞) . Требуется определить изображение оригинала вида

′			′
s (t )σ(t ) (при условии, что s (t )σ(t ) обладает свойствами оригинала).
		∞				∞
L+[s′(t )σ(t )]= ∫s′(t )e−pt dt =s(t )e−pt					∞0 −(−p)∫s(t )e−pt dt =
		0				0
		= − lim	s(t ) + pS ( p) = pS ( p) − s(0) , откуда
		t →+0
L	+	′				s(t )	(5.20)
		[s (t )]= pS ( p) − s(0) , где s(0) = lim
					t →+0
			или s(0) = lim			pS ( p) .
					p→∞

109

Повторное дифференцирование приводит к следующим результатам:

L

+

′′

=

p

2

S ( p)

−

ps(0)

−

′

(5.21)

[s (t )]

s (0) ,

где

′

=

lim s(t ) = lim p

2

S ( p) .

s (0)

t

→+0

p→∞

Выполним n−кратное дифференцирование оригинала:

L+[S (n) (t )]= pnS ( p) − pn−1s(0) −...... − p0s(n) (0) .

(5.22)

Достоинством одностороннего преобразования Лапласа является “автоматический учет” ненулевых начальных условий. При n−кратном дифферен-

цировании оригинала происходит умножение изображения на pn и прибав-

ление дополнительных слагаемых pn−m s(m ) (0) , отражающих ненулевые начальные условия.

5.2.7 Дифференцирование изображения

	[S′( p)]=	1	c+ j∞			1
−			∫S′( p)e	pt
L					dp =		S(
		2πj c− j∞				2πj

		c + j∞	c+ j∞
p)e	pt		−t ∫S( p)e	pt	dp		= (−t)s(t) .
		c − j∞
			c− j∞

L

−

′

=

−

(5.23)

[S ( p)]

( t )s(t ) .

Выполнение n−кратного дифференцирования изображения вызывает

умножение оригинала на параметр (−t )n .

L

−

[S

(n)

( p)]

=

−

n

s(t ) .

(5.24)

( t )

5.2.8 Интегрирование оригинала

t

∞t

t

1

∞

1

∞

S( p)

L+ ∫s(τ)dτ

= ∫∫s(τ)dτe− pt dt = ∫s(τ)dτ

e− pt

∫s(t)e− pt dt =

.

0 +

− p

p

p

0

0 0

t

0

0

0

+

S ( p)

L

∫s(τ)dτ

=

.

(5.25)

p

0

Выполнение n-кратного интегрирования оригинала приводит к делению

изображения на параметр pn .

t

x

S ( p)

L+

....

∫

s(τ)dτ

=

.

(5.26)

∫

pn

0

0

110

В таблице 5.1 (стр. 116) в компактной форме представлены свойства преобразований Лапласа.

5.2.9 Интегрирование изображения

Нетрудно показать, что интегрированию изображения соответствует деление оригинала на параметр t .

		∞		s(t )
	L−	∫S (z )dz =			.	(5.27)
		p		t

Однако, применять это правило можно лишь в том случае, если ориги-

налом является не только функция s(t ) , но и функция s(tt ) , т.е.

		lim	s(t )		≠ ∞.
			t
		t →+0
5.2.10 Свертка оригиналов
L+[s (t ) s (t )]= ∞t					s (τ)s (t −τ)dτe−pt dt =
	1	2	∫∫		1	2
t		∞	0 0			t
= ∫s1(τ)∫s2 (t −τ)e−pt dtdτ =S2 ( p)∫s1(τ)e−pτ dτ ,
0		0				0
		S2 ( p)e−pτ				S1( p) при t →∞
L+[s1(t ) s2 (t )]= L+[s2 (t ) s1(t )]=S1( p)S2 ( p) .							(5.28)
5.2.11 Свертка оригиналов, один из которых является производной
Полагая					′
	s1(t ) = s(t ) , s2 (t ) = h (t ) , получим

∞t

L+[s(t ) h′(t )]= ∫∫s(τ)h′(t −τ)dτe−pt dt =

0 0

t∞

=∫s(τ)∫h′(t −τ)e−pt dtdτ =S ( p)[pH ( p) − h(0)].

0 0

[pH ( p) − h(0)]e−pτ

Дифференцирование одного из сворачиваемых оригиналов h(t ) приводит к следующим преобразованиям в области изображений: