ртцис

1

1

2

e

−α t

σ(t )

2ω p

t sin(ωt )σ(t )

( p +α)3

( p2 +ω2 )2

2 t

p

α

p2 −ω2

t 1

−

t e−α tσ(t )

t cos(ωt )σ(t )

( p +α)3

2

( p2 +ω2 )2

(βe−β t

−αe−α t )σ(t )

1

1

1

1 −e−λ t σ(t )

p

p( p +λ)

( p + β)( p +α)

β −α

λ

(

)

(βe−α t −αe−β t ) σ(t )

1

1

(e−β t −e−α t )σ(t )

1

1

1

+

1

( p +α)( p + β)

α − β

p( p + β)( p +α)

αβ

α − β

α2

α −

(1

−

e

−α t

σ

p +γ

(γ −α)e−α t −(γ − β)e−β t

σ(t )

p2 ( p +α)

[ t

)] (t )

( p +α)( p + β)

β −α

ω

2Ωωp

sin(ωt )σ(t )

[p2 +(ω +Ω)2 ] [p2

+(ω −Ω)2 ]

sin Ωt sin ωtσ(t )

p2 +ω2

p

p(p2 +ω2 +Ω2 )

cos(ω ± Ω)tσ(t )

[p2 +(ω +Ω)2 ] [p2

+(ω −Ω)2 ]

cos Ωt

cos ωtσ(t )

p2 +(ω ±Ω)2

( p2 +2ω02 )

cos 2

(ω0t )σ(t )

Ω(p2 −(ω2 −Ω2 ))

sin Ωt

cos ωtσ(t )

[p2 +(2ω0 )2 ]

p

[p2 + (ω + Ω)2 ] [p2

+(ω −Ω)2 ]

2ω02

sin 2

(ω0t )σ(t )

ω(p2 + (ω2 −Ω2 ))

cos Ωt sin ωtσ(t )

[p2 +(2ω0 )2 ]

p

[p2 + (ω + Ω)2 ] [p2

+(ω −Ω)2 ]

131

Таблица 5.4 − Сигналы и изображения по Фурье и Лапласу

Сигнал (оригинал) s(t)

Изображение по Фурье

Изображение по Лапласу S(p)

S&(ω)

1

s(t)=δ(t)

s(t)

t

S&(ω) =1

S ( p) =1

0

s(t)

1

S ( p) =

1

2

s(t)=σ(t)

S&(ω) =πδ

(ω)+

1

p

0

t

jω

s(t)

1

S ( p) =

1

(e pτ / 2 − e − pτ / 2 )=

s(t )=

1,| t |≤τ / 2

S&(ω)=τ

sinωτ

2

p

pτ

sh

3

ωτ

0,| t |>τ / 2

2

=

2

sh

pτ

2 =τ

2

τ

0

τ

t

−

2

p

pτ

2

2

S( p)

=

1

(e−pτ / 2 −2 +e pτ / 2 )=

s(t)

p

1,0 ≤t ≤τ / 2

τ

sin

2

ωτ

1

p

τ

−p

τ

2

1

4

4

s(t )= −1,0 ≥t ≥τ / 2

2

&

(ω) = jτ

4

=

e

−e

=

4

S

ωτ

p

−τ

0

t

4

≥τ

/ 2

0,| t |

2

4

2 pτ

sh2 pτ

4

= p sh

4 =τ

pτ

4

132

		s(t)					1		1
					1
		s(t )=e−α tσ(t)				S&(ω) =		S ( p) =
	5						α + jω		p +α
			0		t

		s(t)				1		1
	s(t)		&	jπδ	′		S ( p) =
		= σ	S(ω) =
					(ω) −
6		t (t)				ω2		p2
		0	t

s(t)

S&(ω) =

1

S ( p) =

1

7

s(t )=te−α tσ(t)

(α + jω)2

(p +α)2

0

t

S&(ω) =

ωo2

s(t)

2

+

jω(ωo2 −ω2 )

ωo2

8

s(t )=(1 −cosω

t )σ(t)

+πδ ω

)

−

1

πδ ω −ω

o )

−

S ( p) =

0

To

2To

t

(

2

(

p( p

2

2

0

1

(ω +ωo )

+ωo )

−

πδ

2

133

Таблица 5.5 − Сигналы и изображения по Фурье и Лапласу (продолжение)

Сигнал (оригинал) s(t)

Изображение по Фурье

Изображение по Лапласу S(p)

S&(ω)

ω0

ωo

s(t )=σ(t)sinωot

s(t) 1

S&(ω) = (jω)2 +ωo2

−

S ( p) =

p2 +ωo2

1

0

t

−

1

π[δ(ω +ωo )−δ(ω −ωo )]

2 j

s(t)

1

ωo

ωo

s(t )= e−αtσ(t )sinωot

S&(ω) =

S ( p) =

2

0

t

(α + jω)2 +ωo2

(p +α)

2

2

+ωo

s(t)

1

S&(ω) =

jω

+

2

2

p

s(t )=σ(t )cosωot

( jω)

+ωo

S ( p) =

3

0

t

+

1 π[δ(ω +ωo )+δ(ω −ωo )]

p2 +ωo2

2

s(t)

1

S&(ω) =

jω +α

2 +ωo2

( jω +α)

p +α

4

s(t )= e−αtσ(t) cosωot

0

t

S ( p) = (p +α)2 +ωo2

134

| t |

τ

2

−pτ / 2

pτ / 2

)=

1 −

,| t |≤

s(t)

1

sinωτ

2

S( p) =τp2 (e

−2 +e

τ

/ 2

2

τ

4

5

s(t )=

S&(ω)=

2

τ

2

ωτ

2 pτ

0,| t

|>

−τ/2

0

τ/2 t

4

=

8

sh

2 pτ

=

τ

sh

4

2

τp

2

4

2

pτ

4

T

s(t)

1

S ( p) =

ωo

(e pTo / 4 +

p2 +ωo

cosωot,| t |≤

o

2ωo

ωT

4

S&(ω) =

cos

s(t )=

To

o

4

+ e−pTo / 4 )=

2ωo

ch pTo

6

ω02 −ω2

4

0,| t |>

−T /4 0

T

/4 t

p2 +ω2

4

o

o

o

s(t )=

1

[δ(t +to )+

s(t)

S&(ω) = cosω to −1 =

S ( p) =

1

(e pto

−2 +e− pto )=

2

2

7

= −2sin

2 ω to

= 2sh2 pto 2

+δ(t −to )−2δ(t)]

−to 0

to

t

2

To

s(t)

2

pTo

1+cosω

t,| t |≤

2

S( p) =

ωo

e

−

o

2

2

p( p

2

2

s(t )=

&

2ω02

2 sin

ωT

+

ωo )

o

8

To

S(ω) =

2

2

pTo

2

0,| t |>

ω ω

−

ω

(

0

)

−

2ωo

pTo

2

−e

2

=

sh

2

2

−To/2 0

To/2 t

p( p

2

+ωo )

135

136

6 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

ИИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

6.1Математическое описание линейной электрической цепи (ЛЭЦ)

Система называется линейной, если сигналы в ней подвергаются линейным преобразованиям. Линейные системы отличаются тем, что хотя бы теоретически можно решить любую задачу о преобразовании сигнала такой системой.

Линейная система состоит из линейных функциональных блоков и простейших линейных элементов, математические модели которых приведены в таблице 6.1.

Токи i(t)и напряжения u(t) в элементах электрической цепи и сигналы на входе x(t)и выходе y(t) функциональных блоков связаны между собой ли-

нейными интегрально-дифференциальными уравнениями либо линейными алгебраическими уравнениями в зависимости от способов описания сигналов.

При анализе работы ЛЭЦ учитывают законы Кирхгофа и ограничения, обусловленные физической природой изменения токов и напряжений. Ток в катушке индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скач-

ком
i(−0) =i(+0) и u(−0) =u(+0) .	(6.1)

Первый закон Кирхгофа для токов: алгебраическая сумма направленных токов, притекающих к любому узлу цепи, равна нулю

N
∑in (t)= 0 .	(6.2)

n=1

Второй закон Кирхгофа для напряжений: алгебраическая сумма направленных напряжений вдоль любого замкнутого контура цепи равна нулю.

N	M
∑un (t)+ ∑υk (t)= 0 .		(6.3)
n=1	k =1
Соответственно и	методы анализа влияния внешнего	воздействия

υk (t)на линейную цепь разделяются на метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

137

Таблица 6.1 – Математические модели элементов линейной электрической цепи (ЛЭЦ)

Линейный	элемент	Преобразования мгно-	Преобразования		ком-
электрической цепи		венных значений произ-	плексных	амплитуд
		вольных сигналов	гармонических сигналов
			(или спектральных ха-
			рактеристик сигналов)

u(t)

i(t)

R

i(t)=u(t)R

I&m =U&m R

Сопротивление

u(t)= R i(t)

U&m = R I&m

du(t)

u(t) i(t) C

i(t)= C

I&m = jωC U&m

dt

Емкость

u(t)=

1

t

U&m = I&m

jωC

C

∫i(τ)dτ

−∞

t

u(t)

i(t) L

i(t)=

1 ∫u(τ)dτ

I&

=U&m

jωL

L

−∞

m

di(t)

U&m = jωL I&m

Индуктивность

u(t)= L dt

x(t)

A

y(t)

y(t)= A x(t)

Y&(ω)= A X&(ω)

Масштабный усилитель

y(t)= ∫x(τ)dτ

Y&(ω)= j1ω X&(ω)

x(t)

∫

y(t)

t

Интегратор

−∞

x(t)

T

y(t)

y(t)= x(t −T )

Y&(ω)= X&(ω) e− jωT

Элемент задержки

x1(t)

∑ y(t)

y(t)= x

(t)+ x

2

(t)

Y&(ω)= X&

1

(ω)+ X&

2

(ω)

x2(t)

1

Сумматор

138

На основании первого и второго законов Кирхгофа составляется линейное дифференциальное уравнение электрического равновесия, которое связывает между собой мгновенные значения сигналов на входе x(t) и выходе

y(t) линейной цепи

α

n

d n

[x(t)]+α

n−1

d n−1

[x(t)]+K+α

d

[x(t)]+α

o

x(t)=

dtn

dtn−1

1 dt

(6.4)

d m

[y(t)]+ β

d m−1

[y(t)]+K+ β

d

[y(t)]

= β

m

m−1

+ β

o

y(t),

dtm

dtm−1

1 dt

где αn и βm - постоянныекоэффициенты, выражающиесячерезпараметрыцепи.

Пример 6.1
x(t)							y(t)
			∑			∫
		A

T

Рисунок 6.1 Для цепи, изображенной на рисунке 6.1, уравнение электрического рав-

новесия имеет вид

t t

∫A x(τ)dτ + ∫y(τ −T )dτ = y(t),

	−∞	−∞
	A x(t)=	d	y(t)− y(t −T ).
		dt

Получено дифференциальное уравнение первого порядка.

Пример 6.2

Для цепи, изображенной на рисунке 6.2, составление уравнения электрического равновесия можно разбить на 4 этапа.

		C
	R
x(t)	u(t)	− K	y(t)

Рисунок 6.2

139

1) Обойдем внешний контур ЛЭЦ по второму закону Кирхгофа. При составлении уравнения учтем, что ток i(t) через емкость равен току, проте-

кающему через сопротивление R , так как входной ток масштабного усилителя равен нулю из-за бесконечного входного сопротивления.

		1	t
	y(t)= x(t)−i(t) R −		∫i(τ)dτ .
		C
			−∞

2) Обходя входной контур ЛЭЦ, выразим напряжение u(t) на входе масштабного усилителя и ток i(t) через резистор

u(t)= x(t)−i(t) R , i(t)= R1 [x(t)−u(t)].

3) Учитывая свойства масштабного усилителя, свяжем между собой напряжения на входе и выходе

y(t)= −K u(t) или u(t)= − K1 y(t). 4) Составим уравнение электрического равновесия

1

1

t

1

1

y(t)= −

y(t)−

∫

x(τ)+

y(τ)

dτ ,

K

C

KR

R

t

−∞

t

K +1

1

y(τ)

1

y(t)+

∫

dτ

= −

∫x(τ)dτ ,

K

K

RC

RC

−∞

−∞

K +1

dy(t)+

1

y(t)

= −

1

x(t).

K

RC

RC

dt

K

Получено дифференциальное уравнение первого порядка. Если коэффициент передачи К масштабного усилителя много больше единицы, например К=100, то предыдущие уравнения упрощаются к виду:

t

y(t)= − 1 ∫x(τ)dτ , RC −∞

dydt(t)= − RC1 x(t).

140

Пример 6.3

В заключение рассмотрим цепь, изображенную на рисунке 6.3 .

u1(t)	u2 (t)= y(t)
1	2
x(t)	y(t)

Рисунок 6.3

Запишем уравнение Кирхгофа для двух обозначенных узлов. 1) Для токов, вытекающих из первого узла, получим

t

L1 −∫∞[u1(τ)− x(τ)]dτ + R1 u1(τ)+ R1 [u1(t)− y(t)]= 0 .

2) Для токов, вытекающих из второго узла, найдем

	1	[y(t)−u	(t)]+	1		t	y(τ)dτ = 0
						∫		,
	R			L
		1

−∞

t

u1(t)= y(t)+ RL ∫y(τ)dτ .

−∞

3) Составляем уравнение электрического равновесия

3R

t

2

t t

R

t

y(t)+

∫y(τ)dτ +

R

∫ ∫y(τ)dτ =

∫x(τ)dτ ,

2

L

L

−∞

L

−∞−∞

−∞

d 2

y(t)+ 3 R

d

y(t)+ R2

y(t)=

R

d

x(t).

dt 2

dt

L

L

L2

dt

Получено дифференциальное уравнение второго порядка.