ртцис

31

Умножим и разделим правую часть уравнения (1.53) на к пределу при ∆τ →0 :

			∞	rect(t − n∆τ)
	s(t) =	lim	∑ s(n∆τ)			∆τ .
					∆τ
		∆τ→0 n=−∞

∆τ и перейдем

(1.54)

Дискретный параметр n∆τ при изменении n в бесконечных пределах и ∆τ →0 преобразуется в непрерывный параметр τ . Малая длительность импульса ∆τ переходит в качественно новый параметр – бесконечно малое

	приращение аргумента dτ .	rect(t − n∆τ)
	lim		=δ(t −τ) .
		∆τ
	∆τ→0

Пределом суммы по дискретному аргументу n станет интеграл по непрерывному параметру τ :

	∞
	s(t) = ∫s(τ)δ (t −τ)dτ
	−∞
или	(1.55)
	∞
	s(t) = ∫s(t −τ)δ (τ)dτ .
	−∞

Получившееся интегральное преобразование (1.55) называется “сверткой”, для которой можно использовать формальное обозначение s(t) = s(t) δ(t) . Кроме того, преобразование (1.55) иллюстрирует фильт-

рующее свойство δ – функции. Интегральное преобразование (1.55) лежит в основе динамического представления сигнала s(t) с помощью δ – функций.

В выражении (1.55) заменим δ – функцию на производную от функции Хевисайда δ(t −τ) =σ′(t −τ) и, выполняя интегрирование по частям, найдем

∞∞

s(t) = ∫s(τ)σ′(t −τ)dτ =	∫s′(t −τ)σ(τ)dτ .	(1.56)
−∞	−∞

Выражение (1.56) так же, как и (1.55), является сверткой. В (1.56) “сворачиваются” сигнал s(t) с производной от функции Хевисайда либо производная от сигнала s′(t) с функцией Хевисайда:

s(t) = s(t) σ′(t) = s′(t) σ(t) .

На рисунке 1.16 имеется графическая иллюстрация интеграла свертки, анализ которой показывает, что верхний предел интегрирования целесооб-

32

разно заменить на текущий параметр t (полагая рования τ находится внутри параметра t , т.е.

t

s(t) = ∫s′(τ)σ(t −τ)dτ .

−∞

t → ∞). Параметр интегри-

(1.57)

На рисунке 1.17 показано динамическое представление одностороннего (с разрывом в начале координат) сигнала взвешенной суммой функций Хевисайда, смещенных друг относительно друга на интервал времени n∆τ :

N → ∞
scm (t ) = ∑C nσ (t − n∆τ ) .	(1.58)
n =0

Весовой коэффициент Cn зависит от скорости изменения сигнала в момент времени t = n∆τ . Величина скачка прямо пропорциональна прира-

щению сигнала∆sn в точке t = n∆τ , т.е.
Cn = ∆sn = s′(n∆τ)∆τ ,
scm(t) =∆s0σ(t) +∆s1σ(t −∆τ) +...+∆sNσ(t −N∆τ) =		(1.59)
N →∞
= ∆s0σ(t) + ∑∆snσ(t − n∆τ) .
n=1
Переходя к пределу при ∆τ →0 , получим
t
s(t) = s(0)σ(t) + ∫s′(τ)σ(t −τ)dτ .		(1.60)
0
Разрыв в начале координат обозначен как	∆s0 илиs(0).	Выражение
(1.60) называют динамическим представлением	сигнала s(t)	с помощью

функций Хевисайда.

Суть динамического представления заключается в приближённом описании реального сигнала s(t) суммой некоторых элементарных сигналов,

возникающих в последовательные моменты времени. Точное представление исходного сигнала получается в пределе, если длительность отдельных элементарных сигналов стремится к нулю. Динамическое представление подчёркивает развивающийся во времени характер процесса.

			33
s/ (τ)			s(t)	s(t)
			scm(t)
0		τ
σ(−τ)
0		τ
	σ(t −τ)
0	t	τ	0	t
Рисунок 1.16 − Графическое			Рисунок 1.17 − Динамическое пред-
ставление интеграла свертки			представление	одностороннего
			сигнала функциями Хевисайда

1.6 Выводы

Основные операции, которым могут подвергаються сигналы на первом этапе анализа, являются:

а) перемещение во времени; б) интегрирование; в) дифференцирование;

г) взвешенное суммирование; д) определение мгновенного значения;

е) анализ энергии взаимодействия как основной способ сравнения сигналов между собой.

Наиболее универсальными объектами для сравнения в настоящее время являются δ – функция и единичный скачок, которые, как было показано, легко поддаются всем видам преобразований.

Качество аналитического представления произвольного сигнала взвешенной суммой ортогональных элементарных функций зависит от характеристик полного ортогонального набора функций.

34

2 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

2.1 Периодические сигналы и их свойства

В теории и практике радиотехники и радиоэлектроники часто встречаются процессы, которые могут рассматриваться как периодические.

Сигнал s(t ) называется периодическим, если выполняется тождество

s(t )= s(t +T )= s(t + 2T )=... = s(t + kT ),

(2.1)

где T − период; k − любое целое число, положительное или отрицательное; аргумент t меняется в бесконечных пределах.

Периодический сигнал s(t ) с периодом T обладает свойством, состоящим в том, что интеграл от него, взятый на интервале длиной T , не меняется при изменении пределов интегрирования, а именно:

t1	+T	t2 +T	T	T 2
	∫s(t )dt =	∫s(t )dt = ∫s(t )dt =		∫s(t )dt .	(2.2)
	t1	t2	0	−T 2
Периодический сигнал s(t ),			пример которого изображен на рисунке

2.1, может быть представлен бесконечной суммой непериодических сигналов sT (t ), сдвинутых друг относительно друга по закону

				∞
			s(t )	= ∑sT (t + kT ),		(2.3)
				k =−∞
где sT (t ) − описание периодического сигнала в пределах периода T .
	s(t )			sT (t )
	sT (t +T )				sT (t −T )
0			t1		t1 +T	t

Рисунок 2.1 − Периодический сигнал s(t )

Следует помнить, что бесконечной повторяемости явлений в строгом смысле, определяемом выражением (2.1), не существует в действительности. Таким образом, периодические сигналы являются полезной абстракцией, используемой при решении практических задач.

35

2.2 Гармонические колебания (гармоники)

Примером простейшего периодического сигнала является гармонический колебательный процесс

	s	(t)= A	cos(ω t +ϕ )		= A	cosω (t + t		)= A cos			2π	(t + t ).	(2.4)
	1	1	1	1	1	1	1	1			T	1
	Сигнал s1(t), описываемый тригонометрической функцией, часто назы-
вают гармоникой с амплитудой						A1, угловой частотой ω1, фазой колебания
ω t +ϕ , начальной фазой				ϕ	и периодом		T =		2π	.
1	1			1					ω1

Замечание. В математической модели (2.4) знак начальной фазы заключен внутрь символа ϕ1. Таким образом, при ϕ1 > 0 косинусоидальное

колебание смещается влево от нуля, а при ϕ1 < 0 косинусоидальное

колебание смещается вправо от нуля.

Для графического отображения гармонического колебания используют либо временное (рисунок 2.2) либо частотное (рисунок 2.3) представление. Оба представления позволяют однозначно описать гармоническое колебание.

s1(t)	A1
0	t
t1	T1
	A1

0						ω1t
ϕ1	2π

{An}					A1
0	ω1					ω
{ϕn}					ϕ1
0	ω1					ω

Рисунок 2.2 − Временная модель	Рисунок 2.3 − Спектральная модель
гармонического колебания	гармонического колебания

Временным представлением называется отображение гармонического сигнала функцией времени. Спектральным представлением (спектральными диаграммами) называется изображение амплитуд (и фаз) гармонических колебаний в виде отрезков прямых, расположенных на частотной оси в определенных точках. На рисунке 2.3 показано спектральное представление одной гармоники.

36

Среднее значение гармонического сигнала на периоде T равно нулю

		t	+T
	1	1	∫A1 cos(ω1t +ϕ1 )dt = 0 .	(2.5)
	T
			t
			1

Гармоническое колебание s1(t) с произвольной начальной фазой (коле-

бание общего вида) можно представить суммой косинусоидальной (четной во времени) и синусоидальной (нечетной во времени) тригонометрических составляющих с определенными весовыми коэффициентами.

s(t)= A1 cos(ω1t +ϕ1 )= A1 cosϕ1 cosω1t − A1 sinϕ1 sinω1t =									(2.6)
= a1 cosω1t + b1 sinω1t.
Коэффициенты пропорциональности a1, b1 связаны с амплитудой A1 и
начальной фазой ϕ1 следующими соотношениями:
a	= A cosϕ			A	=	a2 + b2
				1		1	1		(2.7)
1	1	1		,	= −arctg		b	.
b1 = −A1sinϕ1				ϕ			1
				1			a1

2.3 Векторное и комплексное представления гармонического колебания

Любому гармоническому колебанию можно поставить в соответствие вектор (на декартовой плоскости с координатами XY ), вращающийся против часовой стрелки со скоростью ω1 (рисунок 2.4 а).

Y

A

t =T

Y

A1

1

4

A cos(ω

)

T

( 1

T

4)

ω

4

+ϕ

а)

1

б)

1

1

1

1

ϕ

+ω

X

ϕ1

A

X

t = 0

1

A1 cosϕ1

Рисунок 2.4 − Векторное представление гармоники

Мгновенное значение s1(t) гармонического колебания получают, спроектировав вращающийся вектор с амплитудой A1 на ось абсцисс (рису-

нок 2.4 б).

37

Для многочисленных приложений удобно представление гармонического колебания в комплексной плоскости (по формуле Эйлера) сигналом Z&(t)

&

(t)

=

ω

+ϕ

1 )

+

ω

1t

+ϕ

1 )

=

A1e

j(ω1t +ϕ1 ) = &

jω1t

,

(2.8)

Z

A1 cos( 1t

jA1 sin(

A1e

где

A&1 = A1e jϕ1 .

(2.9)

В выражении (2.9) комплексный множитель A&

называют комплексной

амплитудой, причем

1

A =

A&

, ϕ

= arg A& .

1

1

1

1

Комплексную функцию e jω1t

называют комплексным вектором вра-

щения (рисунок 2.5 а).

s1(t)

можно представить полусуммой ком-

Гармоническое колебание

плексно-сопряженных сигналов Z&(t) и Z& (t)

s1(t )= A1 cos(ω1t +ϕ1 )= A21 [e j(ω1t +ϕ1 ) + e− j(ω1t +ϕ1 )]=C&1e jω1t + C&−1e− jω1t , (2.10)

где C&1(C&−1)− комплексно-сопряженные коэффициенты;

e jω1t (e− jω1t )− комплексные векторы со встречным направлением вращения (рисунок 2.5 б).

jY

jY

C&−1

ω1

j

b1

a

a1

2

1

а)

б)

2

0

ϕ1

X

0

X

− j

b1

C&

ω1

2

− jb1

A&

ω1

1

1

Рисунок 2.5 − Векторное представление гармонического колебания

в комплексной плоскости с координатами X , jY

Комплексно-сопряженные коэффициенты

C&

и C&

−1

связаны с весовы-

1

ми коэффициентами a1 и b1 следующими соотношениями:

38

C&		= 1		A e jϕ1		=	1 A		(cosϕ		+	j sinϕ )=	1 (a			− jb )
1			2		1		2	1		1		1	2	1			1
				1				1						1				.	(2.11)
					A e− jϕ1
C&	−1		=				=		A	(cosϕ		− j sinϕ	)=		(a		+ jb	)
				2	1			2	1		1	1		2		1	1

Таким образом, описание гармонического колебания можно выполнить разными способами:

s (t)			= A			cos(ω t +ϕ	1	)= a		cosω t + b	sinω t =C&		e jω1t + C&	e− jω1t =
1				1		1			1	1 1	1	1		−1
= 2		C&			cos(ω t + argC&				),					(2.12)
			1			1		1

где A1 = 2 C&1 , ϕ1 = argC&1 = −argC&−1.

Тригонометрической и комплексной моделям сигнала соответствуют два способа спектрального представления, изображенные на рисунках 2.6 и 2.7.

{A }

A1

{C

n

}

n

C−1

C1

0

ω1

ω

−ω

0

ω

{ϕn}

ϕ1

{ϕn}

ϕ1

−ω1

0

ω1

ω

−ω

−ϕ1

0

ω1 ω

Рисунок 2.6 − Спектр гармоники

Рисунок 2.7 − Спектр гармоники

с тригонометрической формой записи

с комплексной формой записи

Замечание. Положительные и отрицательные частоты (рисунок 2.7) позволяют отобразить встречные направления вращения комплексных векто-

ров e± jω1t (рисунок 2.5 б).

2.4 Сложение гармонических колебаний

При сложении двух и более гармоник с одинаковой частотой получают гармоническое колебание с той же самой частотой, но другими амплитудой и начальной фазой (рисунок 2.8).

	39
	A1 cos(ω1t +ϕ1 )
а)	t
0
t1
	b1 sinω1t
б)	t
0
	a1 cosω1t

в)	t
0

Рисунок 2.8 − Графическое представление гармонического сигнала общего вида (а), его нечетной (б) и четной (в) составляющих

Гармонический сигнал sn (t) с амплитудой An ,частотой nω1,начальной фазой ϕn называют высшей гармоникой ( n = 2,4,5...)

sn (t)= An cos(nω1t +ϕn ).

(2.13)

Сложение гармоник с кратными частотами ω1, 2ω1, 3ω1, амплитудами A1, A2 , A3 и начальными фазами ϕ1, ϕ2 , ϕ3 приводит к образованию периодического сигнала сложной формы sΣ(t) с периодом T , равным периоду первой гармоники с частотой ω1. Поэтому

	sΣ(t)= s1(t)+ s2	(t)+ s3	(t)=	(2.14)
	= A1 cos(ω1t +ϕ1 )+ A2 cos(2ω1t +ϕ2 )+ A3 cos(3ω1t +ϕ3 ).

Каждое из слагаемых s1(t), s2 (t), s3(t) характеризует отдельное гармоническое колебание, однако график функции sΣ(t) не является гармониче-

ским.

На рисунках 2.9 и 2.10 приведены временное и спектральное представления периодического сигнала сложной формы sΣ(t).

40

s(t)

A1 cos(ω1t +ϕ1 )

{An}

A1

A

ω

2t

+ϕ

2 )

A2 cos(

2

A cos(ω t +ϕ

3

)

A3

3

3

0

ω1

2ω1

3ω1

ω

{ϕn}

ϕ

ϕ3

ϕ1

2

0

ω1

2ω1

3ω1

ω

Рисунок 2.9 − Сложение гармоник

Рисунок 2.10 − Спектральное

представление

Амплитудным спектром называется совокупность амплитуд {An} гар-

монических колебаний, изображенная в виде отрезков прямых вдоль частотной оси в точках, кратных частоте первой гармоники.

Сложение гармоник только в том случае не приведет к получению периодической функции основного периода первой гармоники T , если частоты высших гармоник находятся на иррациональном отношении (несоизмеримы).

2.5 Энергетические характеристики гармонических колебаний

Если гармоническое колебание sn (t) представляет собой ток или на-

пряжение, то квадрат сигнала sn2 (t) численно равен мгновенной мощности pn (t), выделяющейся на сопротивлении 1 Ом:

pn (t) = sn2(t) .

Энергия n-го гармонического колебания на периоде T = 2π ω1 равна:

	t1	+T		t1	+T
Эn =		∫	sn2 (t )dt =		∫An2 cos2 (nω1t +ϕn )dt =
		t1			t1
t1 +T A2			[1 + cos 2(nω1t +ϕn )]dt =			A2
= ∫		n				n
							T.	(2.15)
	2					2
t1
В выражении		(2.15)		интеграл от		гармонической		функции

cos(2nω1t + 2ϕn ), согласно (2.5), равен нулю, т.к. в интервале интегрирования