ртцис

161

g(t)		h(t)
		1
− 2α	t	0	t
а)			б)
Рисунок 6.11	– Импульсная (а) и переходная (б) характеристики
	последовательного контура

Втаблице 6.5 представлены аналитические выражения передаточных функций и временных характеристик простейших изобразительных цепей.

Втаблице 6.6 показаны модули частотных коэффициентов передачи, а также импульсные и переходные характеристики этих же цепей.

6.5 Выводы

1.В линейной цепи сигналы подвергаются линейным преобразованиям. Мгновенные значения сигналов на входе и выходе ЛЭЦ связаны между собой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

2.Перенос анализа из временной области в частотную приводит к алгебраизации дифференциального уравнения.

3.Частотный коэффициент передачи линейной цепи представляет собой дробно-рациональную функцию частоты и может быть определен как отношение комплексной амплитуды гармонического сигнала на выходе к комплексной амплитуде гармонического сигнала на входе ЛЭЦ.

4.Реакция линейной цепи на воздействие дельта-функции (или единич-

ного скачка) называется временной характеристикой ЛЭЦ − импульсной (или переходной).

5.Частотный коэффициент передачи и импульсная характеристика цепи связаны парой преобразований Фурье.

6.Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению электрического равновесия позволяет определить передаточную функцию ЛЭЦ в операторной форме записи.

7.Переход к операционному исчислению существенно упрощает расчеты временных характеристик. Особенно это проявляется при анализе колебательных цепей.

Таблица 6.5 – Передаточные функции и временные характеристики простейших избирательных цепей

Схема контура

Передаточная

Импульсная

Переходная

функция K(p),

Z(p)

характеристика

характеристика

1

2 pα

g(t)= −

2αωp

[e−α t ×

h(t)=

2α

e−α t sinωсвt σ(t)

C

L

R

K(p)=

2

2

ωсв

ωсв

p

+ 2 pα +ωp

×sin(ωсвt − Ψ)] σ(t)

ω

p

e−α t ×

ω2

h(t)= −

2

C R

L

K(p)=

p2

g(t)=δ

(t)+

p

[e−α t ×

ωсв

p

2 +2 pα +ω2p

ωсв

×sin(ωсвt − Ψ)] σ(t)

×sin(ωсвt − 2Ψ)] σ(t)

ω2p

ω

p

e−α t ×

3

L

R

K(p)=

ω2

h(t)= 1 −

C

g(t)=

p

e−α t sinωсвt σ(t)

ωсв

p

2 +2 pα +ω2p

ωсв

×sin(ωсвt + Ψ)] σ(t)

1

ω

p

4

L

C

(p + 2α) C

g(t)= Rрез

2α ω

p

[e

−α t ×

h(t)= R

рез

1

−

×

Z (p)=

Q2

Q ωсв

2

2

ωсв

R

p

+ 2 pα +ωp

×sin(ωсвt + Ψ)] σ(t)

×e−α t sin(ωсвt + 2Ψ)] σ(t)

Условные обозначения и связь между ними:

1

R

ωp

Q

ωсв

2 2

2

ωp

2Q

ωсв

2

ωp =

, α =

, Q =

, Rрез =

, Ψ = arctg

, ωp =ωсв +α

,

=

,

=

4Q

−1 .

LC

2L

2α

ωpC

α

ωсв

4Q2

α

−1

162

	Таблица 6.6 – Графическое представление частотных и временных характеристик простейших
избирательных цепей			или Z&(ω ωp )
	K&(ω ωp )					g(t)			h(t)
1	K&R (n)				2α	1,46α	1,06α	0,2
		0,406		0,48
	0						t		t
		0,8	1	1,2	ω ωp
2	&				ωp			1
	KL (n) Q	0,33Q		0,58Q
					1
					− 2α		t		t
	0	0,8	1	1,2	ω ωp				163
3	&	0,51Q			ωp
	KC (n) Q			0,4Q
	1							1
	0				ω ωp		t
		0,8	1	1,2					t
4	Z&(n)				2αRрез			1
		рез						ωpC
	R
	Rрез							Rрез
	Q2						t		t
		0,8	1	1,2	ω ωp			Q2

164

7 ПРОХОЖДЕНИЕ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

7.1 Анализ прохождения периодических сигналов через линейные цепи (метод комплексных амплитуд)

Периодический сигнал, проходя через ЛЭЦ, не теряет своей периодической природы, поэтому сигналы на входе и выходе линейной цепи можно представить бесконечной суммой непериодических сигналов, сдвинутых друг относительно друга на период:

	∞
	s(t ) = ∑sT (t + nT )
	n=−∞	(7.1)
	∞
	sвых(t ) = ∑sвыхT (t + nT )
	n=−∞

Применяя для описания сигналов тригонометрическую форму записи ряда Фурье, получим:

	a0		∞
s(t ) =		+	∑			A		cos( nω t +ϕ )
2							n		1	n
			n=1
									∞		(7.2)
		a
sвых(t ) =			o						+ ∑Anвых cos(nω1t +ϕnвых )
			2
					вых				n=−∞

Используем для расчета параметров выходного периодического сигнала метод комплексных амплитуд, считая, что комплексная передаточная функ-

ция K&(ω) известна:

&		&		e	jϕ(nω1)	.	(7.3)
K(nω1) =		K(nω1)

Постоянная составляющая на выходе прямо пропорциональна значению коэффициента передачи при ω =0 . Амплитуды гармонических колебаний умножаются на значения модуля комплексной передаточной функции на частотах ω = nω1 . Начальные фазы гармонических колебаний суммируются со

значениями фазочастотной характеристики ЛЭЦ на частотах ω = nω1 .

a		o			a
				=	o			K (0),
2 вых					2		K&(nω1 )				(7.4)
Anвых =				An						,

ϕnвых =ϕn +ϕ(nω1 ) .

165

Периодический сигнал на выходе ЛЭЦ описывается рядом

		ao	∞
	sвых(t) =		K (0) + ∑An		K&	(nω1 )		cos[nω1t +ϕn +ϕ(nω1 )].	(7.5)
	2		n=1

Частотный метод анализа, использованный в данном случае, позволяет получить ясное представление о том, каким образом изменяется спектр выходного периодического сигнала.

Например, при прохождении периодического сигнала через фильтр нижних частот происходит относительное увеличение амплитуд гармоник в области нижних частот, и энергия выходного сигнала будет сосредоточена в области нижних частот.

Пример 7.1

Произведем сравнительный анализ ширины спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов на входе и выходе интегрирующей RC - цепочки, изображенной на рисунке 7.1 .

Сигнал на входе опишем суммой гармонических колебаний общего вида:

s(t) =

E

+

∞

2Eτ

sin nω1 τ 2

cos(nω t −π

)=

E

+

∞

E sin nπ 2

cos(nω t −π

),

∑

2

∑

2

2

T nω

τ

1

2

nπ

1

n=1

1

2

n=1

2

где T = 2τ .

Найдем комплексную передаточную функцию RC - цепи и ее частотные характеристики АЧХ и ФЧХ.

K&(ω) =				1 jωC				=			1		.
	R			+	1					1 + jωRC
						jωC
Полагая ω = nω1, ω1RC =0.5 , получим:
K&(nω ) =						1			=		1				,
1		1		+ jnω1RC							1 + j0.5n
									1
K&(nω ) =											,
				1		1	+ (0.5n)2

ϕ(nω1) = −arctg0.5n .

Сигнал на выходе RC - цепи определим как сумму гармонических колебаний, амплитуды и начальные фазы которых определяется по формулам

(7.4):

	E	∞	E	sin n	π	2 cos[nω1t −π		− arctg0.5n].
sвых(t ) =		+ ∑					2
	2	n=1	1 + (0.5n)2	nπ 2

Спектральные диаграммы сигналов на входе и выходе ЛЭЦ изобразим на рисунке 7.1.

166

An

a0 2

а)

0

π

2

1

б)

0

π

Anвых2

в)

0

R

s(t)

τ

s(t)

C

sвых(t)

0

T

t

A1

A3

A5

A7

A9

A11

A13

ω1

3ω1

7ω1

11ω1

15ω1

nω1

K(ω) ϕ(ω)

ω

0.9 A1

0.55A3 0.37A5

ω1 3ω1

7ω1

11ω1

15ω1

nω1

π

2

Рисунок 7.1− Прохождение периодического сигнала через ФНЧ: а) спектр прямоугольных импульсов на входе ФНЧ;

б) амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики ФНЧ; в) спектр сигнала на выходе ФНЧ

В таблице 7.1 представим численные значения амплитуд гармоник входного и выходного сигналов.

Таблица 7.1−Спектры амплитуд на входе и выходе ЛЭЦ

n	1	3	5	7	9	11	13
An	1	0.333	0.200	0.143	0.111	0.09	0.077
K (nω1)	0.9	0.555	0.374	0.275	0.217	0.179	0.155
Anвых	0.9	0.185	0.074	0.039	0.024	0.016	0.012

167

Сравнивая скорость затухания спектров по таблице 7.1 и оценивая ширину спектра по пороговому критерию, видим, что полоса выходного сигнала приблизительно в три раза меньше полосы входного.

Рассмотренный метод позволяет исследовать качественные и оценить количественные изменения, происходящие в спектре сигнала.

Однако изучить изменения формы не представляется возможным, т.к. даже бесконечное суммирование гармоник не позволит определить смещение переднего фронта и “завал” вершины импульса.

7.2Операторный метод расчета отклика на выходе линейной цепи при произвольном непериодическом воздействии

Воснове этого метода лежит проведенная в параграфе 6.2 алгебраизация дифференциального уравнения электрического равновесия с помощью прямого преобразования Лапласа. Возвращаясь к привычным обозначениям сигналов на входе s(t ) и на выходе sвых(t ) , перепишем уравнение (6.14) в виде

Sвых( p) = S ( p) K ( p) .

Если передаточная функция цепи K( p) известна, то решение разбива-

ется на 3 этапа:

1) расчет изображения входного сигнала S( p)

S( p) = L [s(t )];

2)расчет изображения выходного сигнала Sвых( p)

Sвых( p) = S( p) K( p); 3) расчет оригинала отклика на выходе ЛЭЦ

sвых(t ) = L−[S ( p) K ( p)].

Если на входе линейной системы действует произвольный непериодический сигнал, меняющий математическое описание несколько раз, то изображение будет представлять собой сумму изображений элементарных составляющих.

При исследовании прохождения сигналов через линейные системы следует помнить о принципе суперпозиции или о принципе независимости действия. Согласно этому принципу, входной сигнал сложной формы можно представлять суммой элементарных воздействий и определять отклик на каждое элементарное воздействие отдельно. Суммирование элементарных откликов даст выходной сигнал.

Следовательно, входной сигнал целесообразно разбивать на элементарные составляющие. Умножение изображения элементарной составляющей входного сигнала Si ( p) на передаточную функцию линейной цепи K( p) по-

зволяет определить изображение элементарной составляющей выходного сигнала Siвых( p) .

168

Обратное преобразование Лапласа позволит перейти от изображения элемента выходного сигнала к оригиналу.

s	(t ) =	1		c+ j∞	S		( p) K ( p) e pt dp .
				∫
iвых		2πj		c− j∞		i

Пример 7.2

На вход цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R и емкости C , подается непериодический сигнал треугольной формы, изображенный на рисунке 7.2 .

Определим аналитическое выражение напряжения на емкости при выпол-

нении условий (ατ =0.25 ,1 ,4) , где α =			1	.
s(t)			RC
		E			R

s(t)

C

sвых(t)

0

τ t

Рисунок 7.2

Аналитическое описание сигнала, изображенного на рисунке 6.5, представляет собой следующее выражение:

	2E	t , 0 ≤t ≤ τ
s(t ) =	τ		2
	2E	(t −τ) ,	τ	≤t ≤τ
	T		2

Изображение входного сигнала по Лапласу найдем, применяя ППЛ.

τ

pτ

2∫

2E

τ

2E

2E 1

(1−2e−

S( p) =

t e−p t dt − ∫

(t −τ) e−p t dt =

2

+e−pτ ).

τ

τ

τ

p

2

0

τ

2

Анализ изображения показывает, что входной сигнал представляет собой взвешенную сумму трех одинаковых сигналов, сдвинутых друг относительно друга во времени.

s(t)

E

Здесь: s1(t ) =

E

tσ(t ) ;

s1(t)

s3(t)= s1(t-τ)

T

2E (t −τ

t

s2 (t ) = −

2

)σ(t − τ

2

);

0

τ

E

T

s2(t)= -2s1(t-τ)

s3

(t ) =

(t −τ )σ(t −τ ) .

T

Рисунок 7.3 – Разложение треугольного сигнала на элементарные составляющие

169

Выполним поинтервальное описание входного сигнала с помощью элементарных составляющих

S1 (t),

(t −τ 2),

0 ≤ t <τ 2,

S(t) =

S

(t) −

2S

τ 2 ≤ t <τ,

1

1

(t −τ

2)+ S

(t −τ),

S

(t) −

2S

t ≥τ.

1

1

1

Определим передаточную функцию линейной цепи.

K ( p) =

1 pC

=

1

=

α

, где α = 1

RC

.

R + 1 pC

pRC +1

p +α

Определим изображение элементарного выходного сигнала Sвых1( p) :

Sвых1( p) = S1( p) K( p),

Sвых1( p) =

2E

1

α

.

τ

p2

p +α

Определим элементарный отклик.

sвых1

(t ) =

1

c+ j ∞

2Eα

1

e p t dt =

2

Res j .

∫

∑

∞ τ

p2 ( p +α)

2πj c− j

j=1

Подынтегральное выражение содержит две особые точки, называемые

полюсами:

p2 ( p +α) =0,

p1 =0,

p2 = −α,

k1 = 2,

k2 =1.

Первый полюс p1 =0 имеет кратность k1 = 2 , второй полюс p2 = −α -

простой, т.е. кратность его равна 1 . Определим вычеты в двух точках:

Res

= lim

1

d

2 E α

1

( p −

p

)2 e p t

=

−1)!

2

1

p

=0 (2

dp

τ

p

( p +α)

1

1

2Eα d e p t

2Eα

t

e p t ( p

+α) −e p t

2E

= τ

dp p +α = τ

2

p = 0 = ατ (αt −1) , t ≥ 0;

( p +α)

1

2Eα

1

p t

2 E

−α

Res

2

=

p

lim

( p −

p

2

) e

=

e

t ,t ≥ 0.

τ

2

α τ

=−α

p

( p +α)

2

Суммируя вычеты, получим

2 E

[α t −(1−e−α t )], t ≥0 .

s

(t ) = Res

+ Res

2

=

α τ

вых1

1

170

Выполним математическое описание отклика с помощью функции Хевисайда.

sвых1(t ) = 2α Eτ [α t −(1−e−α t )]σ(t) .

Поинтервальное представление суммарного отклика запишем, применяя взвешенное суммирование и сдвиг во времени.

s	вых1	(t)
sвых(t) = s	вых1	(t)
		(t)
s	вых1

		, 0 ≤ t ≤τ	2
−2 sвых1(t −τ	2)	,τ 2 ≤ t ≤τ
−2 sвых1(t −τ	2) + sвых1(t −τ) , t ≥τ

Переходя к аналитическим выражениям и проведя преобразования, получим:

α2 Eτ [α t −(1 −e−α t )], 0 ≤t ≤τ2

2 E

α

τ

τ

−α t

−α (t −τ) + (1 −2e 2 )e

≤t ≤τ

sвых(t ) =

α τ

1

,

2

8 E

2 ατ

e

−α τ

−α (t−τ)

, t

≥τ

α τ

sh

4

2 e

Анализ рисунка 7.4 показывает, что если длительность импульса много больше постоянной времени цепи, т.е. τ α1 , то напряжение на емкости по-

вторяет напряжение на входе (цепь не искажает). Если τ α1 , то цепь сгла-

живает быстрые изменения входного сигнала (т.е. интегрирует) .

Важно помнить, что реакция цепи на входное воздействие является решением дифференциального уравнения и содержит вынужденную и свободную компоненты.

Вынужденная компонента равна сумме вычетов относительно полюсов изображения входного сигнала S ( p) .

Свободная компонента равна сумме вычетов относительно полюсов передаточной функции цепи K ( p).

При расчете отклика цепи после окончания действия входного импульсного сигнала полезно учесть, что вынужденная компонента равна нулю, а свободная компонента определяется полюсами передаточной функции цепи.