ртцис

251

	U me jϕ1 (1−e−αt ), 0 ≤ t <τи ,
U&(t)= U me jϕ2 +U m (e jϕ1 −e jϕ2 )e−α(t−τu ), τu ≤ t < 2τu ,
				−α(t	−2τu )
	U me	jϕ2	e			,2τu ≤ t < ∞.
Большой интерес представляет коммутация фазы на 1800 и 900.
Если ϕ2 =ϕ1 +1800 , то e jϕ2 = −e jϕ1 ,					e jϕ1 − e jϕ2 = e jϕ1 (1 − e j1800 )= 2e jϕ1 .

	U	m	e jϕ1 (1−e−αt ),
U&(t)= U m [2e−α(t−τu ) −1],
	−U me jϕ1 e−α(t−2τu ),

0 ≤ t <τи ,

τu ≤ t < 2τu , 2τu ≤ t < ∞.

Перейдем от комплексной огибающей к физическому сигналу u(t).

			u(t)= Re[U&(t) e jωpt .
	U	m	e jϕ1 (1 − e−αt )cos(ω	P	t +ϕ	1	),	0 ≤t <τ	и
u(t)= Um [2e−α(t−τu ) −1]cos(ωPt +ϕ1 ),								τu ≤t < 2τu

U e jϕ1 e−α(t−2τu ) cos(ω t +ϕ +π),2τ ≤t < ∞

m P 1 u

На рисунке 11.8г показана осциллограмма отклика. Избирательный контур реагирует на коммутацию фазы (на 1800) провалом огибающей до нуля. Интересно определить время задержки «провала» и время нарастающей огибающей до уровня 0,9Um

2e−αtЗ −1 = 0 ,	−αt	З	= ln 1	2	,

tЗ = ln 2α ≈ 6,6TP = 0,22τu , tУСТ = ln10α ≈ 22TP = 0,73τu .

На рисунке 118в показана комплексная огибающая отклика и отмечены время задержки t3 и время нарастания огибающей t уст до уровня 0,9U m .

	252
i(t)	U&	(t)
	0,9U m

		2τ
		t уст	tз
	а)		в)
U(t)		U(t)
		Um
Um

б)	г)

Рисунок 11.8 – Прохождение фазоманипулированного сигнала через избирательную цепь: а) сигнал на входе цепи; б) реакция избирательной цепи на сигнал с коммутацией фазы на 900; в) комплексная огибающая выходного сигнала с коммутацией фазы на 1800; г) реакция избирательной цепи на сигнал с коммутацией фазы на 1800

Если ϕ

2

=ϕ

1

+π

2

, то e jϕ2

= je jϕ1 ; e jϕ1 − e jϕ2 = e jϕ1 (1 − j)=

2e

j(ϕ

1

−π

4

)

.

Ume jϕ1 (1 −e−αt ),

0 ≤ t <τи

e j(ϕ1 +π 2)+U

2e j(ϕ1 −π 4)e−α(t −τu ),

U&(t)=

U

m

m

τ

u

≤ t < 2τ

u

(ϕ1 +π

) −α(t −2τ

)

Ume

j

u

,2τu ≤ t

< ∞

2 e

Um (1 −e−αt ),

0 ≤ t <τи

U&(t)

= Um 1 + 2e−2α(t −τu ) − 2e−α(t −τu ), τu ≤ t < 2τu

Ume−α(t −τu ),2τu ≤ t < ∞

253

Найдем модуль и фазу комплексной огибающей, полагая ϕ2 =ϕ1 + ∆ϕ .

Рассмотрим интервал времени τu ≤ t < 2τu

U&(t)= U&(t)e jψ (t),

U&(t)=Ume jϕ1 [e j∆ϕ + (1 − e j∆ϕ )e−α(t −τu )].

Пусть t −τu = x , причем 0 ≤ x <τu

U&(x) =Um [e−αx + (1 −e−αx )cos(∆ϕ)]2 +[(1 −e−αx )sin(∆ϕ)]2 = =Um (1 −e−αx )2 + e−2αx + 2 cos(∆ϕ)(1 −e−αx ),

	ψ(x)=ϕ1 + arctg	(1−e−αx )sin(∆ϕ)		.
		e−αx + (1−e−αx )cos(∆ϕ)

11.7 Выводы

1.Частотно-избирательные цепи характеризуются тем, что полоса пропускания много меньше некоторой центральной частоты.

Любой широкополосный сигнал в результате прохождения через избирательную цепь становится узкополосным.

Дельта-функция, характеризующаяся бесконечной полосой, преобразуется избирательной цепью в узкополосную импульсную характеристику.

Комплексная огибающая является низкочастотным эквивалентом импульсной характеристики избирательной цепи.

2.При точном решении задачи о прохождении сигнала через цепь устанавливается взаимодействие узкополосного сигнала с импульсной характеристикой избирательной цепи.

При приближенном решении задачи о прохождении узкополосного сигнала через избирательную цепь определяется взаимодействие комплексной огибающей входного сигнала с комплексной огибающей импульсной характеристики.

3.Низкочастотный эквивалент избирательной цепи – воображаемая система, частотный коэффициент передачи которой получен путем переноса частотной характеристики исходной цепи в окрестность нулевой частоты.

254

Спектральная плотность комплексной огибающей с точностью до постоянного множителя 12 совпадает с комплексным коэффициентом передачи

низкочастотного эквивалента.

4. При прохождении радиоимпульса через расстроенный контур на выходе имеют место «биения» огибающей, зависящие от величины расстройки.

При прохождении радиоимпульса через настроенный контур огибающая плавно нарастает, достигая уровня 0.9 от стационарного значения за вре-

мя		t			= ln10		α	.
		УСТ
1800,			С помощью избирательной цепи можно обнаружить переброс фазы на
			так как				огибающая сигнала на выходе падает до нуля за время
t	3	= ln 2		α		.

5. Приближенный операторный и приближенный временной методы дают одни и те же результаты.

255

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Книги по радиотехнике

1.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.-М.: Высшая школа,1988.-448с.

2.Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов.-М.: Радио и связь,1986.-512с.

3.Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов / Под ред. К.А.Самойло.- М.: Радио и связь,1982.-528с.

Задачники по радиотехнике

4.Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. Руководство к решению задач.-М.: Высшая школа,1987.-208с.

5.Задачник по курсу “Радиотехнические цепи и сигналы”/ В.П.Жуков, В.Г.Карташев, А.М.Николаев.-М.: Высшая школа,1986.-192с.

6.Радиотехнические цепи и сигналы. Примеры и задачи: Учебное пособие для вузов./Под ред. И.С.Гоноровского.-М.: Радио и связь,1989.-248с.

Книги зарубежных авторов

7.Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х

томах. Пер.с франц.-М.: Мир,1983.-Т.1.-312с.,Т.2. 256с.

8.Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: в 2-х частях./Пер. c англ.-М.: Мир,1988.- 4.1.336с., 4.2.360с.

9.Френкс Л. Теория сигналов: /Пер.с англ.-М.: Советское радио, 1974.-344с.

Книги по математике

10.Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров: /Пер. с франц.-М.:

Наука,1965.-778с.

11.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник для инженеров и учащихся ВТУзов.-М.:

Наука,1986.-544с.

12.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление: -М.: Наука,1974.-542с.

Специальная литература

13. Continuous and Discrete Signal and Sistem Analysis edited by C.D. McGillem and G.R.Cooper, Holt, Rineh art and Winston, Inc., Orlando, 1990.-494.

14. Огибающие узкополосных сигналов. С.О.Райс. ТИИЭР:Пер.с англ.,1982,т.70,№7,с.5-13.

256

ПРИЛОЖЕНИЯ

Таблица П.1 – Комплексные функции и действия над ними

Формы представления комплексных функций:

Алгебраическая Показательная Тригонометрическая

Z& = c + jd

Z& =

Z

e jϕ

Z& =

Z

cosϕ + j

Z

sinϕ

Связь между ними:

Z - модуль Z&

Z =

c2 +d 2 ; c =

Z

cosϕ ;

d =

Z

sinϕ

ϕ = arg(Z )

- аргумент Z& ;

arctg d

c

,

c > 0

ϕ = arg(Z )=

, c < 0

π +arctg d

c

Комплексно-сопряженные функции:

&

*

= c − jd

&*

=

Z

e

− jϕ

&

*

=

Z

cosϕ − j

Z

sinϕ

Z

Z

Z

Операции над комплексными функциями:

Z& = Z&1 + Z&2 = (c1 + jd1 )+(c2 + jd2 )= (c1 + c2 )+ j(d1 +d2 )

Z& = Z&1 Z&2 = Z1 Z1 e j(ϕ1 +ϕ2 ) = (c12 +d12 )(c22 + d22 )e j(ϕ1 +ϕ2 ) = = с1с2 −d1d1 + j(с2d1 +с1d2 )

Z& + Z&* = (c + jd )+(c − jd )= 2c

Z& Z&* = (c + jd ) (c − jd )= c2 + d 2 = Z 2

Z =

Z&1

=

Z1

e

j(ϕ −ϕ

)

=

c12 +d12

e

j(ϕ −ϕ )

&

2

2

&

1

2

1

2

Z2

Z2

c2 +d2

Z

=

Z&

=

Z& Z&*

=

(c +

jd )(c − jd

)

=

1

1

*

1

2

2

2

2

&

2

1

&

&

&

c2 + d2

Z2

Z2

Z2

=

(c1c2 + d1d2 )+ j(c2d1 − c1d2 )

= c1c2 + d1d2 + j c2d1 − c1d2

c22 + d22

c22 + d22

c22 + d22

= (

Z&K = (c + jd )K = ( c2

+d 2 )K e jKϕ =

c2 +d 2 )K cos(Kϕ)+ j(

c2 +d 2 )K sin(Kϕ)

1

1

1

ϕ

= ( c2 +d 2 )K e j

Z&K = (c + jd )

K

=

K

=

2K

c

2

+ d

2

ϕ

+

j

2K

c

2

+d

2

ϕ

cos

sin

K

K

257

Таблица П.2 – Тригонометрические функции и их преобразования

sin( A ± B) = sin A cos B ±cos A sin B

cos( A ± B) = cos A cos B msin A sin B

	cos A cos B =		1	[cos( A + B) +cos( A − B)]
			2
	sin A sin B =		1	[cos( A − B) −cos( A + B)]
			2
	sin A cos B =		1 [sin( A + B) +sin( A − B)]
			2
	sin A +sin B = 2 sin				1	( A + B) cos		1		(A − B)
					2			2
	sin A −sin B = 2 sin				1	( A − B) cos		1		( A + B)
					2			2
	cos A +cos B = 2 cos 1 ( A + B) cos								1		( A − B)
					2				2
	cos A −cos B = −2 sin 1						( A + B) sin		1		( A − B)
					2				2
		sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = 2 cos2 A −1 =1 −2 sin2 A = cos2 A −sin2 A
sin 1	A =	1 (1 −cos A)					cos 1 A =				1 (1 +cos A)
2		2					2				2
sin2 A =		1 (1 −cos 2A)					cos2 A =			1 (1 +cos 2A)
		2								2

sin x = e jx −e− jx	cos x = e jx +e− jx			e jx = cos x + j sin x
2 j		2
A cos(ωt +ψ1) + B cos(ωt +ψ2 ) = C cos(ωt +ψ3),
C =	A2 + B2 +2 A B cos(ψ1 −ψ2 )
		A sinψ1
ψ3 = arctg			+ B sinψ2
		A cosψ1	+ B cosψ2

sin(ωt +ψ) = cos(ωt +ψ −π2 )

arctgx = arcsin	x	= arccos	1
	1+ x2		1+ x2

258

Таблица П.3 – Дифференцирование функций

Функция

Производная

Функция

Производная

C (сonst)

0

u ν

u′ ν +u ν′

x

1

sin x

cos x

xn

n xn−1

cos x

−sin x

1

1

1

−

tgx

x

x2

cos x2

1

−

n

arcsin x

1

xn

xn+1

1 − x2

x

1

arccos x

−

1

2 x

1 − x2

n x

1

arctgx

1

n n xn−1

1 + x2

ex

ex

shx

chx

a x

a x ln x

chx

shx

ln x

1

thx

1

x

ch2 x

loga x

1

loga e =

1

Arshx

1

1 + x2

x

x

ln a

lg x

1

lge

Archx

1

x

x2 −1

u

u′ v −u v′

Arthx

1

1 − x2

v

v2

259

Таблица П.4 – Определенные интегралы

∞

n!

∫xn e−axdx =

a

n+1

0

∞

2

2

π

∫e−r

x

dx

=

2r

0

∞

1

∫x e−r2 x2 dx =

2

0

2r

∞

∫x2 e−r2 x2 dx = π3

0

4r

π

, a > 0

∞

sin ax

2

∫

dx

x

=

0, a = 0

π

, a < 0

0

−

2

∞∫sinx2 x dx =π2

0

		∞
		∫	sin2 ax	dx =		a			π2
			x
		0
π	π		π						π	π2
∫sin2 mxdx =∫sin2 xdx = ∫cos2 mxdx = ∫cos2 xdx =
0	0	0							0

ππ

∫sin mx sin nxdx = ∫cos mx cos nxdx = 0,				m ≠ n, m, n −целые
0	0
π		2m	,	m, n −четные
∫sin mx cos nxdx = m2 −n2
0		0, m, n −нечетные

260

Таблица П.5 – Неопределенные интегралы

1

1

∫sin axdx = − a cos ax

∫cos axdx = a sin ax

∫sin2 axdx =

x

−

sin 2ax

2

4a

∫x sin axdx =

1

(sin ax −ax cosax)

2

a

∫x2 sin axdx =

1

(2 ax sin ax +2 cosax −a2 x2 cosax)

3

a

∫cos2 axdx =

x

+

sin 2ax

2

4a

∫x cos x axdx =

1

(cosax +ax sin ax)

2

a

∫x2 cosaxdx =

1

(2 ax cosax −2 sin ax +a2 x2 sin ax)

3

a

∫sin ax sin bxdx =

sin(a −b)x

−

sin(a +b)x

,a2 ≠ b2

2(a −b)

2(a +b)

∫sin ax cosbxdx = −

cos(a −b)x

−

cos(a +b)x

,a2 ≠ b2

2(a −b)

2(a +b)

∫cosax cosbxdx =

sin(a −b)x

+

sin(a +b)x

,a2 ≠ b2

2(a −b)

2(a +b)

1

∫eaxdx = a

eax

ax

∫x eaxdx = e 2 (ax −1)

a

ax

∫x2 eaxdx = e 3 (a2 x2 −2 ax +2)

a

∫eax sin bxdx =

eax

(a sin bx −b cosbx)

a

2 2

+b

∫eax cosbxdx =

eax

(a cosbx +b sin bx)

a

2

2

+b

dx

1

a

∫ax2 +b

=

ab

arctg x

b