ртцис

51

Относительное значение квадрат среднеквадратической погрешности представленияпериодическогосигналаусеченнымрядомФурьеопределитсякак

δ =	P − PN	.	(2.39)
	P

Анализируя поведение погрешности в зависимости от количества слагаемых ряда Фурье, можно сказать следующее: с ростом N погрешность асимптотически стремится к нулю. Кроме того, погрешность всегда положительна, т.к. мощность бесконечного ряда всегда больше мощности усеченного ряда.

2.9 Практическое приложение к второй главе

2.9.1 Гармонический анализ периодической последовательности униполярных прямоугольных импульсов

Представим периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рисунок 2.11) суммой гармонических колебаний. Определим амплитуды и фазы гармоник.

s(t)

E

t

−T

−

τ

0

τ

2

T

2T

2

Рисунок 2.11 − Периодическая последовательность импульсов

Заданный сигнал является четной функцией времени, т.е. в разложении будут присутствовать только косинусоидальные составляющие с весовыми коэффициентами an :

	bn =0,
	a	1				τ / 2	Eτ
	o	=				∫ Edt =	T	,
	2			T
						−τ / 2
			2			T / 2			4	T / 2
	an =					∫s(t) cos nω1tdt =				∫s(t) cos nω1tdt.
			T						T
						−T / 2				0

52

Произведение двух четных функций s(t) и cos nω1t образует четную

функцию времени. Интеграл от четной функции на симметричном интервале равен удвоенному значению интеграла за половину интервала интегрирования. Выполняя преобразования, получим

4E τ / 2

4E

1

τ

2Eτ

sin nω1

τ

2

an

=

∫0

E cos nω1tdt =

sin nω1 2

=

,

T

T

nω1

T

nω

1

τ

2

1

1

C&n =

[an − j0]=

an ,

2

2

A

a

2Eτ

sin nω1 τ 2

,

=

=

T

n

n

nω1

τ

2

b

0

0,

an > 0,

ϕn

= −arctg

n

= −arctg

=

an

an

−π, an < 0.

Ряд Фурье для заданного периодического сигнала в соответствии с таб-

лицей 2.1 может иметь три формы записи:

∞

sin nω1

τ

2

s(t)= ∑

Eτ

e jnω1t =

n=∞ T

nω

1

τ

2

τ

Eτ

∞

2Eτ

sin nω1

2

=

+ ∑

cos nω1t =

T

T

n=1

nω

1

τ

2

Eτ

∞

2Eτ

sin nω1

τ

2

cos(nω1t +ϕn ).

=

+ ∑

T

T

n=1

nω

1

τ

2

Отношение периода к длительности прямоугольного импульса называют скважностью q

q = Tτ .

Рассмотрим случай, когда период в два раза больше длительности, т.е.

q = T	= 2 . Откуда
τ					0,					n = 2m,
		sin nπ
				2				(−1)	m+1
	an = E				=	2E
		nπ	2					2m −1		, n = 2m	−1,
						π
	m =1,2,3...
	Сумма гармоник, описывающая							анализируемый			сигнал для случая
T = 2τ , имеет вид

53

		s(t )= E +	2E	cosω t −	2E	cos3ω t +		2E	cos5ω t −...
2			π	1	3π		1	5π	1
и графически изображена на рисунке 2.12.
s1(t)							s5 (t)
E				N =1			E			N =5

0	t	0	t
s3(t)		s7 (t)
E	N =3	E	N = 7

0																					t	0	t

Рисунок 2.12 − Временное представление сигнала s(t) и усеченного ряда Фурье sN (t ) ( N =1,3,5,7 )

На рисунке 2.12 показано, как меняется форма суммы гармонических колебаний с ростом количества слагаемых ряда Фурье. Чем больше учтено гармонических колебаний, тем лучше описываются разрывы в исследуемом сигнале. Кроме того, отмечаем равноволновый характер приближения к анализируемому сигналу и уменьшение абсолютного значения погрешности.

2.9.2 Частотное представление периодического сигнала

Наглядность частотного представления обеспечивает построение спектральных диаграмм. На рисунке 2.13 изображена совокупность коэффициентов комплексного ряда Фурье {Cn}, которую называют частотным спектром.

На рисунке 2.14 показаны совокупность амплитуд гармоник {An}, называемая спектром амплитуд, и совокупность начальных фаз {ϕn}, называемая спек-

тром фаз.

Полученные спектры являются дискретными функциями частоты. Комплексные коэффициенты располагаются на всей частотной оси от − ∞ до + ∞. Анализируемый сигнал является четной функцией времени, поэтому

комплексный коэффициент C&n имеет только действительную составляющую.

54

{C	n	}	Co			{A }	A1
				C1		n
C−1						ao		A3	A5
						2
−ω ω					nω		ω	3ω 5ω nω
C−3	1	1		C3	1	{ϕn}	1	1	1 1
						0	−π		nω1
Рисунок 2.13 − Частотный					Рисунок 2.14 − Спектр амплитуд { An }
спектр коэффициентов {Cn }					и спектр фаз {ϕn } периодической
					последовательности импульсов

Спектр амплитуд {An} и спектр фаз {ϕn} располагаются только на по-

ложительных частотах от нуля до бесконечности.

Важно отметить, что абсолютное количество гармоник бесконечно, но амплитуды их падают с увеличением частоты, т.е. ширина спектра сигнала – конечная величина.

Под шириной спектра понимают эффективную область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала.

2.9.3 Распределение мощности в спектре периодического сигнала

По временному представлению рассчитаем среднюю мощность прямоугольного периодического сигнала

1		τ / 2	E2τ		E2
P =		∫E2dt =		=		.
	T		T		2
		−τ / 2

По частотному представлению определим среднюю мощность усеченного ряда

	ao 2				1	N	2
PN =				+		∑an .
		2			2
						n=1

Результаты расчетов сведем в таблицу 2.4.

Анализ данных таблицы 2.4 показывает, что для восстановления заданного периодического сигнала по спектру можно ограничиться постоянной составляющей и первой гармоники (рисунок 2.12 а). Относительное значение квадрата среднеквадратической погрешности при этом не превышает 0,1.

55

Таблица 2.4 − Распределение мощности в спектре периодической последовательности импульсов

							Средняя мощность элементов ряда Фурье																				n = 0,1,2,...,7
Средняя
				n = 0							n =1				n = 2	n =3					n = 4		n = 5					n = 6		n = 7
мощность
сигнала P				a					2	2						2						2							2
							o					a1			0			a3			0			a5				0			a7
						2				2						2						2							2
Абс.		E2τ				E 2					2E2				0		2E2				0		2E 2					0		2E2
знач.
											π 2						9π 2						25π 2							49π 2
		T
						2
Норм.	100%			50%						40%					0	5%					0	1,7%						0	1%

2.9.4Анализ связи между длительностью импульса, периодом

ишириной спектра

Рассмотрим изменения, происходящие в спектре периодической последовательности прямоугольных импульсов при изменении длительности импульса и периода. В таблице 2.5 дано временное и частотное представление периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой период не меняется, а длительность импульса изменяется.

Поведение комплексного спектра четырех первых сигналов, представ-

	Eτ		sin nω		τ	2
&				1
ленных в таблице 2.5, определяется функцией Cn =	T		nω1	τ	2		. Все четы-

ре спектра затухают с ростом частоты. Обращаем внимание на пульсирующий характер спектра. Первый переход через ноль частотного спектра однозначно связан с длительностью импульса. Однако, по ширине главного лепе-

стка спектра, заключенного в пределах ± 2πτ , не всегда можно судить о по-

лосе частот, в которой сосредоточена основная часть энергии переменной составляющей периодического сигнала.

Сравнивая спектральный состав первого и третьего сигналов в таблице 2.5, видим, что у этих сигналов значительно отличаются постоянные составляющие и спектры фаз. Спектры амплитуд первого и третьего сигналов равны между собой, так как переменные составляющие этих сигналов отличаются только сдвигом во времени.

56

Таблица 2.5 − Спектры периодических последовательностей прямоуголь-

ных импульсов, у которых период неизменен, а длительность изменяется

N°

Временное представление

Спектральное представление сигналов

сигналов sn

(t)

{Cn}

s(t) E

τ = 0,75T

{Cn}

τ

E

Co =

T

1

2πτ

t

0

T

2T

− nω1

−ω1 ω1

nω1

s(t) E

τ =T 2

{Cn}

Co =

τ

E

2

T

2πτ

t

0

T

2T

− nω1

−ω1 ω1

nω1

s(t) E

τ =T 4

{Cn}

Co =

τ

E

T

3

2π

τ

0

T

2T

t

− nω1

−ω1 ω1

nω1

s(t) E

τ =T 8

{Cn}

Co =

τ

E

4

T

2πτ

0

T

2T

t

− nω1

−ω1 ω1

nω1

s(t)

E

=

1

τ

,

τ →0

{Cn}

Cn =

1

5

δ(t)

T

0

T

2T

t

− nω1

−ω1 ω1

nω1

Наиболее узкополосным из пяти представленных сигналов является

второй сигнал, у которого длительность импульса равна половине периода.

Пятый сигнал представляет собой периодическую последовательность

δ−функций. Комплексный коэффициент

C&n разложения бесконечной суммы

δ−функций в ряд Фурье равен

57

1		T / 2	1
C&n =		∫	δ(t)e jnω1t dt =		= const
	T			T
		−T / 2

Периодическая последовательность δ−функций может быть представлена бесконечной суммой гармонических колебаний кратных частот с одинаковыми амплитудами An = 2 Cn = 2 /T , т.е.

	∞	δ(t + nT )=	1	∞	e jnω1t =	1	+		2	∞ cos nω t
	∑		T	∑		T		T
										∑	1
	n=−∞			n=−∞						n=1

Такимобразом, пятыйсигналхарактеризуетсябесконечнобольшойполосой. В таблице 2.6 дано временное и частотное представление периодической последовательности прямоугольных импульсов, у которой длительность

импульсов не меняется, а период увеличивается.

В таблице 2.7 систематизированы результаты гармонического анализа периодических сигналов с различными видами симметрии.

Таблица 2.6 − Спектры периодических последовательностей прямоугольных импульсов, у которых длительность неизменна, а период увеличивается

N°	Временное представление			Спектральное представление сигналов
	сигналов sn (t)						{Cn}
	s1(t )	T1 = 2τ						Eτ T1
1
	T		t	− 2ω	−ω		0		ω 2ω		nω
	1			1		1			1	1	1
	s2 (t)	T2 = 4τ						Eτ T2
2
	T2		t	− 4ω2 −ω2 ω2						4ω2	nω2
	s3(t)	T3 =8τ
3								Eτ T3
	T		t	− ω		3	0	ω	3	ω	ω
	3			8						8 3	n 3
	s4 (t)	T4 =16τ
4								Eτ T4
	T4		t	−16ω4			0			16ω4	nω4

58

Таблица 2.7− Периодические сигналы с различными видами симметрии и ряды Фурье

№ Сигнал s(t ) Ряды Фурье

1

s1(t)

E

∞

s (t ) = 4E

1

sin( 2n −1)ω t

0

t

1

π

n∑=12n −1

1

T1

2

s2(t)

E

s

2

(t ) = 4E

∞ (−1)n+1 cos( 2n −1)ω t

0

t

π

n∑=1 2n

−1

1

T1

3

s3(t)

T2

=4

πn

E

τ

τ

(t ) = E

+ E

∞ sin

4

s

cos nω

2

t

3

4

2 n∑=1

πn

T2

t

4

4

s4(t)

E

s4 (t) =

= E + 4E ∞

1

cos(2n −1)ω t

t

2 π 2 ∑

(2n −1)2

1

0

T1

n=1

5

T2

=2

s5(t)

τ

nπ

2

E

T2

E

E

∞ sin

4

s5

cos nω2t

(t ) = 4

+ 2

∑

nπ

n=1

4

0

τ

t

59

6

s6(t)

E

2E

∞

(−1)

n+1

0

s6 (t) =

∑

sin nω2t

t

π

n=1

n

T2

7

s7t)

(t ) = 2E 1

s

+ π cosω

t −

2

E

7

π

4

2

∞

(

−1)n

− ∑

2

0

t

cos 2nω2t

T2

n=14n

−1

8

s8t)

2E 1

s (t ) =

−π cos

ω

t −

E

8

π

4

2

2

∞

(

−1)n

− ∑

2

cos 2nω2t

T2

0

t

n=1

4n

−1

9

s9(t)

E=Um

s

(t) =

2E

− 2

∞

(−1)

n

cos nω t

1

∑

9

π

2

−1

1

0

T1

t

n=14n

10

E=Um(1-cosΘ)

s10 (t ) =

E sin Θ − Θcos Θ

+

π

1 −cos Θ

+

ΘE

∞

sin( n −1)Θ −

0

2Um

∑

(n −1)Θ

π(1 −cos Θ) n=1

−

sin( n

+1)Θ cos nω

2

t

T2

UmcosΘ

(n +1)Θ

n

60

Анализ спектров, представленных в таблице 2.6 показывает, что комплексный спектр носит тот же пульсирующий характер, так как описание сигнала на периоде не меняется и длительность импульса неизменна. С увеличением периода амплитуда гармонических колебаний уменьшается. Частоты гармонических колебаний уменьшаются. Ширина спектра сигналов остается неизменной, и для ее оценки можно использовать половину ширины

	главного лепестка спектра:	∆ω ≈	2π	при	τ ≤T	2	. С ростом периода
			τ

происходит перераспределение энергии между постоянной и переменной составляющими сигнала: энергия постоянной составляющей падает, а энергия переменной составляющей растет при неизменной полосе.

2.9.5Пример гармонического анализа периодической последовательности знакочередующихся импульсов треугольной формы

E

−T	T	4	T
		T 2

Рисунок 2.15 – Периодический сигнал с двумя видами симметрии

Анализируя временное представление сигнала, изображенного на рисунке 2.15, видим, что заданный сигнал является нечетной функцией времени, поэтому

∞

s(t)= ∑bn sin nω1t .

n=1

Кроме того, сигнал обладает зеркальной симметрией, т.е. повторяется через половину периода с противоположным знаком, следовательно (см. таблицу 2.3)

	0,			n = 2,4,6...
			T 4
	bn = 8		∫	s(t) sin nω tdt, n =1,3,5...
	T
				1
			0