ртцис

21

Здесь p12 (t) , Э12 , P12 - взаимная мгновенная мощность, взаимная энергия и

взаимная средняя мощность, которые описываются очевидными соотношениями:

p12 (t) = s1(t)s2 (t), t2

Э12 = ∫s1(t )s2 (t )dt ,

				t1	t2
				1		s (t )s		(t )dt .
P	=				∫		2
		t		− t
12			2			1
				1 t
					1

Структурные схемы, соответствующие преобразованиям (1.21) и (1.24), приведены на рисунке 1.9.

s(t)	p(t)	∫	Э

s1(t)						p∑ (t )
			∑					∫
									ЭΣ(t)
s2(t)

а)

б)

Рисунок 1.9 − Реализация преобразований (1.21), (1.24)

Если энергия взаимодействия равна нулю, то сигналы энергетически независимы, т.е. не взаимодействуют друг с другом на интервале времени

(t1 ,t2 ). Такие сигналы называются ортогональными на указанном интервале:

t2	(t) s2	(t)dt = 0 .
∫s1			(1.26)
t1

Взаимная энергия двух сигналов является их скалярным произведением

иотносится к фундаментальным характеристикам теории сигналов.

1.3.2Энергетические характеристики комплексных сигналов

Энергетические характеристики комплексного сигнала Z&(t) выража-

ются с учетом теории комплексного переменного следующим образом:

pZ (t) = Z&(t) Z&*(t) =[s(t) + jυ(t)] [s(t) − jυ(t)]= s2 (t) +υ2 (t) .

(1.27)

Мгновенная мощность комплексного сигнала равна сумме мгновенных мощностей действительной и мнимой частей:

pZ (t) = ps(t) + pυ(t).

(1.28)

Энергия комплексного сигнала определяется интегралом от произведения комплексно-сопряженных сигналов:

22

t2	t2	t2
ЭZ = ∫Z&(t) Z&* (t)dt = ∫s2 (t) + ∫υ2 (t) ,
t1	t1	(1.29)
		t1

ЭZ = Эs + Эυ .

Средняя мощность представляет собой сумму средних мощностей действительной и мнимой частей:

			1	t2
P	=			∫	Z&(t)
Z		t2	−t1
				t1

t2

Z&*(t)dt = 1 ∫s2 (t) t2 −t1 t1

PZ = Ps + Pυ .

t	2
+ ∫υ2 (t) ,			(1.30)
t
	1

Таким образом, энергетические характеристики комплексного сигнала равны сумме энергетических характеристик вещественной и мнимой частей. Энергия суммы двух комплексных сигналов равна:

	t
	ЭZ = ∫2 (Z&1 (t) + Z&2 (t)) (Z&1* (t) + Z&2* (t))dt =
	t1
t2	[Z&1(t) Z&1* (t) + Z&2 (t) Z&2*	(1.31)
= ∫		(t) + Z&1(t) Z&2* (t) + Z&2 (t) Z&1* (t)]dt ,
t1

Э∑ = ЭZ	1	+ ЭZ	2	+ 2Эs	s	2	+ 2Эυ υ	2	± j(Эs υ		2	− Эυ	1	s	2	).
				1			1			1
Два комплексных сигнала Z& (t) и								Z&	2	(t) будут ортогональными, если
							1
энергия их взаимодействия равна нулю, т.е.
t2							t2
∫Z&1(t) Z&2*(t)dt =							∫Z&2 (t) Z&1*(t)dt = 0 .									(1.32)
t1							t1

Энергия взаимодействия сигналов, которые в общем случае могут не совпадать во времени, оценивается с помощью корреляционных характеристик: автокорреляционной и взаимной корреляционной функций.

1.3.3Корреляционные характеристики детерминированных сигналов

Взаимная энергия вещественного сигнала s(t) и его перемещающейся во времени копии s(t −τ) называется автокорреляционной функцией (АКФ) сигнала и обозначается B(τ) :

∞
B(τ) = ∫s(t) s(t −τ)dt .	(1.33)

−∞

Энергия сигналаЭs численно равна значению АКФ в точке τ = 0 :

23

∞
B(0) = Эs = ∫s2 (t)dt .	(1.34)

−∞

АКФ является четной функцией времени B(τ) = B(−τ) , т.к.

∞∞

∫s(t) s(t −τ)dt =	∫s(t) s(t +τ)dt .	(1.35)
−∞	−∞

Структурная схема, демонстрирующая процесс получения АКФ согласно преобразованию (1.33), изображена на рисунке 1.10.

s(t)	s(t − ∆τ)		s(t − 2∆τ)
	∆τ	∆τ	∆τ

∫t

∫t

∫t

B(0)

B(∆τ)

B(2∆τ)

s(t − n∆τ)

∆τ

∫t

B(n∆τ)

Блок записи и хранения

Рисунок 1.10 − Структурная схема для получения АКФ

На выходе схемы (в блоке записи и хранения) имеем АКФ в дискретные моменты времени n∆τ , соответствующие неотрицательным временам задержки τ ≥ 0.

Взаимная энергия двух разных вещественных сигналов s1(t) и s2 (t) ,

один из которых (первый или второй) перемещается во времени, называется взаимной корреляционной функцией (ВКФ) и обозначается

B21(τ) илиB12 (τ) соответственно:

	∞
B12 (τ) =	∫s1(t) s2 (t −τ)dt ,	(1.36)
	−∞
	∞
B21(τ) =	∫s2 (t) s1(t −τ)dt .	(1.37)

−∞

24
ВКФ B21(τ) является зеркальной копией ВКФ B12 (τ) , т.е.
B21(τ) = B12 (−τ) .	(1.38)

Примеры получения АКФ и ВКФ показаны на рисунке 1.11.

s(t)

s(t −τ),

0

τ1

t

τ > 0

s(t −τ),

0

τ

τ +τ

1

t

τ ≥τ1

s(t −τ),

τ

τ +

τ1 t

τ < 0

s(t −τ),

τ

0

τ

+τ1

t

τ ≤ −τ1

τ

B(τ)

0

t

E 2τ1

−τ1

0

τ1

τ

а)

		s1(t)
s2 (t −τ),			0		τ1
τ > 0,τ2	>τ1
s2 (t −τ),			0	τ	τ +τ2
τ ≥τ1
s2(t −τ),			0		τ
(τ1 −τ2) <τ <0
s2(t−τ),		τ	0		τ +τ2
−τ2 <τ<(τ1−τ2)
	τ		0	τ +τ2
B12 (τ)					E 2τ1
−τ2	τ1 −τ2 0				τ1
			б)

Рисунок 1.11 − Построение корреляционных функций: а) АКФ прямоугольного импульса, б) ВКФ двух импульсов разной длительности

В таблице 1.3 приведены графические иллюстрации АКФ и ВКФ различных вещественных сигналов.

Взаимная энергия комплексного сигнала Z&(t) и его перемещающейся во времени сопряженной копии Z&*(t −τ) называется автокорреляционной функцией комплексного сигнала и обозначается BZ (τ) :

∞
BZ (τ) = ∫Z&(t) Z&*(t −τ)dt .	(1.39)

−∞

25

Таблица 1.3- Примеры АКФ и ВКФ некоторых вещественных сигналов

	Сигнал sn (t)	Автокорреляционая	Взаимная крреляционная
		функция (АКФ) Bn (τ)	функция (ВКФ) Bnm (τ)

E s1(t)

τ2 =1.5τ1

B1(τ)

B

21

(τ)

E 2τ1

E 2τ1

0

τ1

t

−τ1

0 τ1

τ

−τ1

0

τ2 τ

E

s2(t)

E 2τ2

B2 (τ)

B12 (τ)

2

E τ1

0

τ2 t

−τ2

0

τ2 τ

−τ2

0 τ1

τ

E s3(t)

B3 (τ)

B23 (τ)

E 2

τ

1

E 2

τ

1

2

3

0 τ1

0

0 τ1

t

−τ1

τ

−τ1

τ2 τ

s4(t)

Ee −α t ,

E 2

B24 (τ)

B4 (τ)

E

α

≈ 1 / τ 1

E 2

α

2α

0

t

0

τ

0

τ2

τ

s5(t)			B5 (τ)			B25(τ) =B52(τ)
E		E 2τ 2		2 τ 2			E 2 τ 2
			E
				3			3
0	τ2 t	−τ2	τ2 τ		−τ2	0	τ2 τ

26

1.4 Обобщенное линейное представление сигналов

Исследуемый сигнал s(t) можно представить взвешенной суммой элементарных функций

∞
&	&	(1.40)
s(t)= ∑Cnϕn (t) ,

n =−∞

где C&n – комплексный (в общем случае) коэффициент пропорциональности; ϕ&n – комплексная (в общем случае) элементарная функция.

Каждая из элементарных составляющих ϕ&n (t) должна быть, с одной стороны, функционально связана с любой другой ϕ&k (t) , а с другой стороны – обладать энергетической независимостью. То есть энергия суммы элементарных колебаний ЭΣ должна равняться сумме энергий отдельных составляющих:

t2

∞

&

∞

&*

*

Э =

ϕ

(t)

(t) dt =

C

C

ϕ

Σ ∫

∑ n

&

n

∑

k

&

k

t

n =−∞

k =−∞

1

t2

(1.41)

∞

∞

&

&*

*

(t)dt.

= ∑ ∑ CnCk

∫ϕn (t)ϕk

&

&

n =−∞k =−∞

t1

Энергетическая независимость (ортогональность) элементарных колебаний на интервале времени от t1 до t2 определяется следующим образом:

2

& &*

=

ϕn

2

,n =k,

t

Эϕn

&

∫ϕn (t)ϕk

(t)dt =

(1.42)

t

0,

n ≠k.

1

В выражении (1.42) использовано обозначение ϕ&n , под которым в ма-

тематическом анализе понимают норму бесконечномерного пространства функций {ϕ&n(t)}. В нашем случае норму определяют как квадратный корень

из энергии.

Учитывая (1.42), преобразуем (1.41) к виду:

∞

2

t2

∞

2

ЭΣ = ∑

&

.∫

ϕn (t)

2

dt =

∑Эϕn .

&

.

(1.43)

Cn

Cn

&

n=−∞

t1

n=−∞

Набор ортогональных функций {ϕ&n (t)} называют ортогональным бази-

сом.

Пространство функций (базис) называется метрическим, если введен способ определения нормы.

27

Если энергии элементарных составляющих ортогонального базиса Эϕn не зависят от своего порядкового номера, то их подвергают нормировке, с тем чтобы норма Эϕn равнялась единице. Такой базис называют ортонормированным (или ортонормальным).

Коэффициент пропорциональности C&n в выражении (1.40) учитывает степень взаимодействия исследуемого сигнала s(t) и элементарного колеба-

&

умножим левую и

ния ϕn (t) . Для получения математического выражения Cn

&

&*

и проин-

правую части (1.40) на комплексно-сопряженную функцию ϕk (t)

тегрируем в пределах от t1 до t2 :

t2

&*

t2

∞

&*

&

&

(t)dt =

∫s(t)ϕk

(t)dt = ∫ ∑Cnϕn (t)ϕk

t

t

n=−∞

1

1

(1.44)

∞

t2

= ∑

&

&

&*

&

&

2

Cn

∫ϕn (t)ϕk (t)dt = Cn Эϕn

= Cn

ϕn

,

n =−∞

t1

t2

&

t2

1

∫s ( t )ϕ n ( t ) dt

&

∫s ( t )ϕ n ( t ) dt

t1

C n =

2

=

t2

.

(1.45)

ϕ

&

n

t1

*

∫ϕ n ( t )ϕ k dt

&

&

t1

Коэффициент пропорциональности C&n представляет собой отношение

взаимной энергии сигнала

s(t) и элементарного колебания ϕn (t) к собствен-

&

ной энергии отдельного элементарного колебания ϕ&n (t) .

Ряд (1.40) называется обобщенным рядом Фурье, если выполняются ус-

ловия (1.42) и (1.45).

Структурная схема, позволяющая получить коэффициент пропорциональности C&n для данного сигнала s(t) и данного базиса {ϕ&n (t)}, является

обобщенным анализатором спектра (рисунок 1.12). Он реализуем физически в случае действительного сигнала и действительного базиса.

28

s(t)							&
			t	1			C1
			∫			ϕ1	2	Б	и
								л	х
								о
								к	р
							&		а
			t		1			з
			∫				C2		н
						ϕ 2	2	а	е
								п	н
								и	и
								с	я
							C&n	и
			t	1
ϕ1 (t) ϕ2 (t)	ϕn (t)		∫			ϕ n	2

Генератор базисных функций

Рисунок 1.12 − Обобщенный анализатор спектра

Рассмотрим усеченный ряд Фурье, который называют оценкой

sN (t)

сигнала s(t)

N

&

&

(1.46)

sN (t) = ∑Cnϕn (t) .

n=−N

Энергию оценки sN (t) найдем по формуле (1.43)

N

2Эϕn .

ЭN = ∑

C&n

(1.47)

n=−N

Разность исследуемого сигнала s(t) и его оценки sN (t) представляет

собой мгновенное значение ошибки аппроксимации ε(t)

ε(t) = s(t) − sN (t) .

(1.48)

Энергия ошибки определится следующим образом:

2

t2

2

t2

N

2

< ε

(t) >= ∫

ε

& &

,

(1.49)

(t)dt = ∫[s(t) − ∑Cnϕn (t)] dt

t1

t1

n=−N

29

t2

N

t2

< ε

2

(t) >= ∫s

2

(t)dt

−2

∑

&

(t)dt +

Cn ∫s(t)ϕn

&

t

n=−N

t

14243

1

ЭS

t2

N

N

&

&

=

+ ∑ ∑ CnCk

∫ϕn (t)ϕk (t)dt

&

&

t2

n=−N k =−N

t1

N

N

N

= ∫s2 (t)dt −2 ∑

C&n

2 Эϕn

+ ∑

C&n

2 Эϕn =ЭS − ∑

C&n

2 Эϕn =Эs −ЭN .

(1.50)

t1

n=−N

n=−N

n=−N

Энергия ошибки согласно (1.50) равна разности энергий сигнала s(t)

и его оценки

sN (t). Относительное значение энергии ошибки найдем как

отношение энергий ошибки и сигнала:

<ε2 (t) > =

Эs − ЭN

1

N

2 Эϕn .

δ =

=1 −

∑

C&n

(1.51)

Эs

Эs

Эs

n=−N

Если при N → ∞ относительное значение энергии ошибки стремится к нулю (δ → 0), то набор элементарных ортогональных функций называет-

ся полным базисом.

Реализация преобразования (1.46) показана на рисунке 1.13.

ϕ1 (t)

C1

Генератор	ϕ2 (t)				sN (t)
				∑
базисных	C2

функций

CN

ϕN (t)

Блок формирования коэффициентов

Рисунок 1.13 − Блок-схема синтеза сигнала (точнее, оценки) с помощью заданной системы базисных функций

30

1.5 Динамическое представление сигналов

Примером полной ортогональной системы функций является совокупность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, изображенная на

рисунке 1.14. Обобщенное представление сигналa s(t) в этом базисе пред-

ставлено на рисунке 1.15.

Элементарные прямоугольные импульсы описываются разностью функций Хевисайда, которую будем обозначать rect(t) (от англ. rectangle – прямоугольник):

rect(t) =σ(t +	τ ) −σ(t −	τ ) .	(1.52)
	2	2

Импульсы rect(t −n∆τ) имеют длительность ∆τ и сдвинуты друг от-

носительно друга по времени на интервалах n∆τ , поэтому ортогональность базиса очевидна.

ϕ1(t)				s(t)
	rect(t)			s(n∆τ)rect(t −n∆τ)	s(t)
0			t		scm(t)
ϕ2 (t)		rect(t- ∆τ )		s(0)rect(t)
ϕ3 (t) 0	∆τ		t
		rect(t-2 ∆τ )
0		2∆τ	t
ϕn (t)	rect(t-n ∆τ )
0		n∆τ	t	0	n∆τ	t
Рисунок 1.14 − Пример				Рисунок 1.15 − Динамическое
ортогонального базиса				представление сигнала функциями
				rect(t − n∆τ)

Взвешенное суммирование элементарных функций приводит к возникновению ступенчатой аппроксимации sст(t) аналогового сигнала s(t).

Коэффициент взвешивания	C&n при этом равен мгновенному значению ана-
логового сигнала s(t)в точке t = n∆τ , т.е. C&n = s(n∆τ) :
	∞
scm (t) =	∑s(n∆τ)rect(t − n∆τ) .	(1.53)

n=−∞