ртцис

191

временное и спектральное представления АМ−сигнала при тональной модуляции.

sy (t)				B
		B
											ω
		t		Ω
so (t)		Ao						Ao
		t					ωo				ω
sам(t)
Ao			{An}	AoM				A			AoM
Amax		Amin							o
				2							2
		t		ωo − Ω ωo ωo + Ω ω
							2Ω			ϕo +ϕy
			{ϕn}				ϕo
				ϕo	−ϕy
t1 t2 t3	t4 t5	t		ω	o	− Ω	ω	o	ω	o	+ Ω ω
а)					б)

Рисунок 8.3 − Временное (а) и спектральное (б) представления тональной амплитудной модуляции

Анализируя временное представление, отмечаем однозначную связь между управляющим сигналом sy (t) и огибающей АМ−сигнала. Если глуби-

на модуляции M = 0 (или sy (t) = 0 ), то АМ−сигнал превращается в несущее

колебание.	Если M =1, то наступает 100% модуляция, при которой
Amax = 2Ao ,	Amin = 0 .

Обсуждая спектральное представление, обращаем внимание на четную симметрию спектра амплитуд относительно несущего колебания. Амплитуды боковых колебаний равны между собой. Максимальное значение амплитуды

192

бокового колебания не превышает Ao 2 . Ширина спектра АМ−сигнала равна

удвоенной частоте управляющего сигнала

∆ω = 2Ω.

Иногда полезно представление АМ−сигнала с помощью суммы векторов, вращающихся в комплексной плоскости.

	ϕy	ϕy
	Aб
Ao	Aб
ϕo
sам(t = 0)				sам(t2 )	ωot1
					ωot2
					ω
	а) t = 0				б) t ≠ 0

Рисунок 8.4 − Временные диаграммы однотонального АМ−сигнала:

а) t = 0 ; б) t ≠ 0

На рисунке 8.4 изображены векторные диаграммы суммы трех гармонических колебаний. Для простоты восприятия вектор несущего колебания находится в покое, а вращается комплексная плоскость по часовой стрелке. Мгновенное значение АМ−сигнала образуется в результате проекции суммарного вектора на вращающуюся ось абсцисс.

На рисунке 8.5 показаны характерные состояния векторных диаграмм для пяти моментов времени, обозначенных на осциллограмме АМ-сигнала (рисунок 8.3а).

				Amax
		Ao		Ao
			Amin
t = t1	t = t2	t = t3	t = t4	t = t5

Рисунок 8.5 − Векторные диаграммы, фиксирующие четыре характерных состояния огибающей ( Ao , Amin , Ao , Amax ) за период управляющего сигнала

193

Достоинством векторного представления является возможность анализа огибающей (а не мгновенного значения).

8.3 Энергетические характеристики АМ−сигнала

Средняя мощность периодического АМ−сигнала зависит от выбранного интервала усреднения.

Если интервал усреднения равен периоду управляющего сигнала, то все три гармонические составляющие ортогональны (т.е. энергетически независимы). В этом случае средняя мощность АМ−сигнала равна сумме средних мощностей отдельных гармонических составляющих.

Если A0 предоставляет амплитуду напряжения или тока, то мощность несущего колебания, выделяющаяся на сопротивлении 1 Ом, равна

P =		1		2	A2 .						(8.12)
o						o
Мощность любого бокового колебания равна
P = 1			A M				2				(8.13)
				o		2	.
б	2
Мощность АМ−колебания при тональной модуляции равна
P = Po + 2Pб = Po (1 + 0,5M					2	) =	A2		2	) .	(8.14)
							o 2 (1 + 0,5M
С передачей информации связана только одна боковая составляющая
	P						M 2
η =	б		=					,
	P
					4(1 +0,5M 2 )
где η - относительная доля мощности,							связанная с передачей информации,
максимальное значение которой при M =1 не превышает 1/6
ηmax ≤			1 100% =16,6% .
		6

АМ-колебание вызывает разные тепловые потери в активном режиме ( M ≠ 0 ) и в режиме “молчания” ( M = 0 ).Чтобы учесть возможные перегрузки, рассчитывают значение мощности при интервале усреднения, равном периоду несущего колебания.

				T
P(t) =		1		∫o A2 (t) cos2 (ωot +ϕo )dt .
		T
		o	0
За период To огибающая A(t) практически не меняется, поэтому
	A2 (t) To				1
P(t) ≈				∫cos2 (ωot +ϕo )dt =		A2 (t) .	(8.16)
	T				2
	o		0

194

Обычно принимают во внимание максимальное и минимальное значения мощности:

	P	=		1	A2	(1 + M )2		= P (1 + M )2		;	(8.17)
			2
	max				o				o
	P	=	1		A2	(1 − M )2		= P (1 − M )2 .			(8.18)
	min		2		o				o
	Отношение P				=1,5Po		4Po		= 0,375P	указывает	на плохое
		Pmax							o

использование мощности передатчика, так как его рассчитывают на максимальную мощность Pmax .

8.4Амплитудная модуляция произвольным периодическим и непериодическим сигналами

Математическая модель периодического управляющего сигнала сложной формы можно представить тригонометрическим рядом вида

∞

sy (t) = ∑Bn cos(nΩt +ϕn ) .

(8.19)

n=1

Запишем АМ−сигнал и получим его спектральный состав:

s

(t) =

+ K

∞

cos(ω

t +ϕ

) =

ам

A

B cos(nΩt +ϕ

n

)

o

o

o

AM ∑ n

n=1

(8.20)

∞

= A

M

cos(nΩt +ϕ

cos(ω

t +ϕ

),

1 +

∑

)

o

n

n

o

o

n=1

где M n

=

B kам

− парциальные (частичные) коэффициенты модуляции;

Ao

∞

A M

n

s

ам

(t) =

A

cos(ω

o

t

+ϕ

o

) +

∑

o

cos[(ω

o

+ nΩ)t

+ϕ

o

+ϕ

n

]+

o

2

n=1

(8.21)

∞

A M

n

+

∑

o

cos[(ωo − nΩ)t +ϕo

−ϕn ].

2

n=1

Ввыражении (8.21) первое слагаемое – несущее колебание с частотой

ωo , второе и третье – суммы колебаний с частотами ωo + nΩ (верхняя боко-

вая полоса) и ωo − nΩ (нижняя боковая полоса). Нижняя боковая полоса

(НБП) представляет зеркальное отображение верхней боковой полосы (ВБП) (рисунок 8.6). Каждая спектральная составляющая управляющего сигнала формирует две боковые частоты в спектре АМ−сигнала.

195

T	= 4	B1 B2
τ
T	t	Ω	ω
			Ao

t

ωo

ω

(ωo − nΩ)

Ao

(ωo + nΩ)

t

ωo

ω

НБП

ВБП

Ппракт

Рисунок 8.6 – Временное и спектральное представления радиосигнала при амплитудной модуляции периодическим управляющим сигналом

Практическая ширина спектра АМ−сигнала равна удвоенной максимальной частоте (учитываемой в спектре управляющего сигнала)

Ппракт = 2Ωmax = 2nmaxΩ.

Вслучае модуляции непериодическим сигналом sy (t) со спектральной

плотностью S&y (ω) огибающую A(t) и модулированное колебание sам(t) со-

гласно (8.3) и (8.4) можно записать в виде:

A(t)= Ao + kам sy (t);

sам(t)=[Ao + kам sy (t)] cos(ωot +ϕo ).

Спектральную плотность модулированного колебания S&ам(ω) найдем с

помощью прямого преобразования Фурье. Используем теорему о сложении и применим дельта–функции для описания спектральной плотности неинтегрируемых сигналов.

196

S&

ам

(ω)=Ф[s

ам

(t)]=Ф[A

cos(ω

o

t +ϕ

o

)]+Ф[k

ам

s

y

(t)cos(ω

o

t +ϕ

o

)]=

o

=π A e− jϕo δ(ω +ω

o

)+π A e jϕo δ

(ω −ω

o

)+

(8.22)

1

o

1

o

+

kам e− jϕo S&y (ω +ωo )+

kам e jϕo S&y (ω −ωo ).

2

2

На рисунке 8.7 изображено временное и спектральное представления сигналов при амплитудной модуляции непериодическим сигналом.

S&y (ω)

sy (t)

t

Ao cos(ωot +ϕo )

πAoδ(ω +ωo )

πAoδ(ω −ωo )

t

−ωo

S&ам(ω)

ωo

kам

S&y (ω +ωo )

kам

S&y (ω −ωo )

2

2

sам(t)

πAoδ(ω +ωo )

πAoδ(ω −ωo )

t

0

Рисунок 8.7 – Временное и спектральное представления непериодического управляющего, несущего и модулированного сигналов (при ϕo = 0 )

8.5 Балансная и однополосная модуляция

Кроме обычной АМ, применяется амплитудная модуляция с подавлением несущей – балансная модуляция (БМ).

Балансно−модулированноеколебание(БМ-колебание) можнозаписатькак

sбм(t) = kбм sy (t) so (t) = kбм sy (t) Ao cos(ωot +ϕo ) =

(8.23)

= Aбм(t) cos(ωot +ϕo ).

Здесь Aбм(t) = kбм Ao sy (t) −огибающая модулированного колебания (8.23); kбм − коэффициент пропорциональности.

197

Если управляющий сигнал sy (t) и несущее колебание so (t) однораз-

мерные величины, например напряжения (или токи), то
[kбм]=	1		1
		или		.
	B
			А

Пусть sy (t) = B cos(Ωt +ϕy ). Полагая ϕ0 =ϕy = 0 , представим	БМ-
колебание в виде
sбм (t) = kбм B cos Ωt cosω0t = Aбм cos(ω0 −Ω)t + Aбм cos(ω0 −Ω)t,	(2.24)

где Aбм - амплитуда боковой составляющей.

Для сравнения на рисунке 8.8 изображены временные диаграммы и спектральный состав sам(t) и sбм(t) при модуляции гармоническим сигна-

лом so (t) , построенные на основании выражений (8.6) и (8.23).

sy (t)
t		Ω	ω
sам(t)	{An}	A0 M 2	A0
			A M 2
			0
t		ωo − Ω ωo ωo + Ω ω
sбм(t)	{An}	AδM
t		ωo − Ω ωo ωo + Ω ω
а)		б)

Рисунок 8.8 – Временное (а) и спектральное (б) представления радиосигнала при выполнении АМ и БМ

Главным достоинством простой амплитудной модуляции является то, что форма огибающей точно повторяет закон изменения sy (t) (информатив-

ный сигнал). Поэтому для детектирования такого сигнала достаточно применить однополупериодный диодный детектор.

Спектральную плотность БМ-колебания S&бм(ω) , так же как и АМколебания при модуляции произвольным непериодическим сигналом sy (t) ,

198

можно выразить через спектральную плотность огибающей. Полагая, что сигналу sy (t) соответствует спектральная плотность S&y (ω) , получим

S&

бм

(ω) =

1 k

бм

A

[S&

y

(ω −ω

o

) + S&

y

(ω +ω

o

)].

(8.25)

2

o

Таким образом, спектр модулирующего сигнала в результате модуляции “раздваивается”, т.е. смещается по оси частот на ±ωo . Ширина спектра

БМ-колебания увеличивается в 2 раза по сравнению с шириной спектра управляющего сигнала.

При балансной модуляции нарушается однозначная связь между управляющим сигналом и огибающей. В частности (при гармоническом управляющем сигнале), на выходе БМ возникают "биения" в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими частотами (ω0 ±Ω). Период "бие-

ний" в два раза меньше периода управляющего сигнала.

При БМ увеличивается относительная доля мощности, связанная с передачей информации до 50%. Это связано с тем, что БМ позволяет сократить расход мощности на передачу колебания несущей частоты. Если модулирующий сигнал sy (t) содержит постоянную составляющую, то в спектре БМ-

колебания возникает компонента несущей частоты.

Дальнейшее снижение энергозатрат связано с применением однополосной амплитудной модуляции, для осуществления которой подавляют, помимо несущего колебания, одну из боковых полос в спектре БМ−сигнала (рисунок 8.9).

sy (t)	sбм(t)			s0 м (t)
		ПФ

A0 cosωot

Рисунок 8.9 – Реализация балансной и однополосной модуляции с помощью перемножителя и полосового фильтра (ПФ)

Для восстановления модулирующего сигнала достаточно сохранить в спектре модулированного сигнала лишь одну боковую полосу: либо верхнюю, либо нижнюю. Для передачи боковых полос требуется только половина полосы частот ( ∆ω вместо 2∆ω ). Такой способ передачи, называемый однополосной амплитудной модуляцией (ОМ) с подавлением несущей, позволяет максимально сократить полосу частот, занимаемую сигналом.

При приеме ОМ-колебаний необходимо восстанавливать колебание несущей частоты ( Ao cosωot ) и нижнюю боковую полосу частот (НБП), что ус-

ложняет приемник. Затруднения устраняются с развитием элементной базы (схемы восстановления несущего колебания, схемы восстановления НБП).

199

8.6 Амплитудно-импульсная модуляция

Если в качестве несущего колебания (переносчика) выбрана периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рисунок 8.10б), то модулируемыми параметрами могут быть: амплитуда (высота) импульса, его длительность (ширина), частота повторения импульсов и фаза (положение) импульса относительно начала периода. Изменение в соответствии с управляющим сигналом одного (или нескольких) параметров несущего колебания приводят к возникновению различных импульсных модуляций.

Простейшим видом импульсной модуляции является амплитудноимпульсная модуляция (АИМ), при которой амплитуда импульсов изменяется в соответствии с модулирующим сигналом. Определим спектр АИМ при модуляции видеоимпульсов, имеющих прямоугольную форму, произвольным периодическим сигналом (например, пилообразным)

2

∞

∑

sy (t) =

ao

+

Bn cos(nΩ1t + Ψn ).

(8.26)

n=1

Представим периодическую последовательность импульсов so (t) рядом

Фурье

∞ A

τ

s

(t)

= E

+

n

cos(nω

t +ϕ

) .

(8.27)

o

∑ E

o

n

T

n=1

В выражении (8.26) ωo = 2π T − тактовая частота импульсов, имеющих

длительность τ

и амплитуду E .

Модулированную последовательность видеоимпульсов sаим(t) можно

записать в виде:

a

o

∞

τ

∞ A

s

аим

(t)= E + k

+

B

cos(nΩ t + Ψ

)

+

n

cos(nω

o

t +ϕ

)

,(8.28)

2

∑ n

1

n

T

∑ E

n

n=1

n=1

144444442444444431444442444443

E(t )

so (t )

E

где E(t) = E + k sy (t) − изменение амплитуд импульсов (огибающей).

На основании выражений (8.25), (8.26) и (8.27) на рисунке 8.10 изображено временное и спектральное представление sy (t) , so (t) и sаим(t) . Несу-

щее колебание so (t) на частотной оси располагается на фиксированных частотах, кратных ωo . При импульсной модуляции спектр управляющего сигнала переносится на всю совокупность фиксированных частот nωo . Спектр

АИМ–сигнала дискретный и почти периодический. Почти периодический характер спектра определяется конечной длительностью импульсов несущей последовательности.

sy (t )

а) ao

2

0

so (t)

б) Eτ E

T

0

sаим(t)

в)

0

TΩ

To

{Bn}

t 0

{An}

t 0

t 0

B1

B2

Bn

nΩ	ω

Eτ

T

ωo

2ωo

3ωo

ω

nΩ	ωo	2ωo	3ωo	ω
	ωo ± nΩ	2ωo ± nΩ	3ωo ± nΩ

Рисунок 8.10 – Временное и спектральное представления АИМ-сигналов: а) управляющий периодический сигнал; б) несущее колебание (периодическая последовательность прямоугольных импульсов малой длительности); в) периодическое АИМ-колебание

200