ртцис

151

6.4.2 Расчет временных характеристик линейных цепей

При определении импульсной характеристики необходимо проверить, удовлетворяет ли передаточная функция требованиям, предъявляемым к изображениям по Лапласу (5.12) .

lim K(p)= 0 . p→∞

Это условие может не выполняться (например, для фильтров верхних частот), т.е.

lim	0,	m > n	.
	K(p)= M o pn−m =
p→∞	M o, m = n

В этом случае из передаточной функции следует выделять целую часть

K(p)= M o + A(p)−(M)o B(p).

B p

Применяя обратное преобразование Лапласа к первым двум передаточным функциям, получим

g1	(t)= L−[K1	(p)]= L−	1τ				= 1	e− tτ σ(t),
				1			τ
		p +			τ

p

1

g2 (t)= L−[K2

(p)]

= L−

=

L− 1

−

τ

=

1

p +

1

p +

τ

τ

= L−[1]− L−

1τ

=δ(t)−

1

e− tτ σ(t).

p + 1

τ

τ

Третьяпередаточнаяфункцияимеетдвакомплексно-сопряженныхполюса

p2 + 2 pα +ωp2 = 0 ,

p1,2 = −α ± α2 −ωp2 = −α ± jωсв,

где ωсв = ωр2 −α2 , т.е ωp2 =ωсв2 +α2 .

152

Таблица 6.3 – Частотные и временные характеристики простейших ЛЭЦ (математические модели)

Электрическая

Частотные характеристики

Временные характеристики

Цепь

ЛЭЦ

ЛЭЦ

Передаточная функцияK(p),

Переходная h(t) и импульс-

Наименование

АЧХ и ФЧХ

ная g(t) характеристики

K&(ω)

ϕ(ω)

K(p)=

1τ

− t

p +

1

g

(t)=

1

e

τσ(t)

τ

Интегрирую-

1

τ

K&(ω)

=

τ

щая цепь

(1

− t

2

+ω2

h(t)=

(t)

)

1 − e

τ σ

τ

ϕ(ω)= −arctgωτ

K(p)=

p

p +

1

ω

τ

g(t)=δ(t)−

1

− t

τ

σ(t)

K&(ω)

Дифференци-

=

(1

)2

+ω2

τ e

рущая цепь

τ

h(t)= e

− t

τ σ(t)

π

ϕ(ω)=

− arctgω

α

2

K(p)=

2 pα

2αωр

p2 + 2 pα

+ωр2

g(t)= −

e−αtσ(t)×

Избирательная

K&(ω)

1

ωсв

=

×sin(ωсвt −Ψ )

цепь (последо-

ω2 −

2

2

вательный ко-

ω

лебательный

р

+1

2α −αt

2ωα

контур)

e

h(t)=

ωсв

sinωсвt σ(t)

(ω2

−ωр2 )

ϕ(ω)= −arctg

ωсв = ωр2 −α2

2ωα

					153
Таблица 6.4 − Частотные и временные характеристики простейших ЛЭЦ
(графические модели)
Электрическая цепь			Частотные характери-				Временные характеристи-
			стики ЛЭЦ					ки ЛЭЦ
Схема			АЧХ и ФЧХ				Переходная и импульсная
			K&(ω)				характеристики
RC =τ		1					g(t)
							1τ
R	C						0		t
		0				ω	h(t)
			ϕ(ω)				1
		0				ω
							0
			−π / 2						t
RC =τ		1	K&(ω)				g(t)
C							0		t
								1
	R
		0				ω	h(t)	τ
		π ϕ(ω)
		2
		0				ω	0		t
	R		K&(ω)			1	h(t)
α =
	2L						0		t
ωр =	1
	LC
L			−ωр	0	ωр	ω	g(t)
			ϕ(ω)
	R
						ω	0		t
C				0

154

Импульсная характеристика для третьей передаточной функции равна сумме двух комплексно-сопряженных вычетов или удвоенной реальной части одного из них (при сложении двух комплексно-сопряженных полюсов мнимые части сокращаются).

g

(t)= L−

2 pα

= Re s

+ Re s

= 2Re[Re s

],

3

2

p

1

(p

− p1)(p − p2 )

1

2 pα

(p − p )

2 p1α

Re s

= lim

e pt

=

e p1t

=

p1

(p − p1 )(p − p2 )

1

p1 − p2

p=p1

π

p1,2 =−α± jωсв

2α(−α + jω )

(−α+ jω )t

α α

2

+

2

−α t

ωсв

j

ωсвt+

−Ψ

=

св

e

св =

e e

2

,

2 jωсв

ωсв

где Ψ = arctg

ωсв

α

,

g

3(t)

=

−

2ωpα

e−α t sin(ω

св

t

− Ψ)

σ(t).

ωсв

Используя (6.17), рассчитаем переходные характеристики трех линейных цепей.

Переходная характеристика интегрирующей цепи равна

h1 (t)= L−

K

1

(p)

= L−

1 τ

= L−

1

−

1

= (1−e−α t ) σ(t)

p

p( p +1

τ)

p

p +α

Дифференцирующая цепь описывается переходной характеристикой

вида

h2 (t)= L− K2p(p) = L− p +11τ = e−t τ σ(t).

Переходная характеристика избирательной цепи определится следую-

щим образом:

h3 (t)= L− K3p(p) = L− (p − p12)(αp − p2 ) = 2 Re[Re s p1 ]=

2α

− 1

2α

p t

1

= 2 Re p

− p

L p − p

=

− p

e

2

2 Re p

2

=

1

2

1

α

−(α+ jω

)t

2α −α t

π

e

св

=

e cos(ωсвt −

) σ(t).

= 2 Re

jω

2

св

ω

св

155

6.4.3Расчет частотных и временных характеристик параллельного избирательного контура

Схема параллельного избирательного контура и его частотные характе-

ристики изображены на рисунке 6.8.

					АЧХ
	L				ФЧХ
i(t)	C	uк(t)	R
	R		0	1	ω ωp
					−π 2
	а)			б)

Рисунок 6.8 – Схема (а) параллельного контура и частотные (б) характеристики (АЧХ и ФЧХ)

На входе действует ток i(t), на выходе имеем напряжение u(t), поэтому системная функция цепи имеет размерность сопротивления [Ом]. Определим

входное сопротивление цепи в операторной форме записи.

1

pC

(pL + R)

p + 2α

Z ( p) =

=

C (p2 + 2 pα +ω2p ),

pL + R + 1 pC

где α = R

2L

− коэффициент затухания контура, ω

p

= 1

LC

− резонансная

частота.

Перейдем от Z (p) к комплексной функции частоты Z&(ω), заменив p на jω и разделив числитель и знаменатель на общий множитель j2ωα .

1

− j

1

ωp

Q

ω

Z&(ω)= Rрез

,

ω

ω

p

1 + jQ

−

ω

ω

p

где Q =

ωp

− добротность контура,

Rрез

=

Q

ωpC − резонансное сопро-

2α

тивление.

Частотные характеристики, а именно модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) комплексного входного сопротивления, определим по формулам

			156
Z&(n)		= Rрез	1 +1 (Qn)2
			1 + [(n − 1	n	) Q]2 ,

arg Z&(n)= −arctg 1Qn − arctg[(n − 1n) Q],

где n = ω	.
	ωp
На рисунке 6.8 изображены частотные характеристики параллельного
контура для добротности Q =10 .		g(t) и переходной h(t) характеристик резо-
Для расчета импульсной
нансного контура воспользуемся изображениями по Лапласу
	L[g(t)]= Z(p)	L[h(t)]= Z(p)
		p

Применим обратное преобразование Лапласа (5.11) и теорему о вычетах (5.48). Найдем полюсы функции Z ( p) ,приравнивая знаменатель к нулю.

p2 + 2 pα +ω2p = (p − p1 )(p − p2 )=0, p1,2 = −α ± jωсв,

где ωсв = ω2p −α2 − частота свободных (собственных) колебаний контура.

Полюсы p1 и p2 представляют собой комплексно−сопряженную пару,

поэтому вычеты будут комплексно−сопряженными функциями, суммирование которых приводит к удвоению реальной части и сокращению мнимой.

Re s1 + Re s2 = 2Re[Re s1].

Будем рассчитывать только один вычет (любой из комплексносопряженной пары).

Представим Z(p) в виде

Z(p)=

p + 2α

,

C(p − p )(p − p

2

)

1

Re s

= lim

p + 2α

(p − p

)e pt

=

C(p − p

)(p − p

)

1

p= p

2

1

1

1

p + 2α

p t

α

+ jω

св

(−α+ jω

)t

=

1

e 1

=

e

св

=

C(p − p

)

C

2

2 jω

св

1

α2 +ωсв2

e−α te j

ωсвt +Ψ−

π

e−α te j

ωсвt +Ψ−

π

=

2 =

ωp

2 ,

2Cωсв

2Cωсв

где Ψ = arctgωсв

α

.

157

Импульсную характеристику определим, взяв удвоенную реальную часть Re s1 .

g(t)=

ωp

e−α t sin(ωсвt + Ψ)= 2α

ωp

Rрез e−α t sin(ωсвt + Ψ) σ(t),

Cωсв

ωсв

ωp =

ωp

= 2Q

,

ωсв = 4Q2

−1 ,

ωсв

ω2p −α2

4Q2

−1

α

g(t)= 2α Rрез

2Q

e−α t sin(ωсвt + Ψ) σ(t).

4Q2 −1

Проведем расчет переходной характеристики параллельного контура

−

p + 2α

h(t)= L

.

C p(p − p

)(p − p

2

)

1

Анализируя знаменатель, видим, что, кроме двух комплексно − сопря-

женных полюсов p1 и p2 , появился третий p3 = 0 .

Re s

= lim

p + 2α

(p

− p

)e pt

=

C p(p

− p

)(p

− p

)

2

1

p= p

2

1

1

=

p1 + 2α

e

p t

=

α + jωсв

e

−α t

e

jω

св

t

=

1

C p

(p − p

2

)

C

(−α + jω

св

)

2 jω

св

1

1

2

2

t +2Ψ+

π

= α

1

e−α

te

j ω

+ωсв

св

2 ,

α2 +ωсв2

2Cωсв

1

2Re[Re s

]

= −

e−α t sin(ω

св

t + 2Ψ ),

1

Cωсв

p + 2α

2α

Re s

=

lim

(p − 0)e pt =

.

3

p(p

2

2

p= p

3

=0

2

C

+ 2 pα +ωp )

Cωp

Объединяя вычеты, получим

h(t)=

2α

1

−α t

sin(ωсвt +

σ(t).

−

e

2

ω

C

2Ψ)

св

Cωp

Замечание. Обращаем внимание,

что на размерностях импульсной и

переходной характеристик отразилась размерность системной функции контура (сопротивления)

[g(t)]=	Ом	[h(t)]=Ом
	сек

На рисунке 6.9 изображены временные характеристики параллельного избирательного контура

158

g(t)		1	h(t)
2αRрез		ωpC
		Rрез
	t	Q2	t
0		0
а)			б)

Рисунок 6.9 – Импульсная (а) и переходная (б) характеристики параллельного избирательного контура

	В заключение проверим выполнение предельных соотношений:
	lim h(t)= 0 ,				lim	Z(p)= 0,
	t→0	R			p→∞			R
	lim h(t)=		рез	,	lim Z(p)=	2α	=		рез	= R .
						Cω2p		Q2
		Q2
	t→∞				p→0

6.4.4Расчет частотных и временных характеристик последовательного избирательного контура

Схема последовательного избирательного контура и его частотные характеристики изображены на рисунке 6.10.

R	C	K&(n)	Q		АЧХ
		π			ФЧХ
		L			1
		π 2
		0		1	ω ωp
	а)			б)

Рисунок 6.10 – Схема (а) последовательного контура и частотные (б) характеристики

K(p)=	pL		p2
		=		,
	pL + R + 1 pC		p2 + 2 pα +ω2p

159

jQ

ω

(jω)2

K&(ω)=

=

ωp

,

2 jωα

+ω2

−

ω

2

ω

ωp

p

1

+ jQ

−

ω

ω

p

Q n

K&(n)

=

,

ϕ(n)=π 2 − arctg[(n −1 n) Q].

1 +[(n −1 n) Q]2

ωp

Здесь α = R

2L

, ω

p

= 1

LC

,

n = ω

ωp

, Q =

2α

.

Передрасчетомимпульснойхарактеристикиобращаемвниманиенато, что

lim K(p)=1.

p→∞

Разделив числитель на знаменатель, выделим из K(p) целую часть

K(p)=

p2 ± (2 pα +ω2p )

=1 −

2 pα +ω2p

.

p2 + 2 pα +ω2p

p2 + 2 pα

+ω2p

Учтем, что p2 + 2 pα +ω2 = (p − p )(p − p

2

)

, а p

и p

2

− комплексно−

p

1

1

сопряженные полюса p1,2 = −α ± jωсв

2 pα +ω

2

2 pα +ω

2

g(t)

= L− 1

−

p

=δ(t)− L−

p

=δ

(t)− 2Re[Re s ],

(p − p

)(p

− p

− p

)(p − p

2

)

(p

2

)

1

1

1

2

2

Re s

= lim

2 pα +ωp

(p − p )e pt

=

2α (−α + jωсв )+ωp

e(−α+ jωсв )t .

(p

− p1 )(p − p2 )

1

p=p1

1

2 jωсв

Подставляя ω2p −α2 =ωсв2 , получим

α

2

−

2

(−α+ jω

)t

Re s

= −

2 jωсв α −ωp

e

св

=

2 jω

1

св

= − (α − jωсв)2 e(−α+ jωсв )t = −

ω2p

e−α te j(ωсвt −2Ψ−π 2),

2 jωсв

2ωсв

где Ψ = arctgωсвα ,

ω2

g(t)=δ(t)+ 2ωpсв e−α t sin(ωсвt − 2Ψ) σ(t).

Расчет переходной характеристики не вызывает затруднений

160

− K

(p)

−

p

= 2Re[Re s ],

h(t)= L

= L

p

1

(p − p1 )(p − p1 )

Re s

=

lim

p

(p

− p )e pt

=

(p − p

)(p − p )

1

p= p

1

1

1

1

)

−α + jω

св

(−α+ jω

)t

ωp

−α

te

j(ω

св

t −Ψ+π

=

2 jωсв

e

св

=

e

2 ,

ωp

2ωсв

h(t)= −

e−α t sin(ωсвt − Ψ) σ(t),

где Ψ = arctgωсв

2ωсв

α

.

Проверим выполнение предельных соотношений:

lim K(p)= 0 ,

lim h(t)= 0 ,

p→0

t

→∞

lim h(t)=

ωp

sin Ψ =

lim K(p)=1,

t→0

ωсв

ωp

ωp

p→∞

ω

св

ω

св

α

=

sin arctg

=

=1.

ωсв

α

ωсв

1+(ωсв α)2

Проверим правильность связи между переходной и импульсной характеристиками

g(t)= h′(t)= − ωp {[e−α tσ(t)]sin(ωсвt − Ψ)}′,

ωсв

g(t)= − ωp {[−α e−α t σ(t)+δ(t) e−α t ]sin(ωсвt − Ψ)+

ωсв

+[ωсв cos(ωсвt − Ψ)][e−α tσ(t)]}=

=− ωp {−δ(t)sin Ψ + e−α t [ωсв cos(ωсвt − Ψ)−αsin(ωсвt − Ψ)]}=

ωсв

ω2

=δ(t)+ 2ωpсв e−α t sin(ωсвt − 2Ψ) σ(t).

На рисунке 6.11 изображены временные характеристики последовательного контура

ω2

lim g(t)= − p sin 2Ψ = −2α .

t→+0 ωсв