ртцис

231

Переходя к спектральным плотностям комплексных огибающих физи-
ческого A&(t) и сопряженного A& (t) сигналов, получим
υ
A& (ω)= − jA&(ω).	(10.46)

υ

Физический узкополосный радиосигнал представляет собой сумму квадратурных составляющих (10.4)

s(t )= Re[A&(t)e jωot ]= Re{[Ac (t)+ jAs (t)] (cosωot + j sinωot)}= = Ac (t) cosωot − As (t) sinωot .

Сигнал, сопряженный по Гильберту, − также узкополосный. Он будет иметь комплексную огибающую, отличающуюся умножением на (− j).

A&	(t)= − j[A&(t)]= A	(t)− jA (t).	(10.47)
υ	s	c

υ(t)= Re[A&υ (t)e jωot ]= Re{[As (t)− jAc (t)] (cosωot + j sinωot)}= = As (t) cosωot + Ac (t) sinωot .

Этот же результат можно получить другим путем.

Если ωo >ωmax , то комплексная функция [A&(t)e jωot ]является аналити-

ческим сигналом, т.к. ее спектр расположен только в области положительных частот, т.е.

Z&(t)= A&(t)e jωot = s(t)+ jυ(t).

(10.48)

Представим аналитический сигнал суммой действительной и мнимой частей

Z&(t)=[Ac (t)+ jAs (t)] [cosωot + j sinωot]=

										(10.49)
= A	(t)cosω	t − A	(t)sinω	t + j A		(t)sinω	t + A	(t)cosω	t .
c	o	s	o		c	o	s	o
144442444443					144442444443
		s(t )					υ(t )

Выполняя расчет огибающей, полной фазы и мгновенной частоты, получим:

A(t)= s2 (t )+υ2 (t)=					Ac2 (t )+ As2 (t);						(10.50)
Ψ(t)= arctg	υ(t )					As	(t)
			=ωot + arctg					;			(10.51)
	s(t )					A	(t)
						c
′		As′		(t) Ac (t)− Ac′ (t) As (t)						.	(10.52)
				A2 (t)+ A2 (t)
ω(t )= Ψ (t)=ωo	+
				s	c

Пример 10.2

Рассчитать огибающую, полную фазу и мгновенную частоту идеального полосового сигнала, спектр которого ограничен интервалом частот

[ω1,ω2 ].

232

				S(ω)		So
а)
	−ω2 −ω1			0		ω1		ω2		ω
				Z (ω)		2So
б)
				0		ω1		ω2		ω

Рисунок 10.9 – Спектральное представление физического (а) и аналитического (б) сигналов

Спектральной плотности Z (ω), изображенной на рисунке 10.9 б), соот-

ветствует аналитический сигнал Z&(t)

Z&(t) = Sπo ω∫2e jω t = πSot [(sinω2t −sinω1t)− j(cosω2t − cosω1t)].

ω1

Физическая огибающая исходного полосового сигнала совпадает с огибающей аналитического сигнала

So

− cosω t)2 = So (ω2 −ω1)

sin ω2 −ω1 t

A(t) =

(sinω

2

t −sinω t)2

+ (cosω

2

t

2

.

π t

1

1

π

ω2 −ω1

t

2

Полная фаза полосового сигнала определится по формуле (10.51)

cosω2t − cosω1t

2 sin

ω2t +ω1t

sin

ω2t −ω1t

ω1 +ω2

Ψ (t) = −arctg

= arctg

2

2

=

t.

sinω2t −sinω1t

2 cos

ω2t +ω1t

sin

ω2t −ω1t

2

2

2

Наконец, мгновенная частота сигнала равна

ω(t) =

d

Ψ(t) =

ω1 +ω2

=ωo .

dt

2

Мгновенная частота не зависит от времени и равняется центральной частоте того интервала, в котором сосредоточен спектр.

233

10.5 Выводы

1.Узкополосные сигналы занимают диапазон частот, ширина которого значительно меньше центральной частоты. Узкополосные сигналы называют квазигармоническими, т.к. ихогибающая ичастотамедленноменяются вовремени.

2.Узкополосные сигналы удобно представлять через квадратурные компоненты, а огибающую и фазу – через комплексную огибающую. Понятие комплексной огибающей обобщает понятие комплексных амплитуд гармонических колебаний. Комплексная огибающая объединяет все “медленные” процессы и является низкочастотным эквивалентом узкополосного радиосигнала.

Физическая огибающая узкополосного сигнала равна модулю комплексной огибающей и не зависит от значения центральной частоты.

Обобщенная фаза узкополосного сигнала равна сумме аргумента комплексной огибающей и линейного слагаемого, значения которого прямо пропорционально центральной частоте.

3.Квадратурная обработка узкополосных сигналов позволяет найти огибающую и фазовый угол узкополосного процесса.

Определение закона изменения фазового угла с помощью квадратурной обработки характеризуется линейно нарастающей погрешностью, если опорная частота приемника не совпадает с центральной частотой спектра сигнала.

4.Определение огибающей и фазы с помощью аналитического сигнала не зависит от центральной частоты. Аналитический сигнал имеет мнимую и вещественную части, связанные парой преобразований Гильберта. Физический узкополосный сигнал равен реальной части аналитического сигнала. Спектр аналитического сигнала лежит полностью в области положительных

частот. Спектр комплексно−сопряженного аналитического сигнала лежит полностью в области отрицательных частот.

5.Модуль и аргумент аналитического сигнала называют огибающей и обобщенной фазой узкополосного процесса по Гильберту.

Огибающая по Гильберту совпадает с физической огибающей в том случае, если комплексная огибающая сигнала характеризуется ограниченным спектром, причем верхняя частота в спектре огибающей меньше центральной частоты узкополосного сигнала.

Мгновенная частота узкополосного сигнала равна производной от аргумента аналитического сигнала.

6.Преобразователь (фильтр) Гильберта, связывающий между собой физически узкополосный сигнал и сигнал, сопряженный по Гильберту, пред-

ставляет собой частотно−независимый фазовращатель, который осуществляет поворот фазы всех гармонических колебаний на одинаковый угол −π 2 .

Операции, связанные с преобразованиями Гильберта, становятся физически реализуемыми и существенно упрощаются, если узкополосный сигнал представлен квадратурными компонентами.

234

11 МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ УЗКОПОЛОСНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ

11.1Понятие низкочастотного эквивалента избирательной цепи

При передаче информации на расстояние широкое применение получил способ частотного разделения сигналов. Для этой цели применяются узкополосные сигналы, которые занимают полосу частот много меньше некоторой центральной частоты ω0. Выделение нужного сигнала при приеме осуществляется с помощью частотно-избирательных цепей, полоса пропускания которых располагается в окрестности резонансной частоты ωР. Примером простейших полосовых фильтров являются последовательные и параллельные контуры. Анализ прохождения узкополосных сигналов через избирательные цепи существенно упрощается при использовании комплексных огибающих узкополосных процессов, анализу которых посвящена предыдущая глава.

В комплексной форме можно представить не только узкополосный сигнал, но и импульсную характеристику избирательной цепи

&	jωPt	],	(11.1)
g(t)=Re[G(t) e

где G&(t) – комплексная огибающая импульсной характеристики; e jωPt - быстро осциллирующая функция времени;

ωP - резонансная частота контура, близкая к частоте свободных колебаний.

Комплексную огибающую G&(t) называют низкочастотным эквивалентом импульсной характеристики избирательной цепи.

По аналогии с сигналом импульсную характеристику цепи можно описать полусуммой комплексно-сопряженных функций

g(t)= 12 G&(t) e jωPt + 12 G&*(t) e− jωPt .

(11.2)

Применение прямого преобразования Фурье к (11.2), позволяет получить комплексную передаточную функцию избирательной цепи в виде суммы комплексно-сопряженных составляющих, смещенных в окрестность точек

± ωР.

235
Φ[g(t)]= K&(ω)= K&(ω −ωP )+ K&*(ω +ωP ),		(11.3)
где
K&(ω −ωP )= 1 G&(ω −ωP ),		(11.4)
2
K&*(ω +ωP )= 1 G&*(ω +ωP ).		(11.5)
2	(t) сосредоточена
Спектральная плотность комплексной огибающей G&

внутри полосы пропускания в окрестности резонансной частоты и быстро затухает по мере удаления от нее. Поэтому для высокодобротных избиратель-

ных систем взаимным влиянием комплексно-сопряженных слагаемых						К&(ω)
можно пренебречь			1
	K&	(ω −ωP )=			G&(ω −ωP ),ω < 0,
K&(ω)=			2			(11.6)
K&*		(ω +ωP )=	1		G&* (ω +ωP ),ω > 0.
			2

Низкочастотным эквивалентом (НЧ - эквивалентом) избирательной цепи называют воображаемую цепь, комплексная передаточная функция которой получается путем смещения одной из двух комплексных компонент, на-

пример, K&(ω −ωP ) из окрестности частоты ωР в окрестность нуля. Для пере-

хода к НЧ - эквиваленту достаточно выполнить в (11.4) замену переменных

ω =ωP +Ω

K&НЧ (Ω)=	1 G&	(Ω).	(11.7)
	2

Импульсная характеристика НЧ - эквивалента с точностью до постоянного множителя 12 совпадает с комплексной огибающей импульсной харак-

теристики избирательной цепи	1 G&
gНЧ (t)= Φ−[K&НЧ (Ω)]=		(t).	(11.8)
	2

11.2 Расчет НЧ – эквивалентов простейших колебательных цепей

Простейшие последовательные и параллельные колебательные контуры изучают в курсе «Основы теории цепей».

Частотные характеристики избирательных цепей зависят от главного параметра, называемого обобщенной расстройкой.

236

	ω		ω
ξ = Q		−		P .	(11.9)
	ωP
			ω

От точной модели обобщенной расстройки легко перейти к приближенной, т.к. в пределах полосы пропускания контура текущая частота ω практически не отличается от резонансной ωР, т.е. ω + ωР ≈ 2ω.

ξ = Q	(ω −ωP )(ω +ωP )≈ 2	Q	(ω −ωP ).	(11.10)
	ω ωP	ωP

Пример 11.1 − Расчет НЧ-эквивалента последовательного колебательного контура.

	L	uL(t)
u(t)	R	uR(t)
	C	uC(t)

Комплексные передаточные функции трех возможных вариантов построения последовательного колебательного контура запишутся в виде:

Рисунок 11.1

K&R (ω)=

K&L (ω)=

K&C (ω)=

R				=
	1
R + j ωL −
	ωC
jωL			=
	1
R + j ωL −
	ωC
1 jωC					=
	1
R + j ωL −
	ωC

			1							,
				ω		ω	P
1		+ jQ			−
			ωP			ω
		jω L			R				,
1				ω	−	ω
		+ jQ					P
			ωP			ω
		j	1
				ωCR							.
				ω	−	ω
1 + jQ							P
				ωP		ω

Переходя от точной модели обобщенной расстройки к приближенной, получим смещенную в точку ωР составляющую каждой из трех комплексных передаточных функций.

237

K&R (ω −ωP )≈

1

=

α

,

2Q

(ω −ωP )

α + j(ω −ωP )

1 + j

ωP

K&L (ω −ωP )≈

jQ

= jQ

α

,

2Q

(ω −ωP )

α + j(ω −ωP )

1 + j

ωP

K&C (ω −ωP )

≈ −

jQ

= − jQ

α

,

2Q

(ω −ωP )

α + j(ω −ωP )

1 + j

ωP

где

α =ωP

2Q

, ωL

R

≈

ωP L

= Q ,

1

≈

1

= Q .

R

ωCR

ωPCR

Выполняя замену переменных ω =ωP + Ω, найдем НЧ – эквиваленты

трех цепей. Пользуясь обратным преобразованием Фурье, рассчитаем импульсные характеристики.

K&R

(Ω)=

α

,

gR

(t)=α e−α t , t ≥ 0 .

НЧ

α + jΩ

НЧ

K&L

(Ω)= jQ

α

,

gL

(t)= jQα e−α t , t ≥ 0 .

НЧ

α + jΩ

НЧ

K&C

(Ω)= − jQ

α

,

gС

(t)= − jQα e−α t , t ≥ 0 .

НЧ

α + jΩ

НЧ

Все три НЧ – эквивалента с точностью до постоянного множителя совпадают с простейшим фильтром нижних частот первого порядка. На рисунке

11.2 изображены	частотные характеристики	трех моделей K&С(ω),
K&С(ω −ωP ), K&СНЧ	(Ω) (Расчет выполнен для Q=5 специально, чтобы показать

поведение частотных характеристик, не меняя масштаба).

238

K&(ω)	K(ω)

K&(ω −ωp )

а)

−ω K&*(ω +ωp )=	1	G&*(ω +ωp ) 0	K&(ω −ωp )=	1		G&	(ω −ωp )	ω
	2
				2

б)

−ω 0 ωсв ≈ωp ω

KНЧ (Ω)

в)

ω =ωp + Ω

− Ω

0

Ω

Рисунок 11.2 – Частотные характеристики избирательных цепей: а) амплитудно-частотная характеристика; б) представление комплексной передаточной функции суммой двух комплексно-сопряженных составляющих;

в) низкочастотный эквивалент избирательной цепи

11.3Расчет НЧ – эквивалента произвольной частотноизбирательной цепи

Коэффициент передачи полосового фильтра в операторной форме записи представляет собой дробно-рациональную функцию вида

K(p)=	H1		(p)		=			H1		(p)					,	(11.11)
			(p)			(p − p	)(p − p					)(p − p		)...
	H	2						2	)(p − p		3		4
						1

где p1, p3 – комплексные полюса, расположенные во второй четверти р – плоскости;

239

p2, p4 – комплексно-сопряженные полюса, расположенные в третьей четверти р – плоскости.

Представим K(p) суммой простых дробей

		N				1
K(p)= ∑An (pn )										,	(11.12)
		n=1				p − pn
где N – количество полюсов, составляющих комплексно-сопряженные пары.
			H1(p)
А (p	n	)=			(p − p		n	)			(11.13)
n			H2 (p)						p=pn

Разложение передаточной функции на простые дроби позволяет расформировать K(p) на две подгруппы K+(p) и K−(p), одна из которых K+(p)

объединяет нечетные полюса, а другая – четные (комплексно-сопряженные полюса).

K(p)= K+(p)+ K−(p).

(11.14)

Индексы (+) и (-) соответствуют положительным и отрицательным частотам.

N

K+(p)= ∑2 A2n−1(p2n−1 )

1

,

(11.15)

n=1

N

p − p2n−1

K−(p)= ∑2 A2n (p2n )

1

.

(11.16)

p − p2n

n=1

Отбрасывая K−(p), переходим к так называемой укороченной функции

N

K+(p)= ∑2 A2n−1(p2n−1 )

1

.

n=1

p − p2n−1

Заменяя

р

на

jω

и

подставляя

значения

полюсов

p2n−1 = −α2n−1 + jω2n−1 ,

получаем математическое описание частотной ха-

рактеристики, смещенной в окрестность центральной частоты ωЦ

K&НЧ (ω −ωЦ )

N 2

1

= ∑A2n−1(−α2n−1

+ jω2n−1 )

(11.17)

jω + −(−α

2n−1

+ jω

2n−1

)

n=1

240

Выполняя замену переменных ω =ωЦ + Ω, получим НЧ – эквивалент избирательной цепи

	N 2			1
	K&НЧ (Ω)= ∑A2n−1	(−α2n−1	+ jω2n−1 )			.	(11.18)
				jΩ +α2n−1 + j(ωЦ −ω2n−1 )
	n=1

Пример 11.2 − Расчет НЧ – эквивалента параллельного избирательного контура, рассмотренного в подразделе 6.4.3

L

C

R

Рисунок 11.3

Воспользуемся найденной в подразделе 6.4.3 системной функцией параллельного контура в операторной форме записи

Z (p)=			p + 2α	=	p + 2α			,
	p	2	2		(p − p )(p − p	2	)
			+ 2 pα +ωP	1

где p1 , p2 = −α ± α 2 − ωP2 ≈ −α ± jωP .

Представим Z(p) суммой простых дробей.

Z (p)= Z+(p)+ Z−(p)= A1(p1 ) p −1 p1 + A2 (p2 ) p −1 p2 .

Отбрасывая Z−(p), перейдем к укороченной функции Z+(p)

Z+(p)= A1(p1)p −1 p1 .

Коэффициент A1(p1 ) найдем по формуле (11.13)