ртцис

141

6.2Методы алгебраизации дифференциального уравнения электрического равновесия

6.2.1 Метод комплексных амплитуд (МКА)

Суть метода заключается в том, что вместо произвольных вещественных сигналов x(t) и y(t) на входе и выходе ЛЭЦ рассматриваются ком-

	&			&
плексные гармонические сигналы x(t) и				y(t) вида
	&		jωt
x(t)= X m e
&				,	(6.5)
	&	jωt
&
y(t)=Ym e

где X&m и Y&m - комплексные амплитуды гармонических сигналов произвольной частоты ω .

&		jϕx
X m = X m e
&	jϕy		.
Ym =Ym e

Подставляя в дифференциальное уравнение (6.4) (6.5), получим алгебраическое уравнение

(6.6)

комплексные модели

[αo +α1			(jω)+α2 (jω)2 +K+αn (jω)n ] X&m e jω t =
			(6.7)
= [βo + β1 (jω)+ β2 (jω)2 +K+ βm (jω)m ]Y&m e jω t ,
где								(X&m e jωt )=α1 (jω) X&m e jωt ;
α1		d		x&(t)=α1		d
		dt				dt
αn	d n		x&(t)=αn		d n			(X&m e jωt )=αn (jω)n X&m e jωt .
	dtn
					dtn

Таким образом, n-кратное дифференцирование комплексного гармонического сигнала по времени приводит к умножению комплексной амплитуды

X&m на множитель(jω)n . Комплексная функция e jωt входит в качестве со-

множителя в правую и левую части алгебраического уравнения и не оказывает влияния на решение.

Выразим отношение комплексных амплитуд через параметры цепи.

142

Y&

α

o

+α

(jω)+α

2

(jω)2 +K+α

n

(jω)n

(ω).

m

=

1

= K&

(6.8)

β

+ β

(jω)+ β

(jω)2 +K+ β

(jω)m

X&m

o

2

m

1

Получившаяся комплексная функция K&(ω) называется системной функцией ЛЭЦ. Системная функция цепи K&(ω) связывает комплексные амплитуды гармонических сигналов на входе и выходе линейной цепи

Y&	= K&(ω) X&	m	.	(6.9)
m

K&(ω) зависит не только от частоты, но и от параметров электрической цепи, входящих в постоянные коэффициентыαn , βm .

Если сигналы x&(t) и y&(t) представляют собой одноразмерные комплексные модели гармонических напряжений, то функция частоты K&(ω) называет-

ся комплексной передаточной функцией.

В инженерных расчетах комплексную передаточную функцию K&(ω) находят методами теории цепей, не прибегая к составлению дифференциальных уравнений.

Пример 6.4

Применяя метод комплексных амплитуд, рассчитаем комплексную передаточную функцию ЛЭЦ, изображенной на рисунке 6.2

1) Обходя внешний контур ЛЭЦ, получим алгебраическое уравнение

вида

Y&m = X&m − I&mR − jω1C I&m .

2) Обходя входной контур ЛЭЦ, установим связь комплексными амплитудами

U&m = X&m − I&mR ,

I&m = R1 (X&m −U&m ),

3) Учтем инвертирующий характер масштабного усилителя

Y&m = −K U&m или U&m = − K1 Y&m .

4) Составим алгебраическое уравнение электрического равновесия, связывающее между собой комплексные амплитуды сигналов на входе и выходе ЛЭЦ.

143

&

1

&

1

&

1

&

Y

= −

K

Y

−

X

m

+

K

Y

,

m

m

jωCR

m

&

1

1

1

&

Ym 1 +

K

−

jωCRK

= −

jωCR

X m ,

K&(ω)=

X&1m

= −

K

.

X&m

(K +1)jωRC −1

Представим комплексную передаточную функцию в показательной форме, связывающей между собой модуль и аргумент, называемые в теории цепей амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками ЛЭЦ.

K&(ω) = K&(ω) eiϕ(ω),

	где K&(ω)=	K	− АЧХ,
		1 + (K +1)2
			(ωRC)2

ϕ(ω)= arctg(K +1)ωRC − ФЧХ.

На рисунке 6.4 изображены амплитудно-частотные характеристики линейной цепи (рисунок 6.2), содержащей масштабный усилитель с различными коэффициентами усиления

K(ω)

K	1	K=1
			K=2
0.707			K=10
0.55
0.45
0.32
0.18
0.09
0		0.5 RC	1RC	ω
				2 RC

Рисунок 6.4 – Амплитудно-частотная характеристика ЛЭЦ, изображенной на рисунке 6.2

144

6.2.2 Частотный метод

Частотный метод базируется на представлении входного и выходного сигналов их спектральными плотностями.

В основе метода лежит применение прямого преобразования Фурье к правой и левой части дифференциального уравнения (6.4).

(α

o

+α

(jω)+α

2

(jω)2 +K+α

n

(jω)n +K) X&(ω)=

1

(6.10)

= (β

(jω)+ β

(jω)2

o

+ β

2

+K+ β

m

(jω)m +K) Y&(ω),

1

где Φ[x(t)]= X&(ω)- спектральная плотность входного сигнала; Φ[y(t)]=Y&(ω)- спектральная плотность выходного сигнала.

В результате применения теорем о спектрах получены соотношения

	d				&
Φ α1		x(t) =α1 (jω) X (ω),
	dt	&
	d n				n	&
Φ αn				x(t)	=αn (jω)	X (ω).
	dtn			&

Алгебраическое уравнение (6.10) связывает между собой спектральные плотности входного и выходного сигналов.

Y&(ω)= X&(ω)

α

o

+α (jω)+α

2

(jω)2 +K+α

n

(jω)n

1

.

(6.11)

β

o

+ β (jω)+ β

2

(jω)2 +K+ β

m

(jω)m

1

Спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи Y&(ω) равна произведению спектральной плотности сигнала на входе X&(ω) на комплексную передаточную функцию цепи K&(ω) .

Y&(ω)= K&(ω) X&(ω).

(6.12)

Частотный метод можно рассматривать как предельный переход от рядов Фурье к преобразованиям Фурье.

145

6.2.3 Операторный метод

Операторный метод основывается на представлении входного и выходного сигналов их изображениями по Лапласу.

Суть метода состоит в применении прямого преобразования Лапласа к правой и левой части дифференциального уравнения (6.4)

(α

o

+α p +α

2

p2 +K+α

n

pn +K) X (p)=

1

(6.13)

= (β

+ β p + β

p2

o

2

+K+ β

m

pm +K) Y (p),

1

где L[x(t)]= X (p) − изображение по Лапласу входного сигнала; L[y(t)]=Y (p) − изображение по Лапласу выходного сигнала;

L	α				d		y(t)	=α pY (p);
		1		dt				1
			d		n			=αn pnY (p).
L αn							y(t)
			dtn

Алгебраическое уравнение (6.13) связывает между собой изображения по Лапласу двух сигналов на входе и выходе ЛЭЦ. Изображение по Лапласу сигнала на выходе ЛЭЦ Y( p) равно произведению изображения сигнала на

входе X ( p) на передаточную функцию цепи K( p)	в операторной форме за-
писи
Y (p)= X (p) K(p),	(6.14)

где K( p) - передаточная функция ЛЭЦ в операторной форме записи.

K(p)=

α

o

+α p +α

2

p2 +K+α

n

pn +K

1

(6.15)

β

o

+ β p + β

2

p2 +K+ β

m

pm +K

1

Пример 6.5

Применяя прямое преобразование Лапласа, определим передаточную функцию ЛЭЦ, изображенной на рисунке 6.3

+

d 2

R d

R2

+ R d

L

y(t)+ 3

y(t)+

y(t)

= L

x(t)

,

dt2

L dt

L2

L dt

146

R

R

2

R

Y (p) p2 + 3

p +

=

p X (p),

L

L2

L

Y (p)= K(p) X (p),

R

p

K(p)=

L

.

p2 + 3

R

p +

R2

L

L2

6.3 Анализ взаимодействия линейной цепи с сигналами, описываемыми обобщенными функциями

Представим себе линейную систему с нулевыми начальными условиями. Кроме того, положим, что сигналы на входе и выходе системы одноразмерны.

Рассмотрим в качестве входных сигналов идеальные обобщенные модели: дельта-функциюδ(t) и единичный скачок σ(t) (рисунок 6.5).

6.3.1 Импульсная характеристика цепи

Отклик линейной системы с нулевыми начальными условиями на воздействие δ -функции называется импульсной характеристикой g(t). На ри-

сунке 6.5 формально изображены две линейные системы, безразмерная передаточная функция каждой из них равна K( p) .

δ(t)		g(t)		σ(t)		h(t)
	K(p)				K(p)
	а)				б)

Рисунок 6.5 – Представление импульсной (а) и переходной (б) характеристик

Импульсная характеристика – такая же идеализация, как и порождающая ее δ − функция. Размерность импульсной характеристики совпадает с размерностью δ −функции, т.е. обратна размерности времени.

С физической точки зрения импульсная характеристика приближенно отображает реакцию системы на входной импульсный сигнал единичной площади при условии, что эффективная длительность δ − образующей функ-

147

ции много меньше эффективной длительности импульсной характеристики системы.

Изображение по Лапласу импульсной характеристики совпадает с передаточной функцией K( p) , так как изображение δ − функции равно 1.

Таким образом, импульсная характеристика g(t) и передаточная функция цепи K( p) связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Лапласа:

∞			− pt
K(p)= L[g(t)]= ∫g(t)e					dt
0							6.16
		c+ j∞				.
g(t)= L−[K(p)]=	1
			∫	K(p)e pt dp
	2πj
		c− j∞

6.3.2. Переходная характеристика цепи

Отклик линейной системы с нулевыми начальными условиями на воздействие единичного скачка называется переходной характеристикой h(t) .

Единичный скачок – функция безразмерная, поэтому переходная характеристика также безразмерна.

Изображение по Лапласу входного единичного скачка равно 1 p .

Переходная характеристика h(t) , ее изображение H ( p) и передаточная функция цепи K( p) связаны между собой следующим образом:

K(p)

∞

− pt

H (p)= p

= ∫h(t)e

dt

0

6.17

− K(p)

1 c+ j∞ K(p)

.

pt

h(t)= L

=

∫

e

dp

p

2πj

p

c− j∞

Изображения по Лапласу и оригиналы испытательных сигналов и соответствующих им временных характеристик представлены в таблице 6.2 .

148

Таблица 6.2 – Испытательные сигналы и временные характеристики ЛЭЦ (изображения и оригиналы)

Название		Изображение по Лапласу					Оригинал
δ − функция			L[δ(t)]=1				δ(t)= L−[1]
Единичный скачок			L[σ(t)]=		1	p	−		1
							σ(t)= L			p
Импульсная	характе-	L+[g(t)]= K(p)					g(t)= L−[K(p)]
ристика
Переходная	характе-	+	[h(t)]=	K(p)			− K(p)
ристика		L				p	h(t)= L				p

Переходная и импульсная характеристики существуют только при t ≥0 , так как отклики не могут опережать воздействия. Переходная и импульсная характеристики связаны между собой так же, как и входные воздействия, а именно:

	t						t
σ(t)= ∫δ(τ)dτ				(6.18);	h(t)= ∫g(τ)dτ						(6.19)
	−∞					−∞				.
δ(t)=	d	σ(t)			g(t)=		d		h(t)
							dt
	dt
В заключение,			пользуясь свойствами преобразований Лапласа, запишем

предельные соотношения, связывающие между собой передаточную функцию K( p) и переходную характеристику h(t) .

		t		t
lim K(p)= lim		∫h′(τ) e− pτ dτ = ∫h′(τ) lim e− pτ dτ = lim h(t),
p→0	p→0	0	0		p→0	t→∞
	lim		p H (p)= lim K(p)= lim h(t)
	p→0		p→0		t→∞		(6.20)
	lim		p H (p)= lim			.
				K(p)= lim h(t)
	p→∞		p→∞		t→0

m ≥n.

149

6.3.3 Передаточная функция цепи

Сравнивая между собой выражения K( p) иK&(ω) (соответственно фор-

мулы (6.15) и (6.8)), необходимо заметить, что это не просто замена переменных jω = p , а переход с мнимой оси ( jω) на всю плоскость комплексных

частот p = c + jω .

Передаточная функция K( p) представляет собой отношение полиномов целых положительных степеней p , где

K(p)= BA((pp)).

Корни уравнения A( p) =0 называют нулями передаточной функции и обозначают po1, po2 , po3… . Корни уравнения B( p) =0 называют полюсами передаточной функции и обозначают p1 , p2 , p3 … . Функция K( p) аналитична

на всей плоскости p ,		за исключением конечного числа точек, являющихся
корнями знаменателя B( p) , то есть полюсами.
Преобразовав числитель A( p)			и знаменатель					B( p) , получаем нуль-
полюсное представление передаточной функции
K(p)= M	o	(p − po1)(p − po2 )K(p − poL )						,
		(p − p )(p − p		2	)K(p − p	N	)
		1

где L − число нулей;

N− число полюсов.

6.4Практическое приложение к шестой главе

6.4.1 Расчет передаточных функций линейных цепей

Рассмотрим три простейшие цепи, изображенные на рисунке 6.6

R	C	L
C	R	R
		C
a)	б)	в)

Рисунок 6.6 − Простейшие цепи: а)−интегрирующая; б)−дифференцирующая; в)−последовательный колебательный контур

150

Запишем передаточные функции трех цепей с учетом обозначений

RC =τ , R

L

= 2α , ω

p

= 1

LC

,

1

K (p)=

, при τ →∞ K (p)≈ 1 ,

1

pτ +1

1

pτ

K2

(p)=

pτ

, при τ →0 K2 (p)≈ pτ ,

pτ +

1

K3

(p)=

2 pα

, где

α <<ωp .

p2 +

2 pα +ωр2

На рисунке 6.7 показано расположение нулей и полюсов на p-плоскости для трех передаточных функций

jω

jω

p1

jω

p1

p1

po1

x

jωр

x

x

α = 0

c

c

−α

c

−α

−α

α =ω

р

x

j

− jω

− jω

p2

− jω

2

a) p = −α

б) p = −α

в) p = −α ± α2 −ω

1

1

1,2

р

po1 = 0

po1 = 0

Рисунок 6.7 − Полюсы (×) и нули (0) трех передаточных функций

K1( p) , K2( p) , K3( p)

Коэффициенты αn и

βm передаточной функции

K( p)

вещественны,

поэтому нули и полюса либо вещественны, либо образуют комплексносопряженные пары. Для случаев, когда нули и полюсы располагаются на действительной оси, существует графоаналитический прием – метод Боде, позволяющий изобразить АЧХ и ФЧХ линейной цепи с помощью графиков

функции 20 log10 K&(ω).

Однако, в настоящее время этим методом практически не пользуются, так как применение компьютерной техники позволяет рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ любой цепи. В таблицах 6.3 и 6.4 приведены частотные и временные характеристики простейших электрических цепей.