ртцис

181

На рисунке 7.8 представлена графическая интерпретация процесса наложения решений.

Пример 7.5

Применяя формулы интегрирования Дюамеля, рассчитать прохождение сигнала, изображенного на рисунке 7.9, через дифференцирующую RC −цепь. Передаточная функция и временные характеристики анализируемой цепи приведены в таблице 6.3.

K ( p) =

p

, h(t ) = e−αtσ(t ) , g(t ) =αe−αtσ(t ) +δ(t ) .

p +α

Рассмотрим первый способ наложения решений. Для этого представим

данный сигнал суммой элементарных составляющих:

s(t ) = E tσ(t ) −

E (t

−T )σ(t

−T ) .

T

T

C

E

s(t)

sвых(t)

s(t)

R

sвых(t)

0

T

t

Рисунок 7.9

Для расчета отклика цепи на воздействие первой составляющей целесообразно воспользоваться формулой (7.19), т.к. дифференцирование сигнала приводит к упрощению выражения, а именно:

t

E

′

−α(t −τ )

E

−αt

1

ατ

t

E

−αt

sвых1

(t ) =

τ

e

dτ =

e

e

=

(1

− e

) , t ≥0 .

∫ T

T

α

0

αT

0

Вторая составляющая воздействия отличается знаком и сдвинута на интервал времени T , поэтому без расчета записываем вторую составляющую отклика

	s	(t ) = −		E		(1 − e−α(t −T ) ) , t ≥T .
	вых2		αT
	Объединяя решения, составляем поинтервальное описание выходного
	сигнала:				E
	s	вых1	(t ) =					(1 − e−αt ) , 0 ≤t ≤T ,
	sвых(t ) =			αT
										E
											(1 − e−α(t −T ) ), t ≥T .
	s	вых1	(t ) + s				вых2		(t ) = −
									αT

182

Рассмотрим второй способ наложения решений. Для этого воспользуемся поинтервальным описанием входного воздействия.

E	t	, 0 ≤t ≤T
s(t ) = T

E , t ≥T

Учитывая нулевые начальные условия, определяем отклик на интервале времени 0 ≤t ≤T .

sвых(t ) =

t

E

′

−α(t −τ )

E

−αt

1

ατ

t

E

−αt

τ

e

dτ =

e

e

=

(1

− e

) , 0

≤t ≤T .

∫ T

T

α

0

αT

0

Рассчитываем отклик на интервале времени t ≥T .

	T	E	′ −α(t −τ )			t	′ −α(t −τ )
sвых (t ) =	∫ T			e	dτ +	∫	(E ) e	dτ , t ≥T .
	0		τ			T

Второе слагаемое в условиях этой задачи равно нулю, поэтому

sвых(t )=

E

−αt

1

ατ

T

E

αT

−αt

e

e

0

=

(e

−1)e

, t ≥T .

T

αT

α

Таким образом, решение задач методами временного интегрирования позволяет получить результат более коротким путем.

7.5 Практическое приложение к седьмой главе

7.5.1Расчет реакции дифференцирующий RC - цепи на включение

гармонического сигнала

Расчет реакции дифференцирующей RC−цепи на включение гармонического сигнала

s(t) = Aoσ(t) cos(ωot +ϕo ) . 1) Определяем изображение входного сигнала.

∞

S( p) = ∫Ao cos(ωot +ϕo )e− pt dt =

0

∞

− pt

∞

− pt

p cosϕo −ωo sinϕo

= ∫Ao cosϕo cosωot e

dt − ∫Ao sin

ϕo sinωot e

dt = Ao

.

p

2

2

0

0

+ωo

2) Находим передаточную функцию дифференцирующей RC−цепи

K ( p) =

R

=

p

,

R +

1

1

pC

p +

τ

183

где τ = RC .

3) Рассчитываем изображение сигнала на выходе цепи

Sвых( p) = S( p) K ( p) .

4. Определяем оригинал (отклик цепи на гармоническое воздействие)

				( p cosϕo −ωo sinϕo )				p
s	вых	(t) = L− A								.
									1
			o	( p	2	2		( p +
						+ωo )			τ)

Приравнивая нулю знаменатель, находим полюса

( p2 +ω2 )( p + 1				) = 0 ,
p2 +ω2		o	τ
	= 0	,	p = −α ± jω		o	,
o			1,2
p +	1	= 0 , p = − 1 .
	τ		3	τ

Решение представляет собой сумму трех вычетов, два из которых представляют собой комплексно – сопряженные функции, т.е.

sвых(t) = Re s1 + Re s2 + Re s3 = 2Re[Re s1]+ Re s3 .

С другой стороны, выходной сигнал равен сумме свободной и вынужденной составляющих

sвых(t) = sуст(t) + sсв(t) ,

где sуст(t) = 2 Re[Re s1], sсв(t) = Re s3 .

Расчет вынужденной составляющей отклика

( p cosϕo −

ωo sinϕo )

p

Re s

=

lim

A

( p − jω

o

)e pt

=

+

1

1

p= p

= jω

o

( p − jω

o

)( p +

jω

o

)

( p

1

o

τ)

= A

jωo cosϕo −ωo sinϕo

jωo

e jωot =

o

2 jωo

( jωo + 1τ)

= Ao

ω

o

)2 e

j(ω

o

t +ϕ

o

+π

2

−Ψ)

,

2 ω2 + ( 1

o

τ

где Ψ = arctgωoτ ;

ωo

sуст(t) = −Ao

)2 sin(ωot

+ϕo −Ψ ) .

ω2

+ (

1

o

τ

184

Получили вынужденную (установившуюся) составляющую отклика, расчет которой можно проверить методом комплексных амплитуд:

s(t) = Re A e jϕo e jωot ;

o

e j(π 2 −Ψ) ;

K&(ω =ωo ) =

jωo

=

ωo

jω

2

o

+ 1

1

2

τ

ωo

+ ( τ)

A&

= Ao ωo

e j(π 2 +ϕo −Ψ) ;

вых

ω2 + ( 1

)2

o

τ

sуст(t) = −

Ao ωo

sin(ωot +ϕo − Ψ) .

ω2 + ( 1

)2

o

τ

Расчет свободной составляющей отклика.

( p cosϕo −ωo sinϕo )

p

s

св

(t) = Re s =

lim

A

1

( p + 1

)e pt

=

3

p= p

3

=−1 τ

o

( p

2

2

( p +

τ

+ωo )

τ)

(− 1

cosϕ

o

−ω

o

sinϕ

o

)(− 1

)

A

1

= A

τ

τ

)e−t τ =

o

τ

cos(ϕ

o

− Ψ)e−t τ ,

o

(

1τ)2 +

ωo2

ωo2 + ( 1τ)2

где Ψ = arctgωoτ .

Суммируя свободную и вынужденную составляющие, получим
sвых (t) =	Aoσ(t)		[1τ cos(ϕo − Ψ)e−t τ −ωo sin(ωot +ϕ0 − Ψ)].
	ω2	+ ( 1	)2
	o	τ

7.5.2Расчет реакции параллельного контура на включение гармонического сигнала

Рассчитать реакцию параллельного контура на прохождение гармонического сигнала (тока), математическая модель которого имеет вид

s(t) = Ao σ(t) cos(ωot +ϕo ) .

Системная функция и изображения сигналов на входе и выходе цепи известны:

S( p) = A		p cosϕo −ωo sinϕo		;
o		p2 +ωo2
Z ( p) =		p + 2α	;
	C( p2 + 2 pα +ωo2 )

Sвых( p) = S( p) Z ( p) .

185

Применим формулы обращения, учитывая, что полюсы изображения сигнала и системной функции цепи образуют комплексно-сопряженные пары:

p2 +ω2	= 0 , p = ± jω			o	;
o		1,2
p2 + 2 pα +ω2		= 0	, p		= −α ± jω	св	;
	p		3,4

ωсв2 =ω2p −α2 .

Реакция цепи в общем случае представляет собой сумму свободной и вынужденной составляющих

sвых(t) = sуст(t) + sсв(t) .

Вынужденная составляющая отклика, определяемая суммой вычетов в полюсах изображения входного сигнала S( p) , равна

sуст(t) = Re s1 + Re s2 = 2 Re(Re s1 ).

Свободная составляющая отклика, определяемая суммой вычетов в полюсах системной функции цепи Z ( p) , равна

sсв(t) = Re s3 + Re s4 = 2 Re(Re s3 ).

Расчет вынужденной составляющей отклика.

A

( p cosϕ

o

−ω

o

sinϕ

o

)

( p + 2α)

)e pt

Re s

=

lim

o

( p − jω

o

=

1

p= p = jω

C ( p − jω

o

)( p + jω

o

)

( p

2

+ 2 pα

+

2

1

o

ωp )

=

Ao

ωo ( j cosϕo − sinϕo )

(2α + jωo )

( p − jωo )e jωot ,

C

(−ω

2 )

j2ωo

2

+ j2ω α +ω

o

o

p

sуст(t) = Aуст cos(ωot +ϕo +ϕуст) σ(t) ,

A

(2α)2 +ω

2

ω

ω α

o

o

2

o

где Aуст =

o

,

ϕуст = arctg

− arctg

.

ω2p −ωo2

2C (ω2p −ωo2 )2 + 4α2ωo2

2α

Расчет свободной составляющей отклика.

A

( p cosϕ

o

−ω

o

sinϕ

o

)

p + 2α

( p − p3 )e pt

Re s3 =

lim

o

=

C

( p2

+ω2 )

( p − p3 )( p − p4 )

p= p3

o

=

Ao

(−α + jωсв)cosϕo −ωo sinϕo

α + jωсв e(−α+ jωсв)t ,

C

(−α + jωсв)2 +ωo2

2 jωсв

s

св

(t) = A

e−α t

cos(ω

св

t +ϕ

св

) σ(t) ,

св

186

где

A

=

A

ωp (α cosϕo +ωo sinϕo )2 +ωсв2

cos2

ϕo

,

o

св

C ωсв

(α2 +ωo2 −ωсв2 )2 + 4α2ωсв2

2αωсв

ϕсв =

π

− arctg

ωсв cosϕo

+ arctg

ωсв

+ arctg

.

2

αcosϕo +ωo sinϕo

+ωo2

−ωсв2

α

α2

Реакция цепи в общем случае равна

sвых(t) = [Aуст cos(ωot +ϕo +ϕуст) + Aсв e−α t cos(ωсвt +ϕсв)]σ(t) .

Реакция контура на гармоническое воздействие представляет собой сумму двух односторонних гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами, причем свободная составляющая затухает по экспоненциальному закону. Запишем результирующее колебание, суммируя составляющие (по правилу параллелограмма для векторного представления)

sвых(t) = AΣ(t) cos[ωot + ΨΣ(t)] σ(t) ,

AΣ (t) = Aуст2 + Aсв2 e−2α t + 2Aуст Aсв e−α t cos[(ωo −ωсв )t +ϕo +ϕуст +ϕсв ],

ΨΣ(t) = arctg Aвын sin(ϕo +ϕвын) + Aсв e−α t sin[[(ωсв −ωo )t +ϕсв]].

Aвын cos(ϕo +ϕвын) + Aсв e−α t cos (ωсв −ωo )t +ϕсв

Математическое описание отклика существенно упрощается, если ограничить полосу пропускания контура, т.е. рассмотреть только высокодобротные избирательные цепи, у которых потери малы, т.е.

					α <<ωp ,			ωp ≈ωсв ,
s	вых	(t) = Ao	1	ω		cos(ω	t +ϕ		o	) −
		C	ω2p −ωo2		o	o

−

(ω

sinϕ

)2 + (ω

cosϕ

)2

t + π

ωo tgϕ

o

o

p

o

e−α t cos ω

p

+ arctg

o

.

2

ωp

Наконец, исключая расстройку, т.е. приравнивая частоту сигнала ωo резонансной частоте контура ωp , получим

sвых(t) = Ao Rрез(1 − e−α t ) cos(ωot +ϕo ) σ(t) ,

где Rрез = 2α1C .

Графики откликов при ∆ω ≠ 0 и ∆ω = 0 показаны на рисунке 11.7 (стр. 249).

187

7.6 Выводы

1.Спектральная плотность сигнала на выходе линейной цепи равна произведению спектральной плотности сигнала на входе и частотного коэффициента передачи.

2.Изображение выходного сигнала по Лапласу равно произведению изображения сигнала на входе и передаточной функции цепи в операторной форме записи.

3.Сигнал на выходе линейной цепи представляет собой свертку входного сигнала и импульсной характеристики цепи.

4.Сигнал на выходе линейной цепи можно рассчитать любым из четырех методов:

методом дифференциальных уравнений (классический переход); частотным методом (основанном на преобразованиях Фурье); операторным методом (использующим преобразования Лапласа); временным методом (с применением формул Дюамеля).

5.При анализе прохождения периодических сигналов чаще других применяют частотный метод (метод комплексных амплитуд).

6.При расчете отклика на импульсные сигналы широко используют интегралы свертки (формулы Дюамеля).

7.Разнообразие задач, решаемых операторным методом, обуславливается простотой свойств преобразований Лапласа и доступностью таблиц оригиналов и изображений.

188

8 СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АМПЛИТУДНОМОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

8.1 Основные определения

В процессе модуляции принимают участие три колебания: управляющее sy (t) , несущее so (t) и модулированное sм(t) .

Управляющие сигналы, поступающие от источников сообщения (микрофон, телевизионная камера и др.), представляют собой относительно “медленные” процессы, энергия которых сосредоточена в низкочастотной части спектра. Их нельзя передать по радиотракту, так как длина волны несоизмерима с размерами антенны, и они не обладают способностью распространяться на расстояние, преодолевать препятствия и т.д.

Несущее колебание, легко излучаемое и хорошо распространяющееся на расстояние, используется в качестве переносчика управляющего сигнала.

Процесс преобразования несущего колебания, суть которого заключается в изменении одного или нескольких параметров несущего колебания в соответствии с управляющим сигналом, называется модуляцией.

Модулированные колебания − это высокочастотные узкополосные сигналы, которые можно представить в виде

sм(t) = A(t) cos Ψ(t) .	(8.1)
Здесь A(t) −медленно изменяющаяся по сравнению с cos Ψ(t)	функция, назы-
ваемая огибающей, а Ψ(t ) − обобщенная фаза.

За интервал времени, в течение которого Ψ(t) изменится на 2π, функцию A(t) можно считать постоянной.

Если положить Ψ(t) =ωot +ϕo , а A(t) = Ao , то сигнал (8.1) преобразуется в высокочастотное гармоническое колебание, обычно используемое в ка-

честве несущего колебания
so (t) = Ao cos(ωot +ϕo ) = Ao cos Ψo (t) .	(8.2)

Амплитудной модуляцией называется изменение амплитуды несущего колебания в соответствии с управляющим сигналом. При амплитудной модуляции огибающая амплитудно-модулированного сигнала (АМ–сигнала) получается в результате суммирования амплитуды несущего колебания Ao и

взвешенного управляющего сигнала sy (t) (рисунок 8.1).

A(t)= Ao + kам sy (t),

(8.3)

где kам − коэффициент пропорциональности, зависящий от параметров амплитудного модулятора.

		189
	Если Ao и sy (t) одноразмерные величины, то kам − безразмерный ко-
эффициент. Для АМ−сигнала общее выражение (8.1) можно заменить сле-
дующим:
	sам(t)=[Ao + kам sy (t)] cos(ωot +ϕo ).				(8.4)
	Ao + kам sy (t)	sам(t)=[Ao + k sy (t)] cos(ωot +ϕo )
		cos(ωot +ϕo )
	Рисунок 8.1 – Реализация амплитудной модуляции
		с помощью перемножителя
	Чтобы огибающая A(t) сохраняла однозначную связь с управляющим
колебанием sy (t) , необходимо выполнение условия
	A(t) ≥ 0 , или Ao ≥ kам sy (t) .				(8.5)
Если амплитуда несущего колебания Ao			меньше	kам sy (t) , возникает явле-
ние, называемое “перемодуляцией”.
	На рисунке 8.2 изображены модулированные колебания				для двух слу-
чаев: Ao ≥ k1 sy (t) и Ao < k2 sy (t) .
A(t)	Ao + k1 sy (t)		A(t)	Ao + k1 sy (t)
Ao			Ao
0		t	0	A(t)	t
Sам (t)	A(t)	Sам (t)
Ao			Ao
0		t	0		t
	а)			б)
	Рисунок 8.2 − Амплитудно-модулированные колебания:
а)	A(t) ≥ 0 неискаженная амплитудная модуляция; б) ”перемодуляция”

190

Перемодуляция приводит к появлению искажений огибающей АМсигнала.

8.2Тональная амплитудная модуляция гармонического несущего колебания

Несущее и управляющее колебания описываются гармоническими моделями вида:

sy (t) = B cos(Ωt +ϕy ) ; so (t) = Ao cos(ωot +ϕo ) .

Здесь Ao , B − амплитуды; ωo , Ω − частоты; ϕo , ϕy − начальные фазы. Амплитудно-модулированное колебание получим, используя (8.3) и

(8.4).
sам(t) = Ao [1 + M cos(Ωt +ϕy )] cos(ωot +ϕo ) ,	(8.6)

где M − коэффициент амплитудной модуляции модуляции).

M = kам B . Ao

(иногда называют глубиной

(8.7)

При неискаженной модуляции ( M ≤1) амплитуда модулированного колебания меняется в пределах от максимальной Amax до минимальной Amin

(при cos(Ωt +ϕy )= ±1 соответственно)

Amax = Ao (1 + M )
A	= A	(1 − M )	.	(8.8)
min	o

Анализируя временное представление АМ−сигнала, можно рассчитать пара-

метры Ao и M

		M =		Amax − Amin			,	(8.9)
		A = 1		Amax + Amin
				(A	+ A	).		(8.10)
		o	2	max	max
	Раскрывая скобки в выражении (8.6) и используя формулы тригономет-
рических преобразований, получим сумму трех гармонических колебаний
sам(t) = Ao cos(ωot +ϕo ) +						cos[(ωo − Ω)t +ϕo −ϕy ].
+	AoM	cos[(ωo + Ω)t +ϕo +ϕy ]+			AoM			(8.11)
	2				2

Первое слагаемое в (8.11) представляет собой несущее колебание, два других (продукты модуляции) имеют равные амплитуды и симметричные относительно ωo частоты, которые называют верхней боковой частотой

(ωo + Ω) и нижней боковой частотой (ωo − Ω) . На рисунке 8.3 изображено