mathanaliz

Между множеством упорядоченных пар и множеством точек

на плоскости с введённой декартовой системой координат можно

установить взаимно однозначное соответствие (метод координат

на плоскости). Именно, каждой упорядоченной паре чисел (x, y)

мы сопоставим точку плоскости с координатами (x, y). Поэтому

удобной геометрической интерпретацией пространства R2 являет-

ся плоскость с введённой декартовой системой координат Oxy.

Геометрической интерпретацией пространства R3 является про-

странство геометрических точек с введённой декартовой системой

координат Oxyz.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.4.3. Расстояние в арифметическом пространстве.

Пусть n N фиксировано и

x = (ξ1, ξ2, . . . , ξn), y = (η1, η2, . . . , ηn) Rn.

Элементы пространства Rn будем называть также точками пространства Rn.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Определение 7. Расстоянием между точками x, y Rn называется число, обозначаемое d(x; y), и вычисляемое по формуле

d(x; y) =

v

1

1

)

2

+ (η

2

2

)

2

+

+ (η

n

ξ

n

2

=

= u(η

−

ξ

−

ξ

· · ·

−

)

t

u

v

n

j

j 2

u

(η

ξ ) .

= u

X

−

u

u

u

tj=1

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Частные случаи.

1. n = 1, x = (ξ1), y = (η1) R,

s s

d(x; y) = (η1 − ξ1)2 = (y − x)2 = |y − x|.

x

y

−3 −2 −1 0

1

2

3 x

Рис. 1.2. Расстояние в R.

d(x; y) - длина отрезка xy.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. n = 2,
x = (ξ1, ξ2) R2,
y = (η1, η2) R2,
d(x; y) = s(η1 − ξ1)2 + (η2 − ξ2)2.
η2		y = (η1, η2)
ξ2	x = (ξ1, ξ2)
0	ξ1	η1
Рис. 1.3. Расстояние в R2.
d(x; y) - длина отрезка xy.
	•First •Prev	•Next •Last	•Go Back •Full Screen •Close •Quit

3. n = 3,
x = (ξ1, ξ2, ξ3) R3,
y = (η1, η2, η3) R3,
d(x; y) = s(η1 − ξ1)2 + (η2 − ξ2)2 + (η3 − ξ3)2.
	η3
	ξ3	y
x	ξ2	η2
	0
	η1
	ξ1
Рис. 1.4. Расстояние в R3.
d(x; y) - длина отрезка xy.
	•First •Prev	•Next •Last •Go Back	•Full Screen •Close •Quit

Свойства расстояния:

1.d(x; y) = 0 тогда, и только тогда, когда x = y;

2.x, y Rn : d(x; y) ≥ 0;

3. x, y Rn : d(x; y) = d(y; x);

(симметричность);

4. x, y, z Rn : d(x; z) ≤ d(x; y) + d(y; z)

(неравенство треугольника). Неравенство треугольника

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.4.4. Окрестность точки в арифметическом пространстве.

Пусть n N и ε R, ε > 0 фиксированы.

Определение 8. Множество точек

{x Rn | d(x0; x) < ε}

называется ε - окрестностью точки x0 Rn

и обозначается Uε(x0), т.е.

опр. n

Uε(x0) = {x R | d(x0; x) < ε}.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Частные случаи.
			опр.8		{x R | |x − x0| < ε}.
1. n = 1, Uε(x0) =
					Uε(x0)
3	−	2	−	1	0x0 − ε1 x0 2x0 + ε3 x
−
	Рис. 1.5. Окрестность точки в R
Uε(x0) - интервал с центром в точке x0 и пле-
чом ε.
				•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

2. n = 2,
x = (ξ1, ξ2) R2, x0 = (ξ01, ξ02) R2,
опр.8
Uε(x0) =
= {x = (ξ1, ξ2) R2 | (ξ1−ξ01)2+(ξ2−ξ02)2 < ε2}.
4
3
2	ε
ξ02	x0 Uε(x0)
1
0	1 ξ1 2	3	4
	0
Рис. 1.6. Окрестность точ-
ки в R2
Uε(x0) - круг радиуса ε с центром в точке x0.
•First •Prev •Next		•Last •Go Back •Full Screen •Close		•Quit