mathanaliz

Объединением множеств A и B (обозначают A B) называется множество, состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B (обозначают A ∩ B) называется множество, состоящее лишь из всех элементов, принадлежащих одновременно и A и B.

Разностью множеств A и B (обозначают A \ B) называется множество, состоящее из всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B. Если B A, то A\B называют

дополнением B до A.

Наглядно операции над множествами можно иллюстрировать на схемах Эйлера-Венна (см. Рис. 1.1).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

B A		A B			A ∩ B		A \ B
	B
A	A	B		A		B	A	B
		Рис. 1.1. Схемы Эйлера-Венна
		•First	•Prev	•Next	•Last	•Go Back	•Full Screen	•Close	•Quit

Свойства операций над множествами.

1.A A.

2.(A B, B A) (A = B) .

3.(A B, B C) = (A C) .

4.A : A.

5.A A = A.

6.A B = B A.

7.A ∩ A = A.

8 A ∩ B = B ∩ A.

9.(A B) ∩ C = (A ∩ C) (B ∩ C) .

10.A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) .

Все эти свойства доказываются просто. Докажем, для примера, свойство 10, которое равносильно двум включениям:

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

A (B ∩ C) (A B) ∩ (A C)

и

(A B) ∩ (A C) A (B ∩ C) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем произвольное x A (B ∩ C) . Так как

Îïð.( )

(x A (B ∩ C)) = (x A или x B ∩ C) ,

то рассмотрим два случая. Если

Îïð.( )					Îïð.(∩)
(x A) =	(x A B и x A C) =
Если же			(x (A B) ∩ (A C)) .
			Îïð.(∩)		(x B и x	Ñ	Îïð.( )
(x B ∩ C) =							) =
(x A B и x A		Ñ	Îïð.(∩)	(x (A B) ∩ (A C)) .
			) =

Итак, мы доказали, что

A (B ∩ C) (A B) ∩ (A C) .

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Фиксируем x (A B) ∩ (A C) . Рассмотрим также два возможных случая. Если

Îïð.( )

(x A) = (x A (B ∩ C)) .

Если же

Îïð.(∩)

(x (A B) ∩ (A C) и x / A) =

Îïð.(∩)

(x B и x C) =

Îïð.( )

(x B ∩ C) = (x A (B ∩ C)) .

Доказано второе включение

(A B) ∩ (A C) A (B ∩ C) .

Свойство 10 доказано.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

1.3.Множество вещественных чисел.

Определение 1. Символ вида

c0, c1c2c3 . . . cn . . . ,

где c0 - целое число, а cn - одна из цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (n = 1, 2, 3, . . .),

называется бесконечной десятичной дробью. Для каждой конечной десятичной дроби существует равная ей бесконечная десятичная дробь. Например, 0.1 = 0.0(9), 2.35 = 2.34(9) и т. д. Множество десятичных дробей с таким отношением равенства называется множеством вещественных чисел. Две равные дроби обозначают одно и тоже вещественное число.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

Общеприняты обозначения:

N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел,

Q – множество рациональных чисел,

R – множество действительных (вещественных) чисел.

Очевидно, что

N Z Q R.

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

На множестве действительных чисел определены операции сложения и умножения обладающие свойствами:

			Коммутативность
(1)	x, y R : (x + y = y + x)				(5) x, y R : (x · y = y · x)
			Ассоциативность
	(2) x, y, z R :				(6) x, y, z R :
x + (y + z) = (x + y) + z					x · (y · z) = (x · y) · z
	Существование нейтрального элемента
(3)	x R : x + 0 = x				(7) x R : x · 1 = x
Существование противоположного элемента					Существование обратного элемента
(4)	x R y : x + y = 0				(8) x R \ {0} y : x · y = 1 .
Обозначение: y =		−	x.		Обозначение: y = x−1.

Дистрибутивный закон

(9) x, y, z R : x · (y + z) = x · y + x · z

Следующие аксиомы определяют свойства порядка на множестве вещественных чисел.

10.x, y R : (либо x < y, либо x > y, либо x = y) (упорядоченность множества R. Запись x ≤ y означает, что либо x < y либо x = y);

11.x R : x ≤ x;

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

(рефлексивность отношения порядка);

12.x, y R : ((x ≤ y) (y ≤ x)) = (x = y); (антисимметричность отношения порядка);

13.x, y, z R : ((x ≤ y) (y ≤ z)) = (x ≤ z); (транзитивность отношения порядка);

14.x, y, z R : ((x ≤ y) = (x + z ≤ y + z); (согласованность порядка с операцией сложения);

15.x, y, z R : ((x ≥ 0) (y ≥ z)) = (x · y ≥ x · z); (согласованность порядка с операцией умножения);

16.x, y R n N такое, что

((x > 0) (y > 0)) = (n · x > y);

(аксиома Архимеда);

17. x, y R r Q такое, что

(x < y) = (x < r < y)

(плотность множества рациональных чисел во множестве вещественных чисел).

•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit